Die Tangensfunktion ist definiert als: $$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

Der Tangens hat folgende Eigenschaften:

  • Die Nullstellen sind die gleichen wie beim Sinus, da dieser im Zähler des Bruches steht: %%\dots, -3\pi,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,3\pi,\dots%%.

  • Der Definitionsbereich des Tangens sind die gesamten reellen Zahlen %%\left(\mathbb{R}\right)%% bis auf die Definitionslücken: %%\dots,-\frac{3\pi}2,-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2,\dots%%. Diese Definitionslücken des Tangens sind genau die Nullstellen des Kosinus, da man sonst durch %%0%% teilen müsste. Bei den Definitionslücken befinden sich die Asymptoten der Tangensfunktion.

  • Der Wertebereich der Tangensfunktion geht von %%-\infty%% bis %%+\infty%%. Das entspricht den gesamten reellen Zahlen %%\left(\mathbb{R}\right)%%.

  • Der Tangens hat keine Extrema.

Tangens

Beispiel

Zeichne die Funktion %%f(x)=\tan(x) \cos(x)%% im offenen Intervall %%\left] - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right[%% in ein Koordinatensystem.

Verwende die Definition der Tangensfunktion, das heißt %%\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}%%

%%f(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \cos(x)%%

Kürze die Kosinusfunktion, da sie sowohl im Zähler, als auch im Nenner steht.

%%f(x)=\sin(x)%%

Bemerkung: Wie im obigen Artikel beschrieben, hat die Tangensfunktion Definitionlücken an den ungeradzahligen Vielfachen von %%\frac{\pi}{2}%%. Bei der Funktion %%f(x)=\tan(x) \cos(x)%% lassen sich diese Lücken beheben. Zur Erinnerung: Hebbare Definitionslücken

Weitere Übungsaufgaben (Hier klicken)
Veranschauchlichung am Einheitskreis
Vertiefung: Kotangens

Es gibt auch noch den Kotangens, definiert durch: $$\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$ Kotangens

Video zu Sinus, Kosinus und Tangensfunktion

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