Aufgaben

Bilde die Ableitung zu folgenden Funktionen unter Verwendung der Produktregel:

$$f(x)=\left( x^2+\frac{1}{4}x\right)\cdot(x^3+3)$$

Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du die Produktregel.

%%f(x)=\left(x^2+\frac14x\right)\cdot(x^3+3)%%

Wende die Produktregel an.

%%\begin{align} f'(x)&=\left(2x+\frac14\right)\cdot(x^3+3) \\ &+\left(x^2+\frac14x\right)\cdot3x^2 \\ &=2x^4+6x+\frac14x^3+\frac{3}4+3x^4+\frac34x^3 \\ &=5x^4+x^3+6x+\frac{3}4\end{align}%%

Vereinfachen.

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Produktregel.

Hinweis: Bei der Eingabe in den Lösungsfeldern musst du Potenzen mit '^' schreiben (zum Beispiel x^2 und nicht x²), damit die Lösung als richtig erkannt wird.

Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen
f(x)=xcos(x)f(x)= x \cdot \cos(x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

%%\begin{align}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{darkblue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{darkgreen}{v'(x)}\end{align}%%
%%\begin{align}f(x) &= \color{blue}{x} \cdot \color{green}{\cos(x)} \\ f'(x) &= \color{darkblue}{1} \cdot \color{green}{\cos(x)} + \color{blue}{x} \cdot \color{darkgreen}{(-\sin(x))} \\ &= \cos(x)-x\cdot\sin(x)\end{align}%%
f(x)=4x(x3+2)\displaystyle f(x)=4x\cdot(x^3+2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

%%\begin{align}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{align}%%
%%\begin{align}f(x) &= \color{blue}{4x} \cdot \color{green}{(x^3+2)} \\f'(x) &= \color{blue}{4} \cdot \color{green}{(x^3+2)}+\color{blue}{4x} \cdot \color{green}{3x^2} \\&=4x^3+8+12x^3 \\&=16x^3+8\end{align}%%
f(x)=(12x2+2x)(x1)\displaystyle f(x)=\left(\frac12x^2+2x\right)\cdot(x-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

%%\begin{align}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)' =\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{align}%%
%%\begin{align}f(x) &= \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{(x-1)} \\f'(x) &= \color{blue}{(x+2)} \cdot \color{green}{(x-1)}+ \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{1} \\&=x^2-x+2x-2+\frac12x^2+2x \\&=\frac32x^2+3x-2\end{align}%%
Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen
f(x)=x2cos(x)f\left(x\right)=x^2\cdot\cos\left(x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

f(x)=x2cos(x)\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^2\cdot\cos(x) \end{array}
Wende die Produktregel an.
f(x)=2xcos(x)+x2(sin(x))=2xcos(x)x2sin(x)\begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=& 2x\cdot\cos(x)+x^2\cdot(-\sin(x)) \\&=& 2x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x) \end{array}
f(x)=sin(x)x\displaystyle f\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

Schreibe den Bruch in ein Produkt um.
f=sinxx=sinx1x=sinxx1\begin{array}{rcl} f&=&\dfrac{\sin{x}}{x} \\\\&=&\sin x\cdot\dfrac1x \\\\&=&\sin x\cdot x^{-1} \end{array}
Wende die Produktregel an.
f(x)=cosxx1+sinx(1)x2=cosxxsinxx2=1x(cosxsinxx)=xcosxsinxx2\begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot(-1)\cdot x^{-2} \\\\&=&\dfrac{\cos x}x-\dfrac{\sin x}{x^2} \\\\&=&\dfrac1x\cdot \left(\cos x-\dfrac{\sin x}{x}\right)\\\\&=&\dfrac{x\cdot\cos x-\sin x}{x^2} \end{array}
f(x)=sin(x)cos(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

