Aufgaben

Bestimme die Ortskurve der Minima der Funktionenschar  %%f_k(x)=x³-\;\frac1kx²-\frac1{k²}\;x^{}%% mit Parameter %%k>0%% .

%%f_k(x)=x^3-\dfrac{1}{k}x^2-\dfrac{1}{k^2}x%%, mit %%k>0%%

Bilde die 1. Ableitung von %%f_k(x)%% .

%%{f_k}'(x)=3x^2-\dfrac{2}{k}x-\dfrac{1}{k^2}%%

Setze die 1. Ableitung gleich 0.

%%{f_k}'(x)=3x^2-\dfrac{2}{k}x-\dfrac{1}{k^2}=0%%

Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel nach %%x%% auf.

%%\displaystyle \begin{align} x_{1;2}&=\frac{{\frac{2}{k}}\pm\sqrt{{\frac{4}{k^2}}+\frac{12}{k^2}}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{6k}=\frac{2\pm4}{6k}\\ &=\frac{1\pm2}{3k} \end{align}%%

%%x_1=\frac1k%% und %%x_2=-\frac1{3k}%%

Bilde die 2. Ableitung.

%%{f_k}''(x)=6x-\dfrac{2}{k}%%

Setze %%x_1%% und %%x_2%% in die 2. Ableitung ein um die Art der Extrema zu bestimmen.

%%\begin{array}{ll} {f_k}''(x_1)&=\dfrac{6}{k}-\dfrac{2}{k}=\dfrac{4}{k}\gt 0\\ {f_k}''(x_2)&=-\dfrac{2}{k}-\dfrac{2}{k}=-\dfrac{4}{k} \lt 0 \end{array}%% mit %%k>0%%

Damit sind bei %%x_1%% Minima, da  %%{f_k}''(x_1)\gt 0%% und bei %%x_2%% Maxima, da %%{f_k}''(x_2) \lt 0%%.

In der Aufgabenstellung wird nur nach Ortskurve der Minima gefragt. Also wird im Weiteren nur noch %%x_1%% betrachtet.

Setze %%x_1=\dfrac1k%% in %%f_k%% ein um den %%y%%-Wert der Minima zu erhalten.

%%\displaystyle \begin{array}{ll} f_k(x_1)&=x_1^3-\frac1kx_1^2-\frac1{k^2}\;x_1\\ f_k\left(\frac1k\right)&=\frac1{k^3}-\frac1{k^3}-\frac1{k^3}=-\frac1{k^3} \end{array}%%

Damit sind die Punkte mit %%x%%-Wert: %%\dfrac1k%% und %%y%%-Wert: %%-\dfrac1{k^3}%% die Minima der Funktionenschar. Diese Punkte nennen wir %%P_k%% .

Alle Punkte %%P_k%% liegen auf der Ortskurve.

%%P_k\left(\dfrac1k\left|-\dfrac1{k^3}\right)\right.%%

Erstelle eine Gleichung für %%x%% und eine Gleichung für %%y%%.

%%x=\dfrac1k \Rightarrow k=\dfrac1x%%

Gleichung 1 stellst du nach %%k%% um.

%%y=-\dfrac1{k^3}%%

Gleichung 2.

Setze Gleichung 1 in Gleichung 2 ein.

Funktionsgleichung der Ortskurve:

%%y=-x^3%%

%%g(x)=-x^3%%

Bild zeigt dir die Ortskurve

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8589_yZfDFbwvx8.xml

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