Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.

Komplementbeziehungen

  • %%\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)%%
  • %%\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)%%
  • %%\tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan(\alpha)}%%

Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck %%\beta=90°-\alpha%%.

Dreieck

$$\sin(90°-\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}$$

$$\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}.$$

Deshalb ist %%\;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha)%%.

Die anderen Gleichungen lassen auf gleiche Weise erklären.

Beispiel

Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne %%\cos(\alpha)%% auf die gleiche Weise wie oben.

Dreieck

Mit der Komplementbeziehung kannst du %%\cos(\alpha)%% mit %%\sin(90°-\alpha)%% gleichsetzen.

%%\cos(\alpha)=\sin(90°-\alpha)%%

Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.

%%\sin(90°-\alpha)=\sin(\beta)%%

Füge den Wert von %%\beta%% ein, berechne das Ergebnis und runde es auf %%2%% Dezimalstellen.

%%\sin(\beta)=\sin(40°)\approx0,59.%%

Deshalb ist %%\cos(\alpha)\approx0,59.%%

Supplementbeziehungen

Sinus

Kosinus

Tangens

%%\sin(180° + \alpha)=-\sin(\alpha)%%

%%\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha)%%

%%\tan(180^\circ+\alpha)=+{\textstyle\tan}(\alpha)%%

%%\sin(180°-\alpha)=+\sin(\alpha)%%

%%\cos(180°-\alpha)=-\cos(\alpha)%%

%%\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)%%

%%\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin(\alpha)%%

%%\cos(360^\circ-\alpha)=+\cos(\alpha)%%

%%\tan(360^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)%%

Veranschaulichung

%%\sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\;%% und %%\;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\;%% lassen sich hier testen:

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