Punkte für Aufgabe 1.1: 1 P Punkte für Aufgabe 1.2: 3 P Punkte für Aufgabe 1.3: 1 P

Lösung zu Teilaufgabe A 1.1

In dieser Aufgabe verwendest du die trigonometrischen Beziehungen.

Du betrachtest das rechtwinklige Dreieck %%AB_1M%% und erinnerst dich an

%% \displaystyle\cos(\varphi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}. %%

Im Dreieck %%AB_1M%% ist die Strecke %%[AM]%% die Ankathete und die gesuchte Strecke %%[AB_1]%% ist die Hypotenuse. Damit formst du die Kosinusbeziehung wie folgt um:

%%\displaystyle\cos(\varphi)=\frac{\overline{AM}}{\overline{AB_1}}%%

%%|\cdot\overline{AB_1}%%

%%\cos(\varphi)\cdot\overline{AB_1}=\overline{AM}%%

%%|:\cos(\varphi)%%

%%\displaystyle\overline{AB_1}=\frac{\overline{AM}}{\cos(\varphi)}%%

Da dir die Länge %%\overline{AM}=4\,\mathrm{cm}%% gegeben ist, kannst du %%\overline{AB_1}%% berechnen:

%% \displaystyle\overline{AB_1}=\frac{\overline{AM}}{\cos(\varphi)}=\frac{4}{\cos(54^\circ)}\approx 6,81\,\mathrm{(cm).} %%

Lösung zu Teilaufgabe A 1.2

Diese Aufgabe beschäftigt sich mit Rotationskörpern.

Du beginnst mit der Berechnung des Volumens des Rotationskörpers, welcher vom linksstehenden Dreieck %%AB_nM%% erzeugt wird. Danach subtrahierst du das Volumen der Halbkugel, welches durch den Kreisbogen %%\overset{\frown}{DC}%% erzeugt wird.

Der Körper, erzeugt vom Dreieck %%AB_nM%%, ist ein Kegel mit der Spitze %%A%%, Radius %%r=\overline{B_nM}%% und Höhe %%h=\overline{AM}%%. Die Länge %%\overline{B_nM}%% berechnest du mittels der Tangensbeziehung

%% \displaystyle \tan(\varphi)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{B_nM}}{\overline{AM}}. %%

Setzt du nun den Wert %%\overline{AM}=4\,\mathrm{cm}%% aus der Aufgabenstellung ein und löst nach %%\overline{B_nM}%% auf, erhältst du

%% \overline{B_nM}=4\cdot\tan({\varphi})\,\mathrm{(cm).} %%

Skizze des Dreiecks

Erinnere dich an die Volumenformeln für Kegel

%% \displaystyle V_\text{Kegel}=\frac \pi3 \cdot r^2\cdot h=\frac \pi3\cdot 4^2\cdot\tan^2(\varphi)\cdot 4=\frac {64}{3}\cdot\pi\cdot \tan^2(\varphi)\,\mathrm{(cm^3)} %%

und Halbkugel

%% \displaystyle V_\text{Halbkugel}=\frac 12 \cdot \frac43\cdot\pi\cdot r^3=\frac 23\cdot\pi\cdot\overline{MC}^3=\frac{16}{3}\cdot\pi\,\mathrm{(cm^3),} %%

wobei du den Wert für %%\overline{MC}%% einfach der Aufgabenstellung entnimmst. Jetzt hast du alles zusammengetragen, um das gesuchte Volumen zu berechnen:

%% \displaystyle V(\varphi)=V_\text{Kegel}-V_\text{Halbkugel}=\frac{64}{3}\cdot\pi\cdot\tan^2(\varphi)-\frac{16}{3}\cdot\pi=\frac{16}{3}\cdot\pi\left(4\cdot\tan^2(\varphi)-1\right)\,\mathrm{(cm^3).} %%

Lösung zu Teilaufgabe A 1.3

In der vorigen Teilaufgabe A1.2 hast du bereits das Volumen %% \displaystyle V(\varphi)=V_\text{Kegel}-V_\text{Halbkugel}=\frac{64}{3}\cdot\pi\cdot\tan^2(\varphi)-\frac{16}{3}\cdot\pi=\frac{16}{3}\cdot\pi\left(4\cdot\tan^2(\varphi)-1\right)\,\mathrm{(cm^3)} %%

berechnet.

Setzt du nun %%\varphi=54°%% in diese Formel ein, erhältst du

%% \displaystyle V(54°)=\frac{64}{3}\cdot\pi\cdot\tan^2(54°)-\frac{16}{3}\cdot\pi=\frac{16}{3}\cdot\pi\left(4\cdot\tan^2(54°)-1\right)=110.21\,\mathrm{(cm^3).} %%

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.