Untersuche die Funktionen auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs (Nullpunkt des Koordinatensystems):

%%f(x)=x^{11}-x^5+2x%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Die Exponenten zur Basis %%x%% sind hier: %%11%%, %%5%% und %%1%%. Es sind also alle Exponenten zur Basis %%x%% ungerade.

%%\Rightarrow%% Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%f(x)=x^{11}-x^5+2x%%

Setzte %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=(-x)^{11}-(-x)^5+2(-x)%%

Umformen.

%%\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x%%

$$\phantom{f(-x)}=-(x^{11}-x^5+2x)=-f(x)$$

%%\Rightarrow%% Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

%%-f(x)=-(x^{11}-x^5+2x)%%

$$\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x$$

%%-f(x)\neq f(x)%%

%%\Rightarrow%% Keine Symmetrie bezüglich der y-Achse.

%%f(x)=x^6-9x^4%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Die Exponenten zur Basis %%x%% sind hier: %%6%% und %%4%%.

Sie sind also alle gerade.

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse.

Durch Berechnung

%%f(x)=x^6-9x^4%%

Setzte %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=(-x)^6-9(-x)^4%%

Umformen.

$$\phantom{f(-x)}=x^6-9x^4=f(x)$$

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrie bezüglich der %%y%%-Achse.

%%-f(x)=-(x^6-9x^4)=%%

$$\phantom{f(-x)}=-x^6+9x^4$$

%%-f(x)\neq f(-x)%%

%%\Rightarrow%% Keine Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

$$f(x)=\frac{x^4+1}{x\left(x^3-3x\right)}$$

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.

Forme erst die Funktion um:

%%\displaystyle f(x)=\frac{x^4+1}{x(x^3-3x)}%%

Multipliziere das %%x%% in die Klammer.

%%\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}%%

Durch Berechnung

%%\displaystyle f(x)=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^4+1}{(-x)^4-3(-x)^2}%%

%%\displaystyle \phantom {f(-x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}=f(x)%%

%%f(-x)=f(x)%%

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrisch bezüglich der %%y%%-Achse.

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x\left(x^2-3x\right)}$$

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.

Forme zunächst die Funktion um:

%%\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x(x^2-3x)}%%

Multipliziere das %%x%% im Nenner in die Klammer.

%%\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^2-1}{x^3-3x^2}%%

Durch Berechnung:

%%\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^3-3x^2}%%

Setzte %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^3-3(-x)^2}%%

Forme um.

%%\displaystyle \phantom{f(-x)}=\frac{x^2-1}{-x^3-3x^2}%%

%%f(-x) \neq f(x)%%

%%\Rightarrow%% Nicht achsensymmetrisch zur %%y%%-Achse

%%f(-x) \neq -f(x)%%

%%\Rightarrow%% Nicht punktsymmetrisch zum Ursprung