Das Volumen geometrischer Objekte wird mit Methoden der analytischen Geometrie ausgerechnet.

Volumen eines Parallelotops (Spat, Parallelflach)

Das Volumen eines Parallelotops, das mit Punkten %%A, B, C,%% aufgespannt wird, berechnet sich nach folgender Formel aus der Determinante (oder des Spatprodukts) der drei aufspannenden Vektoren.

                          

$$\text{Volumen} V =\left| \det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\right|$$

                                           

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7557_b9w0lSWBLU.xml

Das Volumen eines Parallelotops wird berechnet, indem man einen beliebigen Eckpunkt wählt und alle 3 von dort ausgehenden Richtungsvektoren

$$\begin{array}{l}\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{ u}_1\\{ u}_2\\{ u}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}{ v}_1\\{ v}_2\\{ v}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AD}}=\begin{pmatrix}{ w}_1\\{ w}_2\\{ w}_3\end{pmatrix}\\\end{array}$$ berechnet.

Der Betrag der Determinante aus den 3 Richtungsvektoren ist das Volumen.

$$V=\left|\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\right| = \left|\det \begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1\\u_2 & v_2 & w_2\\u_3 & v_3 & w_3\end{pmatrix}\right|$$

Die Reihenfolge der Vektoren spielt keine Rolle wenn man das Ganze in den Betrag schreibt.
Hier kannst du alle Rechenregeln für Determinanten finden.

Beispiele

Berechne das Volumen des Parallelotops, welches

Weitere Beispielaufgaben

Berechne das Volumen des Parallelotops, welches

                                               

Volumen eines Prismas (mit einem Dreieck als Grundfläche)

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Das Volumen eines Prismas mit einem Dreieck als Grundfläche ist das halbe Volumen eines Parallelotops.

Also ist das Volumen

$$\text{Volumen}\; V=\frac{1}{2}\left|{\det}\left(\begin{array}{ccc}\overset{\rightarrow}{{AB}}&\overset{\rightarrow}{{AC}}&\overset{\rightarrow}{{AD}}\end{array}\;\right)\right|$$

Bei allgemeinen Prismen kann man die Grundfäche immer in Dreiecke zerlegen und man kann das Volumen der einzelnen Prismen mit Dreicken als Grundseite berechnen.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm als Grundfläche)

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Das Volumen einer Pyramide lässt sich berechnen als

%%\begin{array}{l} V=\frac{1}{3}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|=\frac{1}{3}\left|{\det}\left(\overset{\rightarrow}{{AB}},\overset{\rightarrow}{{AC}},\;\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|\\\end{array}%%

Beispiele

Berechne das Volumen der Pyramide, welche

Weitere Beispielaufgaben

Berechne das Volumen der Pyramide, welche

Volumen eines Tetraeders

Ein Tetraeder ist eine Pyramide , die als Grundseite ein Dreieck hat. Ein Tetraeder wird durch vier Punkte eindeutig bestimmt.

Seien %%A, B, C, D%% diese Punkte, dann ist das Volumen %%V%%:

                      

%%V=\frac{1}{6}\left|\overset{\rightarrow}{AB}\circ\left(\overset{\rightarrow}{ A C}\times\overset{\rightarrow}{ A D}\right)\right|=\frac{1}{6}\left| \det\left(\overset{\rightarrow}{ A B},\;\overset{\rightarrow}{ A C},\;\overset{\rightarrow}{ A D}\right)\right|%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7551_cbITf4FVqj.xml

Die Formel für das Volumen eines Tetraeders sieht der Volumenformel einer Pyramide sehr ähnlich.

Der Skalierungsfaktor %%\frac{1}{6}%% (statt %%\frac{1}{3}%% wie bei der Pyramide) kommt daher, dass die Grundfläche hier ein Dreieck und kein Parallelogram ist.

Das Volumen des Tetraeders ist also %%\frac{1}{2}%% Mal so groß, wie das der Pyramide.

Beispiele

Berechne das Volumen des Tetraeders, welches

Weitere Beispielaufgaben

Berechne das Volumen des Tetraeders, welches

                                           

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Feedback einer Freundin zur Abbildung der Pyramide: "Bei der Pyramide ist eine Ecke gar nicht beschriftet und die Spitze wurde als D bezeichnet.
An sich ja nichts schlimmes, da so aufgezeigt wurde, dass nur drei Vektoren wichtig sind.
Allerdings für das folgende Beispiel zunächst ein wenig verwirrend, da dann alle Punkte des Quadrats und die Spitze gegeben sind. Hier wurde dann der vierte Eckpunkt als D und die Spitze mit S bezeichnet. Im ersten Moment war ich etwas verwirrt, da ich stupide die formel mit D eingesetzt habe. Womit dann natürlich im Spatprodukt 0 raus kam 😄 Andererseits eine gute Denkübung für die Schüler ☺"
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SebSoGa 2016-06-30 10:21:48
Hallo Serlo-Team,

Dieser Artikel führt die Formel zur Volumenberechnung des Tetraeders auf halbieren des Volumens einer Pyramide zurück. Zum Schluss des Artikels wird aber das Berechnen des Volumens einer Pyramide als "Anwendung des bisher gelernten" präsentiert, und die Formel für die Berechnung des Tetraeders mit 2 multipliziert.
Könnte man nicht beispielsweise die Berechnung des Volumens eines Tetraeders als die Anwendung der Formel für das Volumen der Pyramide betrachten?

Liebe Grüße
Sebastian
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Zu article Volumenberechnung in der analytischen Geometrie : Verlinkungen überprüfen
Lena09 2014-05-01 13:55:48
Bei diesem Artikel müssen noch die entsprechenden Begriffe anstelle von "Artikel zum Thema" verlinkt werden. Dabei müssen die Verlinkungen unbedingt nochmal überprüft werden.
Wäre klasse wenn jemand das überarbeiten möchte.
Liebe Grüße Lena