Der Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks beträgt 144 cm².Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des dunkelgrauen Quadrats. (4 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat

Bestimmung des Flächeninhalts und Umfangs eines Quadrates.

Thema dieser Aufgabe ist der Flächeninhalt und Umfang eines Quadrats. In dieser Aufgabe werden aber auch der Flächeninhalt eines Dreiecks und der Satz des Pythagoras gebraucht.
Bild zur Aufgabe
Gegeben:
  • Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks: ADreieck=144  [cm2]A_{Dreieck}=144\; [cm^2]
  • Aus der Skizze: Höhe des hellgrauen Dreiecks h=12  [cm]h= 12 \;[cm]
  • Aus der Skizze: Seitenlänge eines der Seiten des weißen Dreiecks b=40  [cm]b = 40 \; [cm]
Gesucht: Flächeninhalt und Umfang des dunkelgrauen Quadrats

Vorüberlegung

Um den Flächeninhalt und den Umfang des Quadrats zu berechnen, musst du zunächst die Seitenlänge aa des Quadrats bestimmen.
Um aa wiederum zu bestimmen, kannst du das weiße Dreieck benutzen. In diesem rechtwinkligen Dreieck ist die Seitenlänge bb gegeben, aber gg wiederum nicht.
gg kann jedoch bestimmt werden, wenn du das hellgraue Dreieck genauer betrachtest (siehe obige Skizze).

Die Grundseite g des hellgrauen Dreiecks bestimmen

Berechne gg, indem du den Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks ADreieckA_{Dreieck} und dessen Höhe hh verwendest (siehe obige Skizze).
Die Formel für den Flächeninhalt lautet:
ADreieck=12ghA_{Dreieck}= \frac 1 2 \cdot g \cdot h
Multipliziere mit 2.
Dividiere durch h.

g=2ADreieckh=2144  cm212  cm=21212  cm212  cm\Rightarrow \displaystyle g=\frac{2 \cdot A_{Dreieck}}{h} = \frac{2 \cdot 144 \; cm^2}{12 \; cm}=\frac{2 \cdot 12 \cdot 12\;cm^2}{12\;cm}
Kürze durch 12  cm12 \;cm.
g=212  cm=24  cm\Rightarrow g = 2 \cdot 12\;cm = 24 \; cm


Die Seite a des Quadrats bestimmen

Um aa zu bestimmen, benutze das weiße Dreieck. In diesem Dreieck sind nämlich die Seitenlängen bb und gg nun gegeben, und du kannst die Seitenlänge aa mit Hilfe des Satzes des Phythagoras berechnen (siehe obige Skizze):
b2=a2+g2b^2 = a^2 + g^2
Nun setze die Länge für aa und gg ein.
(40  cm)2=a2+(24  cm)2(40\;cm)^2 = a^2 + (24 \; cm)^2
(24  cm)2 - (24 \;cm)^2
a2=(40  cm)2(24  cm)2a^2= (40\;cm)^2 - (24 \;cm)^2
Berechne die Quadrate.
a2=1600  cm2576  cm2a^2= 1600\;cm^2 - 576 \;cm^2
Fasse zusammen.
a2=1024  cm2a^2= 1024 \;cm^2
Ziehe die Wurzel.
a1,2=±1024  cm2a_{1,2}= \pm\sqrt{1024\;cm^2}
Da aa eine Länge ist, ist nur die positive Lösungsinnvoll.
a=1024  cm2=3232  cm2=32  cma=\sqrt{1024\;cm^2}=\sqrt{32\cdot32\;cm^2}= 32\;cm


Den Flächeninhalt des Quadrats bestimmen

Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich wie folgt:
AQuadrat=aa=32  cm32  cm=1024  cm2A_{Quadrat}= a \cdot a = 32\;cm \cdot 32\;cm = 1024 \; cm^2


Den Umfang des Quadrats bestimmen

Der Umfang eines Quadrats berechnet sich wie folgt:
UQuadrat=a+a+a+a=4a=432  cm=128  cmU_{Quadrat} = a + a + a + a = 4 \cdot a = 4 \cdot 32\;cm = 128 \; cm