Aufgaben

Bilde die Ableitung zu folgenden Funktionen unter Verwendung der Produktregel:

$$f(x)=\left( x^2+\frac{1}{4}x\right)\cdot(x^3+3)$$

Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du die Produktregel.

%%f(x)=\left(x^2+\frac14x\right)\cdot(x^3+3)%%

Wende die Produktregel an.

%%\begin{align} f'(x)&=\left(2x+\frac14\right)\cdot(x^3+3) \\ &+\left(x^2+\frac14x\right)\cdot3x^2 \\ &=2x^4+6x+\frac14x^3+\frac{3}4+3x^4+\frac34x^3 \\ &=5x^4+x^3+6x+\frac{3}4\end{align}%%

Vereinfachen.

$$f(x)=4x^2\cdot(-2x-2)$$

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Produktregel.

Hinweis: Bei der Eingabe in den Lösungsfeldern musst du Potenzen mit '^' schreiben (zum Beispiel x^2 und nicht x²), damit die Lösung als richtig erkannt wird.

Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen

%%f(x)= x \cdot \cos(x)%%

Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du die Produktregel.

%% \begin{align} \text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{darkblue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{darkgreen}{v'(x)} \end{align} %%

%% \begin{align} f(x) &= \color{blue}{x} \cdot \color{green}{\cos(x)} \\ f'(x) &= \color{darkblue}{1} \cdot \color{green}{\cos(x)} + \color{blue}{x} \cdot \color{darkgreen}{(-\sin(x))} \\ &= \cos(x)-x\cdot\sin(x) \end{align} %%

$$f(x)=4x\cdot(x^3+2)$$

Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du die Produktregel.

%% \begin{align} \text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)' =\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)} \end{align} %%

%% \begin{align} f(x) &= \color{blue}{4x} \cdot \color{green}{(x^3+2)} \\ f'(x) &= \color{blue}{4} \cdot \color{green}{(x^3+2)}+\color{blue}{4x} \cdot \color{green}{3x^2} \\ &=4x^3+8+12x^3 \\ &=16x^3+8 \end{align} %%

$$f(x)=\left(\frac12x^2+2x\right)\cdot(x-1)$$

Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du die Produktregel.

%% \begin{align} \text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)' =\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)} \end{align} %%

%% \begin{align} f(x) &= \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{(x-1)} \\ f'(x) &= \color{blue}{(x+2)} \cdot \color{green}{(x-1)}+ \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{1} \\ &=x^2-x+2x-2+\frac12x^2+2x \\ &=\frac32x^2+3x-2 \end{align} %%

Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen

$$f\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}x$$

Zum Lösen dieser Aufgabe benötigst du die Produktregel.

%%\begin{align} f(x)&=\frac{\sin{x}}{x} \\ &=\sin x\cdot\frac1x\\ &=\sin x\cdot x^{-1} \end{align}%%

Schreibe als Produkt.

Wende die Produktregel an.

%%\begin{align}f^\prime(x)&=\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot(-1)\cdot x^{-2} \\ &=\frac{\cos x}x-\frac{\sin x}{x^2} \\ &=\frac1x\cdot \left(\cos x-\frac{\sin x}{x}\right)\\ &=\frac{x\cdot\cos x-\sin x}{x^2} \end{align} %%

Vereinfachen.

%%f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)%%

Bilde die Ableitung folgender Funktionen mit der Produktregel.

%%f\left(x\right)=\left(7x-1\right)^4\cdot x^{-2}%%

Um diese Aufgabe zu lösen, brauchst du die Produktregel und weitere Ableitungsregeln.

%%f(x)=(7x-1)^4\cdot x^{-2}%%

Wende die Produktregel an.

%% \begin{align} f'(x) &= 4(7x-1)^3 \cdot 7 \cdot x^{-2}+(7x-1)^4 \cdot (-2) \cdot x^{-3} \\ &= \frac{28\cdot(7x-1)^3}{x^2}-\frac{2\cdot(7x-1)^4}{x^3} \\ &=\frac{(7x-1)^3}{x^2}\cdot\left(28-\frac{2\cdot(7x-1)}{x}\right) \\ &=\frac{(7x-1)^3}{x^2}\cdot\left(28-\frac{14x-2}x\right) \\ &=\frac{(7x-1)^3}{x^2}\cdot\left(28-\frac{14x}x+\frac2x\right) \\ &=\frac{(7x-1)^3}{x^2}\cdot\left(14+\frac2x\right) \end{align} %%

Vereinfachen.

Bestimme die Ableitung:

%%f(x)=x^2\cdot e^{-x}%%

%%g(x)=ln(-x^2+1)\cdot x^2%%

Benutze die Ableitungsregeln

%%g(x)=ln(-x^2+1)\cdot x^2%%

%%=\frac{1}{-x^2+1}\cdot -2x\cdot x^2+ln(-x^2+1)\cdot 2x%%

Vereinfache den Term.

%%=\frac{-2x^3}{-x^2+1}+ln(-x²+1)\cdot 2x%%

Klammer 2x aus.

%%=2x(\frac{-x²}{-x²+1}+ln(-x²+1))%%

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Zu topic-folder Aufgaben zur Produktregel:
Benni 2017-03-29 07:40:04
Wenn man in Aufgabe 1.b) in das Lösungsfeld "3*x^2" eingibt (oder "3*x²"), so wird "wrong" angezeigt, nur "3*x*x" wird akzeptiert. Dies ist für Schüler nicht nachvollziehbar, was könnte man da machen?

Liebe Grüße
Benni
Nish 2017-03-30 13:42:58
Hi Benni,
wenn ich "3*x^2" oder auch "3x^2" wird bei mir right angezeigt. Kannst du es nochmal ausprobieren. "3x²" funktioniert nicht. Wäre super, wenn du einen Hinweis einfügen könntest.
LG,
Nish
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