a) Zeichne ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 5 cm.

b) Berechne den Flächeninhalt des Secksecks.

(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Hier solltest du wissen, wie man ein Sechseck konstruiert.

Zeichne einen Kreis mit dem Radius %%5cm%%. Verbinde den Mittelpunkt mit irgendeinem zufälligen Punkt (B) auf dem Kreis.

Sechseckkonstruktion Schritt 1

Zeichne nun von B aus einen weiteren Kreis mit dem Radius %%5cm%%. An den Schnittstellen mit dem ersten Kreis liegen die Punkte C und D. Verbinde C und D mit B.

Sechseckkonstruktion Schritt 2

Fahre ebenso mit den Punkten C und D fort.

Sechseckkonstruktion Schritt 3

Führe den gleichen Schritt nochmal für entweder den Punkt E oder den Punkt F durch.

Fertige Sechseckkonstruktion

Lösung zur Teilaufgabe b)

Nützliches Wissen ist hier die Flächenformel für ein Dreieck und der Satz des Pythagoras.

Verbinde alle Punkte mit dem Mittelpunkt, sodass 6 entstehen.

Skizze Flächeninhaltsberechnung Sechseck

Berechne zunächst die Höhe(h) eines Dreiecks mit Hilfe des Satz des Pythagoras. Dabei ist %%[AC]%% die Hypotenuse und %%[AO]%% und %%[OC]%% (was die Höhe ist, die in Zukunft mit %%h%% abgekürzt wird) sind die Katheten.

Gleichseitiges Dreieck

%%\overline{AO}^2 + \overline{OC}^2 = \overline{AC}^2%%

Schreibe anstelle von %%\overline{AO}%% die Variable %%h%%.

%%h^2 + \overline{OC}^2 = \overline{AC}^2%%

%%\overline{AC}%% ist der Radius. Daher weißt du, dass %%\overline{AC}%% %%5%% cm lang ist.

%%h^2 + \overline{OC}^2 = (5 cm)^2%%

Jedes der kleinen Dreiecke ist ein gleichseitiges Dreieck und damit sind alle Seiten gleich lang. %%\overline{OC}%% ist die Hälfte einer Seite und damit die Hälfte von %%5%% cm, also %%\frac12 \cdot 5cm=2,5%%cm.

Warum sind die kleinen Dreiecke gleichseitig?

Eine Vollwinkel sind %%360°%%. Damit ist jeder Winkel in der Mitte %%360°:6=60°%% groß. Beide Seiten von der Mitte zum Rand sind gleich lang, weil es sich beide Male um den Radius handelt. Deshalb muss es ein gleichschenkliges Dreieck sein. Die beiden anderen Winkel sind deswegen gleich groß: %%(180°-60°):2=60°%% (Berechnung mit Hilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck). Also sind alle Winkel im Dreieck gleich groß und damit ist es gleichseitig.

%%h^2 + (2,5cm)^2 = (5 cm)^2%%

Stelle nach %%h%% um, indem du %%(2,5cm)^2%% subtrahierst.

%%h^2=(5cm)^2- (2,5cm)^2%%

Berechne die Quadrate.

%%h^2=25cm^2 - 6,25cm^2 \\= 18,75cm^2%%

Ziehe die Wurzel.

%%h=\sqrt{18,75cm^2}=4,33cm%%

Jetzt kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Formel %%A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h%% berechnen.

Setze in diese Formel %%5 cm%% für die Länge der Grundseite und %%4,33 cm%% für die Höhe ein.

%%A_D= 0,5\cdot a \cdot h\\= 0,5 \cdot 5cm \cdot 4,33cm%%

Rechne den Wert aus.

%%A_D=10,825cm^2%%

Berechne nun den Flächeninhalt des Sechsecks, indem du die Fläche eines Dreiecks mit der Anzahl der Dreiecke (6) multiplizierst.

%%A_G = 6 \cdot A_D%%

Setze den Flächeninhalt eines Dreiecks ein und berechne.

%%=6 \cdot 10,825cm^2%%

%%=64,95cm^2%%

%%\Rightarrow%% Das Sechseck ist insgesamt %%64,95 cm²%% groß.