Aus einem Zylinder mit dem Radius r=5 dmr = 5\ \text{dm} und der Körperhöhe hk=12 dmh_k = 12\ \text{dm} wird ein Viertel herausgeschnitten.Berechne die gesamte Oberfläche des entstandenen Körpers. (4 Punkte)
Hinweis: Skizze nicht maßstabgetreu
Zylinderkörper zur Oberflächenberechnung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Zylinders

Schreibe zunächst die Formel für die allgemeine Berechnung der Oberfläche eines Zylinders auf.
OZylinder=2Grundfla¨che+Mantelfla¨che\displaystyle O_{Zylinder}=2\cdot\text{Grundfläche}+\text{Mantelfläche}
Berechne erst den Flächeninhalt einer Grundfläche. Beachte dabei, dass es sich hier nicht um einen Ganzen, sondern um einen Dreiviertel-Kreis handelt. (Ein Viertel wurde herausgeschnitten, wie auf der Skizze oben zu sehen.)
AGrundfla¨che=34r2π\begin{array}{l}A_{Grundfläche}={\textstyle\frac34}\cdot r^2\cdot\mathrm\pi\\\end{array}
Setze für den Radius 5dm5\, dm ein und berechne das Ergebnis.
AG=345  dm  5  dmπ=754π  dm2\textstyle A_G=\frac34\cdot5\;dm\;\cdot5\;dm\cdot\mathrm\pi=\frac{75}4\mathrm\pi\;\mathrm{dm}^2
Berechne als Nächstes den Flächeninhalt des Mantels:
AMantelfla¨che=  abA_{Mantelfläche}=\;a\cdot b
Hier die Mantellänge nicht gleich dem Kreisumfang ist, sondern nur gleich einem Dreiviertel des Kreisumfangs (UKreis=2rπU_{Kreis}=2r\pi) und zweimal die Länge der Rechtecke.
Mantelbreite  b  =  12  dmMantella¨nge  a  =  3425  dm    π  +  5  dm  +  5  dm  =152π  dm  +  10  dm\begin{array}{l}\\\text{Mantelbreite}\;b\;=\;12\;dm\\\text{Mantellänge}\;a\;=\;\frac34\cdot 2\cdot 5\;dm\;\cdot\;\mathrm\pi\;+\;5\;\mathrm{dm}\;+\;5\;\mathrm{dm}\;=\frac{15}2\mathrm\pi\;\mathrm{dm}\;+\;10\;\mathrm{dm}\end{array}
Setze aa und bb in die Formel ein.
AMantelfla¨che=  12  dm    (152π  dm+10  dm)402,74  dm2A_{Mantelfläche}=\;12\;dm\;\cdot\;(\frac{15}2\mathrm\pi\;\mathrm{dm}+10\;\mathrm{dm})\approx402,74\;dm^2
Setze zum Schluss die Grund- und Mantelfläche in die Oberflächenformel vom ersten Schritt ein, und rechne dabei die gesamte Oberfläche des Zylinders aus.
OZylinder=2Grundfla¨che+Mantelfla¨cheOGesamt  2754π  dm2+402,74  dm2520,55  dm2\begin{array}{l}O_{Zylinder}=2⋅\text{Grundfläche}+\text{Mantelfläche}\\O_{Gesamt}\approx\;2\cdot\frac{75}4\mathrm\pi\;\mathrm{dm}^2+402,74\;\mathrm{dm}^2\approx520,55\;\mathrm{dm}^2\end{array}
Die Oberfläche des Körpers ist also 520,55  dm2520,55\;\mathrm{dm}^2.