Punkte zu Aufgabe 3.1: 2 P
Punkte zu Aufgabe 3.2: 3 P
Lösung zur Teilaufgabe A 3.1
In dieser Teilaufgabe geht es darum, die LĂ€nge der Strecke und zu bestimmen.
LĂ€nge der Strecke
Die LĂ€nge der Strecke bestimmen wir durch Subtraktion zweier LĂ€ngen.
Gegeben ist die LĂ€nge der Strecke und die LĂ€nge der Strecke .
Anhand der Skizze erkennst du, dass der Punkt auf der Strecke liegt. Deshalb subtrahierst du von .
Die Strecke ist lang.
LĂ€nge der Strecke
FĂŒr die Berechnung der LĂ€nge der Strecke nutzt du den Vierstreckensatz. In deiner Formelsammlung findest du folgende Formel und Abbildung:
mit
In der gegebenen Figur entspricht die Strecke und . Die Strecke und .

Nun setzt du in die Formel ein.
â | Schreibe die Division als BrĂŒche. | ||
â | Setze in die Gleichung ein. | ||
â | Multipliziere auf beiden Seiten mit . | ||
â | Berechne | ||
Die Strecke ist lang.
Lösung zur Teilaufgabe A 3.2
Allgemeines
In der Teilaufgabe A 3.2 betrachtest du den gegebenen Rotationskörper und errechnest dessen OberflÀcheninhalt O.
Dieser Rotationskörper entsteht durch Rotation um die Achse .
Im ersten Schritt teilst du den Körper in Teilfiguren auf:
Der Körper besteht aus einer kleinen Halbkugel mit dem Radius (im Bild tĂŒrkis) und einer gröĂeren Halbkugel mit Radius (im Bild grĂŒn). AuĂerdem ist ein Kegel mit Radius und Höhe (im Bild rot) in der Figur enthalten. Wobei die Spitze des Kegels durch die gröĂere Kugel abgeschnitten wird. Dabei entsteht ein Kegelstumpf.
FĂŒr die Berechnung des OberflĂ€cheninhalts ist auĂerdem noch ein Kreisring von Bedeutung, den man sieht, wenn man von unten auf die gröĂere, grĂŒne Halbkugel schaut.

OberflÀcheninhalt der kleineren Halbkugel
Im ersten Schritt berechnest du den OberflĂ€cheninhalt der tĂŒrkisen, kleineren Halbkugel. Den OberflĂ€cheninhalt einer Kugel berechnet man durch folgende Formel.
Die Kugel hat den Radius . Da du nur eine Halbkugel vorliegen hast, halbierst du den OberflÀcheninhalt noch:
â | Setze den Radius ein. | ||
â | Vereinfache soweit wie möglich. | ||
â | Berechne und Runde. | ||
Der OberflĂ€cheninhalt der kleinen, tĂŒrkisen Halbkugel betrĂ€gt gerundet .
OberflĂ€cheninhalt der gröĂeren Halbkugel
Nun berechnest du den OberflĂ€cheninhalt der gröĂeren, grĂŒnen Halbkugel. FĂŒr diese Berechnung bestimmst du die HĂ€lfte des OberflĂ€cheninhalts einer ganzen Kugel mit Radius .
â | Setze die Formel zur Bestimmung des OberflĂ€cheninhaltes der Kugel ein und halbiere ihn. | ||
â | Setze den Radius ein. | ||
â | Vereinfache soweit wie möglich. | ||
â | Berechne und Runde das Ergebnis | ||
FlÀcheninhalt des Kreisrings
Der Kreisring ist die grĂŒne FlĂ€che, die man sieht, wenn man einen Querschnitt entlang der Strecke zieht und von unten auf die grĂŒne Halbkugel schaut. Zum einen wird er begrenzt von dem kleinen, roten Kreis mit Radius , zum anderen wird der Kreisring von dem gröĂeren Kreis mit Radius begrenzt. Die rote, kleinere KreisflĂ€che ist die SchnittflĂ€che mit dem Kegel und darf folglich nicht in den OberflĂ€cheninhalt eingerechnet werden.
Um den FlÀcheninhalt des Kreisring zu bestimmen, subtrahierst du den FlÀcheninhalt des Kreise mit Radius von dem FlÀcheninhalt des Kreises mit Radius .
â | Setze die beiden Radien ein. | ||
â | Vereinfache soweit wie möglich. | ||
â | Vereinfache weiter. | ||
â | Berechne und runde auf eine Nachkommastelle. | ||
Der FlÀcheninhalt des Kreisrings betrÀgt circa .
OberflÀcheninhalt des Kegels
FĂŒr den OberflĂ€cheninhalt eines Kegels gilt
mit GrundflÀche und
MantelflÀche .
AuĂerdem beschreibt die Mantellinie und den Radius.
FĂŒr gilt nach dem Satz des Pythagoras .
Mit Hilfe des Radius und der Höhe kannst du nun den OberflÀcheninhalt allgemein bestimmen.
FĂŒr den OberflĂ€cheninhalt des gesamten Rotationskörper sind lediglich die Ă€uĂeren OberflĂ€chenstĂŒcke entscheidend. Infolgedessen fĂ€llt die GrundflĂ€che des Kegels fĂŒr diese Betrachtung weg.
Deshalb erhÀltst du den OberflÀcheninhalt dadurch, dass du die MantelflÀche des Kegels errechnest und davon die MantelflÀche der abgegrenzten Kegelspitze abziehst.

Es ergibt sich also:
Der OberflÀcheninhalt des Kegelstumpfes betrÀgt gerundet .
OberflÀcheninhalt des gesamten Rotationskörpers
FĂŒr den OberflĂ€cheninhalt des gesamten Rotationskörper sind lediglich die Ă€uĂeren OberflĂ€chenstĂŒcke entscheidend.
Deshalb addiert man fĂŒr die GesamtoberflĂ€che den OberflĂ€cheninhalt der groĂen Halbkugel, den FlĂ€cheninhalt des Kreisrings, den OberflĂ€cheninhalt des Kegelstumpfs und den OberflĂ€cheninhalt der kleineren Halbkugel.
Der OberflÀcheninhalt umfasst also .