Bestimme π\pi mit Hilfe des Newton-Verfahrens auf vier Dezimalstellen genau.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Newton-Verfahren

Tipp: Finde eine Funktion, für die π\pi eine Nullstelle ist. Denke zurück an trigonometrische Funktionen.
Du sollst das Newton-Verfahren verwenden, um π\pi zu bestimmen. Das Newton-Verfahren dient dazu, Nullstellen von Funktionen zu bestimmen. Zunächst benötigst du also eine Funktion f(x)f(x), die π\pi als Nullstelle hat, also f(π)=0f(\pi) = 0 erfüllt.
Erinnere dich, dass sin(π)=0\sin(\pi) = 0. Ein guter Kandidat ist also f(x)=sin(x)f(x) = \sin(x). (Es gibt unendlich viele weitere Mögllichkeiten, dies ist nur die einfachste.)
Im Newton-Verfahren wendest du Iterationen der Rekursionsformel
xn+1=xnf(xn)f(xn)\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
an. Berechne dafür die Ableitung von ff, sie lautet f(x)=cos(x)f'(x) = \cos(x). Die Rekursionsformel des Newton-Verfahren für diese Aufgabe lautet also
xn+1=xnsin(xn)cos(xn)\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{\sin(x_n)}{\cos(x_n)}
Alternative: Du kannst dir die folgenden Rechnungen einfacher machen, wenn du dich an folgenden Zusammenhang aus der Trigonometrie erinnerst:
sin(xn)cos(xn)=tan(xn)xn+1=xntan(xn)\displaystyle \frac{\sin(x_n)}{\cos(x_n)} = \tan(x_n) \Rightarrow x_{n+1} = x_n -\tan(x_n)
Die Lösung wird allerdings den ausführlichen Weg präsentieren.
Erstelle nun eine Wertetabelle, um den Startwert für das Verfahren in die Nähe der Nullstelle zu bringen. Erinnere dich, dass $\pi \approx 3$.

%%x%%

2

3

4

%%\sin(x)%%

0,909

0,141

-0.757

In der Tat liegt die Nullstelle π\pi zwischen 3 und 4, denn dort wechselt der Sinus sein Vorzeichen.
Wähle einen Startwert. Jeder Startwert im Intervall ]3;4[]3; 4[ ist sinnvoll, z.B. x0=3x_0 = 3% . Setze diesen in die Rekursionsformel ein:
x1=x0sin(x0)cos(x0)=3sin(3)cos(3)=3,14254653,142547\displaystyle x_1 = x_0 - \frac{\sin(x_0)}{\cos(x_0)} = 3 - \frac{\sin(3)}{\cos(3)} = 3,1425465… \approx 3,142547
Setze den Wert wiederholt in die Rekursionsformel ein, bis du die gewünschte Genauigkeit erhältst:
x2=x1sin(x1)cos(x1)=3sin(3,142547)cos(3,142547)=3,14159263,141593\displaystyle x_2=x_1-\frac{\sin(x_1)}{\cos(x_1)}=3-\frac{\sin(3,142547)}{\cos(3,142547)}=3,1415926…\approx3,141593
x3=x2sin(x2)cos(x2)=3,141593sin(3,141593)cos(3,141593)=3,1415926\displaystyle x_3 = x_2 - \frac{\sin(x_2)}{\cos(x_2)} = 3,141593 - \frac{\sin(3,141593)}{\cos(3,141593)} = 3,1415926\dots
Du siehst, dass sich in den letzten beiden Iterationen die ersten sieben Nachkommastellen nicht geändert haben. Du hast daher sogar eine (mindestens) sechs Nachkommastellen genaue Lösung gefunden, genauer als verlangt.
Somit erhältst du, dass sin(3,141593)0\sin(3,141593) \approx 0, und damit auch π3,141593\pi \approx 3,141593.