Die Asymptote ist eine Kurve (häufig sogar eine Gerade), an die sich der Graph einer Funktion immer mehr annähert.

"Annähern" bedeutet dabei, dass der Abstand zwischen der Asymptote und dem Funktionsgraphen beliebig klein wird, wenn man

  • weit weg genug vom Ursprung entlang der x-Achse, oder
  • entlang der y-Achse

nachsieht.

Achtung! es kann auch passieren, dass dieser Abstand irgendwann gleich Null wird (also, dass die Funktion gleich ihrer Asymptote ist).

Häufig spricht man vom Verhalten im Unendlichen der Funktion, wenn man sie immer weiter weg vom Ursprung entlang der x-Achse betrachtet.

Asymptoten

Sind Funktionsgraph und Asymptote immer nah aneinander?

Es kann passieren, dass der Funktionsgraph und die Asymptote in einem Abschnitt auseinandergehen. Genau so können sie sich manchmal berühren oder sogar schneiden.

Das folgende Beispiel veranschaulicht eine Funktion, die ihre Asymptote unendlich oft schneidet!

Hier sieht man nur, dass die Funktion um die Gerade bei %%y = 2%% schwingt.

Wenn man in positive Richtung entlang der x-Achse geht wird deutlich, dass %%y=2%% die Asymptote der Funktion ist.

Asymp1

Asymp2

Unterscheidung von Asymptoten

Man unterscheidet zwischen vier Arten von Asymptoten:

Waagrechte Asymptote

Diese sind Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen. Diese sind genau die konstanten Funktionen.

Eine Funktion kann höchstens zwei waagrechte Asymptoten haben, nämlich wenn

  • x ganz groß wird (also wenn x gegen %%\infty%% geht) oder,
  • wenn x ganz klein wird (also gegen %%-\infty%% geht)

Waagerechte Asymptote bei %%y = 2%%

waagerechte

Senkrechte Asymptote (Unendlichkeitsstelle):

Diese sind Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen und werden auch als Polstellen bezeichnet.

Die Funktion aus dem obigen Beispiel hat auch eine senkrechte Asymptote.

Senkrechte Asymptote bei %%x = 4%%.

senkrechte

Können Funktionen auch maximal nur zwei Polstellen haben? Klicke hier und finde es heraus.

In diesem Fall lautet die Antwort: nein. Die Funktion %%f(x) = tan(x)%% zum Beispiel hat unendlich viele Polstellen!

Hier noch eine Skizze dieser Funktion und ein paar ihrer Asymptoten.

Asymptote Tangenz

Schiefe Asymptote

Bei einer schiefen Asymptote sind weder %%x%%- noch %%y%%-Wert konstant.

Die Asymptote wird durch eine allgemeinere Geradengleichung angegeben.

Schiefe Asymptote mit Geradengleichung %%g(x) = x%%.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1312.xml

Kurvenförmige Asymptote

Der Graph einer Funktion kann sich einem anderen Funktionsgraphen als einer Geraden annähern.

Bei gebrochenrationalen Funktionen lässt sich ihre Asymptote gut berechnen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1308.xml

Kommentieren Kommentare

Zu article Asymptote:
Rebi 2017-06-05 22:37:06
Ich würde den Abschnitt zur schiefen Asymptote noch um eine beispielhafte Funktionsgleichung ergänzen, damit man sieht, wie man die Asymptotengleichung bei einer geeigneten Funktionsdarstellung ablesen kann. Soll ich?
Lg, Rebi
peterjaumann 2017-06-06 08:44:35
Hey Rebi,

Prinzipiell finde ich das gut. :) Allerdings solltest du aufpassen, dass das auch mit dem Format des Artikelabschnitts (zu jeder Art von Asymptote eine kurze Erklärung) zusammenpasst. Du kannst dir auch überlegen, das in einen Spoiler oder einen eigenen Artikel zu packen - je nach Ausführlichkeit.

Gruß Peter
Rebi 2017-06-07 04:27:18
Ich hab mir alle Artikel mit Asymptoten (also auch den zu gebrochenrationalen Funktionen) angeschaut, und habe so einen Hinweise überall vermisst, weil ich genau dafür einen Link einfügen wollte. Ich bin aber offen, bei welchem Artikel ich genau den Hinweis einfließen lassen könnte. Hast du einen Vorschlag?
LG, Rebi
Antwort abschicken
Zu article Asymptote:
Kowalsky 2016-12-03 15:54:40
Die senkrechte Asymptote ist bei x=4 eingezeichnet, angegeben ist aber x=3.
Knorrke 2016-12-04 10:25:51
Hallo Kowalsky,

vielen Dank für den Hinweis, ich habe es ausgebessert!

Viele Grüße
Benni
Antwort abschicken
Zu article Asymptote: Asymptote bei Polstellen
Hannes 2014-08-21 19:17:10
In der Zusammenfassung steht, dass eine Asymptote nur dann auftritt, wenn man im Unendlichen nachsieht (also für beliebig kleine und große x werte). Aber, wie auch im Artikel erläutert, gibt es auch senkrechte Asymptoten, bei denen sich die x werte einer Polstelle (z.B einer Nullstelle des Nenners) nähert. Die x werte nähern sich also einer endlichen ZAHL. Im ersten Beispiel dargestellt mit x=4.
Daher sollte dieser Fall auch mit in der Zusammenfassung stehen!
SebSoGa 2016-07-06 11:47:34
Hallo Hannes,
ich habe die Einleitung etwas umformuliert und dabei auf deinen Kommentar geachtet. Passt dir die aktuelle Formulierung besser?
Liebe Grüße
Sebastian
Antwort abschicken
Zu article Asymptote: related content
Simon 2014-08-17 11:41:26
Bitte Verlinkung zu "Asymptote berechnen" einfügen.
Zu article Asymptote: Ergänzung
blacksleet 2014-05-20 15:20:02
Beliebte Misskonzeption: Die Asymptote einer Funktion f darf den Graph von f in keinem Fall berühren.
Der Artikel ist zwar insofern korrekt formuliert, als dass er dem nicht widerspricht. Allerdings löst er dieses Missverständnis nicht auf, falls dieses bei einem Schüler besteht.
Simon 2014-08-17 11:31:27
So besser? Oder habe ich das falsch verstanden?
Hannes 2014-08-21 19:13:13
ich glaube blacksleet meint zum beispiel den fall sin(x)/x. dort schwankt der graph um die x-achse. die Schwankung wird aber immer kleiner, sodass die x-Achse eine Asymptote ist.
hier sollte unbedingt ein bild dazu!