Teil B, Gruppe 2 - lernen mit Serlo!

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

a) Zeichne ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 5 cm.

b) Berechne den Flächeninhalt des Secksecks.

(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Hier solltest du wissen, wie man ein Sechseck konstruiert.

Zeichne einen Kreis mit dem Radius $5 c m$ . Verbinde den Mittelpunkt mit irgendeinem zufälligen Punkt (B) auf dem Kreis.

Zeichne nun von B aus einen weiteren Kreis mit dem Radius $5 c m$ . An den Schnittstellen mit dem ersten Kreis liegen die Punkte C und D. Verbinde C und D mit B.

Fahre ebenso mit den Punkten C und D fort.

Führe den gleichen Schritt nochmal für entweder den Punkt E oder den Punkt F durch.

Lösung zur Teilaufgabe b)

Nützliches Wissen ist hier die Flächenformel für ein Dreieck und der Satz des Pythagoras.

Verbinde alle Punkte mit dem Mittelpunkt, sodass 6 entstehen.

Skizze Flächeninhaltsberechnung Sechseck

Berechne zunächst die Höhe(h) eines Dreiecks mit Hilfe des Satz des Pythagoras. Dabei ist $[A C]$ die Hypotenuse und $[A O]$ und $[O C]$ (was die Höhe ist, die in Zukunft mit $h$ abgekürzt wird) sind die Katheten.

${A O}^{2} + {O C}^{2}$	$=$	${A C}^{2}$
	↓	Schreibe anstelle von $A O$ die Variable $h$ .
$h^{2} + {O C}^{2}$	$=$	${A C}^{2}$
	↓	$A C$ ist der Radius. Daher weißt du, dass $A C$ $5$ cm lang ist.
$h^{2} + {O C}^{2}$	$=$	$5^{2}$

Jedes der kleinen Dreiecke ist ein gleichseitiges Dreieck und damit sind alle Seiten gleich lang. $O C$ ist die Hälfte einer Seite und damit die Hälfte von $5$ cm, also $\frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$ cm.

$h^{2} + {2,5}^{2}$	$=$	$5^{2}$
	↓	Stelle nach $h$ um, indem du $(2,5 c m)^{2}$ subtrahierst.
$h^{2}$	$=$	$5^{2} - {2,5}^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$25^{2} - {6,25}^{2}$
	$=$	$18,75 c m^{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$h$	$=$	$\sqrt{18,75}$
	$\approx$	$4,33 c m$

Jetzt kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Formel $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ berechnen.

Setze in diese Formel $5 c m$ für die Länge der Grundseite und $4,33 c m$ für die Höhe ein.

$A_{D}$	$=$	$0,5 \cdot a \cdot h$
	$=$	$0,5 \cdot 5 \cdot 4,33$
	↓	Rechne den Wert aus.
	$=$	$10,825 c m^{2}$

Berechne nun den Flächeninhalt des Sechsecks, indem du die Fläche eines Dreiecks mit der Anzahl der Dreiecke (6) multiplizierst.

$A_{G}$	$=$	$6 \cdot A_{D}$
	↓	Setze den Flächeninhalt eines Dreiecks ein und berechne.
	$=$	$6 \cdot 10,825$
	$=$	$64,95 c m^{2}$

$\Rightarrow$ Das Sechseck ist insgesamt $64,95 c m^{2}$ groß.

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