Berechne die Fläche des Parallelogramms, das von den angegebenen Punkten aufgespannt wird.
A(1|1,5); B(4|-1); C(5|2,5)
Für diese Aufgabe benötigst du - je nach Lösungsweg - Grundwissen über die Determinante oder über das Kreuzprodukt.
A(11,5);B(41);C(52,5)A(1|1,5); B(4|-1); C(5|2,5)
Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Es ist nicht nötig, das Parallelogramm aus den angegeben Punkt zu konstruieren, da es nur zwei Vektoren benötigt, um die Fläche zu berechnen.Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Parallelogramm aufspannen, und berechne diese Vektoren.
Auch hier ist es egal, welche Ecke man wählt, da die Parallelogrammfläche stets das Doppelte der gewählten Dreiecksfläche ist.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7169_NqiBxCTiI3.xml
BA=(141,5(1))=(32,5)\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}1-4\\1,5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\2,5\end{pmatrix}
BC=(542,5(1))=(13,5)\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}5-4\\2,5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3,5\end{pmatrix}

1.Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( α\mathrm\alpha ) oder setze um die Determinante einen Betrag.
Wichitg: KEIN 12\frac12!
Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.
A=BABC=BCBA=133,52,5=2,5+10,5=13  FE\mathrm A=\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{BA}}&\overrightarrow{\mathrm{BC}}\end{vmatrix}\right|=\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{BC}}&\overrightarrow{\mathrm{BA}}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-3\\3,5&2,5\end{vmatrix}=2,5+10,5=13\;FE

2.Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den R3\mathbb{R}^3 ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag 00 hinzugefügt wird.
Berechne nun das Kreuzprodukt BA×BC\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}. Das Ergebnis ist ein zu BA\overrightarrow{BA} und BC\overrightarrow{BC} orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von BA\overrightarrow{BA} und BC\overrightarrow{BC} aufgespannten Parallelogramms entspricht.
A=BA×BC=(32,50)×(13,50)=(0013)=13  FE\displaystyle A=\left|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix}-3\\2,5\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\3,5\\0\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\0\\-13\end{pmatrix}\right|=13\;FE