Die beiden Funktionen f(x)=3x32x2xf(x)=3x^3-2x^2-x und g(x)=4x35x2+3x12g(x)=4x^3-5x^2+3x-12 sind gegeben. Es gilt xRx \in \mathbb {R}. Berechne die Schnittpunkte von f(x)f(x) und g(x)g(x).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen

Tipp: Schneiden sich zwei Funktionen haben ihre xx- und yy-Koordinaten an diesem Punkt denselben Wert. Folglich muss man beide Funktionen gleichsetzen und auf eine Seite bringen, um nach xx aufzulösen.
Zuerst wird ein Schnittpunkt berechnet. Mit diesem werden anschließend die weiteren Schnittpunkte mithilfe der Polynomdivision berechnet.
f(x)=3x32x2xf(x)=3x^3-2x^2-x
g(x)=4x35x2+3x12g(x)=4x^3-5x^2+3x-12

%%\begin{array}{rcl}4x^3-5x^2+3x-12&=&3x^3-2x^2-x&|-3x^3\\x^3-5x^2+3x-12&=&-2x^2-x&|+2x^2\\x^3-3x^2+3x-12&=&-x&|+x\end{array}%%
x33x2+4x12=0x^3-3x^2+4x-12 = 0
x1=3x_1=3                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; durch Taschenrechner
Funktionen gleichsetzten und nach 00 auflösen.
Die so enstandene Funktion mit table im Taschenrechner berechnen und eine passende Nullstelle heraussuchen.
%%\begin{array}{l}\;\;\;(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\\underline{-(x^3-3x^2)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;+4x-12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x-12)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\\\end{array}%%
Neue Funktion: x2+4x^2+4
Mit dieser Nullstelle wird die Polynomdivision gemacht.
%%\begin{array}{rcl}x^2+4&=&0&|-4\\x^2&=&-4&|\sqrt{}\\x&=&\sqrt{-4}\end{array}%%
Die neue Funktion nach xx auflösen.
Da nun unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine weiteren Lösungen und damit auch keine weiteren xx-Koordinaten der Schnittpunkte.
Die vorher ausgerechnete xx-Koordinate 33 ist somit die einzige Koordinate.
\Rightarrow Es gibt nur einen Schnittpunkt

Setze den xx-Wert in eine der beiden Funktionen f(x)f(x) oder g(x)g(x) ein.
y=f(3)=3332323y=f(3)=3\cdot3^3-2\cdot3^2-3
y=f(3)=81183\phantom{y=f(3)}=81-18-3
y=f(3)=60\phantom{y=f(3)}=60

Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei A(360)A(3\vert60) .