Man kann den Abstand zweier Punkte sowohl im Zweidimensionalen als auch im Dreidimensionalen berechnen. Die Formeln dazu kann man sich mit dem Satz des Pythagoras herleiten.

Im Zweidimensionalen

 Für 2 Punkte %%P_1:=\left(x_1\vert y_1\right)%% , %%P_2:=\left(x_2\vert y_2\right)%% kann man den Abstand %%d%% (distance) folgendermaßen berechnen:

$$d:=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Im Dreidimensionalen

Analog zur Formel im zweidimensionalen Raum kann man den Abstand %%d%% (distance) zweier Punkte %%P_1:=\left(x_1\vert y_1\vert z_1\right),\;P_2:=\left(x_2\vert y_2\vert z_2\right)%% im dreidimensionalen Raum folgendermaßen berechnen:

$$d:=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

Vorgehen am Beispiel

Gegeben sind die beiden Punkte P(6|3) und Q(1|2), deren Abstand ermittelt werden soll.

Dazu wird ein rechtwinkliges Dreieck gebildet mit …

  • der Strecke zwischen den Punkten als Hypotenuse ,

  • der Differenz der x-Werte %%\left(6-1=5\right)%% als erste Kathete ,

  • und der Differenz der y-Werte %%\left(3-2=1\right)%% als zweite Kathete.

Der Abstand der Punkte (die Hypotenuse h) kann nun mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

%%d^2=(6-1)^2+(3-2)^2%%

%%d^2=5^2+1^2%%

%%d^2=25+1=26%%

%%d=\sqrt{26}%%

%%d\approx5,099%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Abstand der Punkte P und Q beträgt ungefähr 5,099.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1024.xml

Spezialfall: Die Punkte liegen übereinander 

Gegeben sind zwei übereinander liegende Punkte %%P%% und %%P'%% mit identischen Koordinaten  %%P:=\;(x\vert y)\;=:P'%% .

Der Abstand zwischen %%P%% und %%P'%% berechnet sich mit der Formel %%d:=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}%%.

Setzt man nun die Koordinaten ein, so erhält man wegen  %%x_1=x_2=x%% und  %%y_1=y_2=y%% für den Abstand %%d%%:

%%d:=\sqrt{(x-x)^2+(y-y)^2}=\sqrt{0+0}=\sqrt0=0%% .

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Nish 2018-11-29 16:10:36
Verbesserungswünsche

- Bitte Artikel nach den neuesten Richtlinien für Artikeln (http://de.serlo.org/90391) überarbeiten
- Mehr Bilder zur Motivation/Veranschaulichung des Themas, bei vorhandenem Bild: bitte nach den Richtinien für Grafiken und Applets (http://de.serlo.org/90412) anpassen, z.B. Beschriftung Koordinatensystem fehlt, man könnte die Linienstärken von den Geraden, aber auch vom Koordinatensystem verstärken (Beachte: Richtlinie für Grafiken und Applets wird noch überarbeitet und den Bedürfnissen der Community angepasst, einfach aktuelle Version verwenden bitte und bei Feedback / Nachfragen einfach Kommentar hier oder bei der entsprechenden Richtlinie hinterlassen)
- Zu Richtlinie Artikel Abschnitt Beispielaufgaben : Weniger Aufgaben im Spoiler verlinken, stattdessen zum Ordner mit den Aufgaben verlinken, Spoiler auch nach Richtlinien bitte umbenennen.

Das Ganze dient der Einheitlichkeit auf Serlo und für eine gute Lernerfahrung unserer Nutzer.

LG,
Nish
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Digamma 2018-01-16 17:50:11
"Die Punkte liegen übereinander "
Die Formulierung finde ich seltsam. Ich hätte darunter verstanden, dass die x-Koordinate übereinstimmt, also ein Punkt oberhalb vom andern liegt. Gemeint ist aber, dass die Punkte "aufeinander" liegen. Aber auch das ist seltsam, denn dann handelt es sich schlicht um zweimal denselben Punkt.
Ich würde das Beispiel ganz weglassen, bzw. eines verwenden, wo tatsächlich nur eine Koordinate gleich ist.
Renate 2018-01-16 20:32:44
Ja, @Digamma, da stimme ich dir vollkommen zu!

Hinweis @Redaktion und @Community:
Im Artikel "Längen im Koordinatensystem" (https://de.serlo.org/42242) finden sich genau die Sonderfälle, die hier sinnvoll wären aufzulisten.

Hättest du, @Digamma, vielleicht Zeit und Lust, das zu überarbeiten?
Ich will das im Augenblick hier nämlich nur schnell hinschreiben, damit es nicht verloren geht; dann kann es ja bei Gelegenheit bearbeitet werden, das wäre jedenfalls sicher hilfreich
- und vielen Dank nochmal für deinen Hinweis, @Digamma!

Gruß
Renate
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Digamma 2018-01-16 17:47:26
Ich habe noch nie gesehen, dass die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit h bezeichnet wurde. Ich würde eher c nehmen, wie es beim Satz von Pythagoras üblich ist, oder hier d, weil es um den Abstand geht. h erinnert für mich zu sehr an Höhe.
Rebi 2018-01-16 22:36:24
Ich würde in dem Fall hier d verwenden. LG Rebi
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Digamma 2018-01-16 17:45:58
Im Artikeltext steht: "Für 2 Punkte P1:=(x1|y1), P2:=(x2|y2) ist der Abstand d (distance) definiert als:"
In der üblichen Art, wie in der Schule Geometrie in der Ebene bzw. im Anschauungsraum betrieben wird, ist das aber keine Definition, sondern eine Folgerung aus dem Satz des Pythagoras. Entsprechendes gilt für den 3-dimensionalen Raum Eine Definition ist das nur im abstrakten Raum der Zahlenpaare bzw. -tripel. Eine richtige Formulierung wäre etwa "Der Abstand zweier Punkte .... kann wie folgt berechnet werden."
Renate 2018-01-16 20:11:02
Ok, da hast du recht ;) - ich habe es abgeändert.
Gruß und vielen Dank
Renate
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Rebi 2018-01-15 18:22:34
Als alternative Vorgehensweise sollte hier auch noch das Vorgehen in der analytischen Geometrie erklärt werden, also als Betrag eines Vektors. Die Formel am Ende ist natürlich die selbe, aber man muss wahrscheinlich eine Formel weniger auswendig lernen ;)
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