Suche
suchen

Beziehungen trigonometrischer Funktionen

Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.

Komplementbeziehungen

  • sin(90α)=cos(α)\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)

  • cos(90α)=sin(α)\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)

  • tan(90α)=1tan(α)\tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan(\alpha)}

Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck β=90°α\beta=90°-\alpha.

Dreieck

Anhand der Sinus-, Kosinus- und Tangensformeln sieht man:

sin(90°α)=GegenkatheteHypotenuse=bc\displaystyle \sin(90°-\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}
cos(α)=AnkatheteHypotenuse=bc.\displaystyle \cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}.

Deshalb ist   sin(90°α)=cos(α)\;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha).

Die anderen Gleichungen lassen auf gleiche Weise erklären.

Beispiel

Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne cos(α)\cos(\alpha) auf die gleiche Weise wie oben.

Dreieck

Mit der Komplementbeziehung kannst du cos(α)\cos(\alpha) mit sin(90°α)\sin(90°-\alpha) gleichsetzen.

cos(α)=sin(90°α)\displaystyle \cos(\alpha)=\sin(90°-\alpha)

Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.

sin(90°α)=sin(β)\displaystyle \sin(90°-\alpha)=\sin(\beta)

Füge den Wert von β\beta ein, berechne das Ergebnis und runde es auf 22 Dezimalstellen.

sin(β)=sin(40°)0,59.\displaystyle \sin(\beta)=\sin(40°)\approx0,59.

Deshalb ist cos(α)0,59.\cos(\alpha)\approx0,59.

Supplementbeziehungen

Sinus

Kosinus

Tangens

sin(180°+α)=sin(α)\displaystyle \sin(180° + \alpha)=-\sin(\alpha)
cos(180+α)=cos(α)\displaystyle \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha)
tan(180+α)=+tan(α)\displaystyle \tan(180^\circ+\alpha)=+{\textstyle\tan}(\alpha)
sin(180°α)=+sin(α)\displaystyle \sin(180°-\alpha)=+\sin(\alpha)
cos(180°α)=cos(α)\displaystyle \cos(180°-\alpha)=-\cos(\alpha)
tan(180α)=tan(α)\displaystyle \tan(180^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)
sin(360α)=sin(α)\displaystyle \sin(360^\circ-\alpha)=-\sin(\alpha)
cos(360α)=+cos(α)\displaystyle \cos(360^\circ-\alpha)=+\cos(\alpha)
tan(360α)=tan(α)\displaystyle \tan(360^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)

Veranschaulichung

sin(180°+α)=sin(α)  \sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\; und   cos(180°+α)=cos(α)  \;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\; lassen sich hier testen:

GeoGebra

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 Was bedeutet das?