f(x)=sin(x)cos(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)
Wende die Produktregel an.
f(x)=cosxcosx+sinx(sinx)=cos2xsin2x\begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x) \\&=&\cos^2x-\sin^2x \end{array}
Bilde die Ableitung folgender Funktionen mit der Produktregel.
f(x)=(ex2)(x1)f(x)=(e^x-2)\cdot(x-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Um diese Aufgabe zu lösen brauchst du die Produktregel und weitere Ableitungsregeln.
f(x)=(ex2)(x1)f(x)=ex(x1)+(ex2)1=xexex+ex2=xex2\begin{array}{rcl}f(x) &= (e^x-2)\cdot(x-1) \\f'(x) &= e^x\cdot(x-1)+(e^x-2)\cdot1 \\&= xe^x-e^x+e^x-2 \\&= xe^x-2\end{array}
f(x)=(7x1)4x2f\left(x\right)=\left(7x-1\right)^4\cdot x^{-2}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Um diese Aufgabe zu lösen, brauchst du die Produktregel und weitere Ableitungsregeln.
f(x)=(7x1)4x2f(x)=(7x-1)^4\cdot x^{-2}
Wende die Produktregel an.
f(x)=4(7x1)37x2+(7x1)4(2)x3=28(7x1)3x22(7x1)4x3=(7x1)3x2(282(7x1)x)=(7x1)3x2(2814x2x)=(7x1)3x2(2814xx+2x)=(7x1)3x2(14+2x)\begin{array}{rcl}f'(x) &= 4(7x-1)^3 \cdot 7 \cdot x^{-2}+(7x-1)^4 \cdot (-2) \cdot x^{-3} \\&= \frac{28\cdot(7x-1)^3}{x^2}-\frac{2\cdot(7x-1)^4}{x^3} \\&=\frac{(7x-1)^3}{x^2}\cdot\left(28-\frac{2\cdot(7x-1)}{x}\right) \\&=\frac{(7x-1)^3}{x^2}\cdot\left(28-\frac{14x-2}x\right) \\&=\frac{(7x-1)^3}{x^2}\cdot\left(28-\frac{14x}x+\frac2x\right) \\&=\frac{(7x-1)^3}{x^2}\cdot\left(14+\frac2x\right)\end{array}
Vereinfachen.
f(x)=ln(x)(1x)\displaystyle f(x)=\ln(x) \cdot (1-x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Um diese Aufgabe zu lösen brauchst du die Produktregel und weitere Ableitungsregeln.
f(x)=ln(x)(1x)f(x)=1x(1x)+ln(x)(1)=1x1ln(x)\begin{array}{rcl}f(x) &= \ln(x) \cdot (1-x) \\f'(x) &= \frac1x \cdot (1-x)+\ln(x) \cdot (-1) \\&= \frac1x-1-\ln(x)\end{array}
Wende die Produktregel an.
Vereinfachen.

Bestimme die Ableitung:

%%g(x)=ln(-x^2+1)\cdot x^2%%

Benutze die Ableitungsregeln

%%g(x)=ln(-x^2+1)\cdot x^2%%

%%=\frac{1}{-x^2+1}\cdot -2x\cdot x^2+ln(-x^2+1)\cdot 2x%%

Vereinfache den Term.

%%=\frac{-2x^3}{-x^2+1}+ln(-x²+1)\cdot 2x%%

Klammer 2x aus.

%%=2x(\frac{-x²}{-x²+1}+ln(-x²+1))%%

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Zu topic-folder Aufgaben zur Produktregel:
Benni 2017-03-29 07:40:04+0200
Wenn man in Aufgabe 1.b) in das Lösungsfeld "3*x^2" eingibt (oder "3*x²"), so wird "wrong" angezeigt, nur "3*x*x" wird akzeptiert. Dies ist für Schüler nicht nachvollziehbar, was könnte man da machen?

Liebe Grüße
Benni
Nish 2017-03-30 13:42:58+0200
Hi Benni,
wenn ich "3*x^2" oder auch "3x^2" wird bei mir right angezeigt. Kannst du es nochmal ausprobieren. "3x²" funktioniert nicht. Wäre super, wenn du einen Hinweis einfügen könntest.
LG,
Nish
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