Aufgaben

Bestimme die Skalare, sodass der Vektor %%\overrightarrow u%% eine Linearkombination der Vektoren %%\overrightarrow{v_i}%% ist.

%%\displaystyle\overrightarrow u=\begin{pmatrix}7\\12\end{pmatrix}, \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}-5\\-5\end{pmatrix},\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}-1\\\frac23\end{pmatrix}%%

Zu bestimmen sind die Skalare %%a,b\in\mathbb{R}%%, sodass gilt

%%\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}%%.

Setz die gegebenen Vektoren ein.

%%\displaystyle\begin{pmatrix}7\\12\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}-5\\-5\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}-1\\\frac23\end{pmatrix}%%

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen %%a%% und %%b%%.

%%\displaystyle\begin{array}{cccccc} \text{I}&7&=&-5\cdot a&+&(-1)\cdot b\\ \text{II}&12& =&-5\cdot a&+&\frac23\cdot b \end{array}%%

%%\Rightarrow a=-2, \;b=3%%.

%%\displaystyle\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}%%

Zu bestimmen sind die Skalare %%a,b∈\mathbb R%%, sodass gilt

%%\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}%%

Setz die gegebenen Vektoren ein.

%%\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}%%

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen %%a%% und %%b%%.

%%\begin{array}{cccccc} \text I & 1&=&1\cdot a&+&2\cdot b\\ \text{II}&1&=&2\cdot a&+&1\cdot b \end{array}%%

%%\displaystyle\Rightarrow a=\frac13,\;b=\frac13%%.

%%\displaystyle\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-3\\5\\6\end{pmatrix}, \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}%%

Zu bestimmen sind die Skalare %%a,b,c∈\mathbb R%%, sodass gilt

%%\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3}%%

Setz die gegebenen Vektoren ein.

%%\begin{pmatrix}-3\\5\\6\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}%%

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen %%a,b%% und %%c%%.

%%\begin{array}{ccccccc} \text I&-3&=&1\cdot a&+&1\cdot b&+&1\cdot c\\ \text{II}&5&=&1\cdot a&+&1\cdot b&&\\ \text{III}&6&=&&&1\cdot b&+&1\cdot c \end{array}%%

%%\Rightarrow a=-9,\;b=14,\;c=-8%%.

Prüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind.

%%\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}%%

Die Vektoren %%\overrightarrow{v_1}%% und %%\overrightarrow{v_2}%% sind genau dann linear unabhängig, wenn es keine trivialen Skalare %%a,b\in\mathbb{R}%% gibt, sodass gilt

%%a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}%%

Setz die gegebenen Vektoren ein.

%%\displaystyle a\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}%%

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen %%a%% und %%b%%.

%%\displaystyle\begin{array}{cccccc} \text{I}&1\cdot a&+&0\cdot b &=& 0\\ \text{II}&0\cdot a&+&1\cdot b &=& 0 \end{array}%%

%%\Rightarrow a=0, \;b=0%%. Das bedeutet %%a%% und %%b%% sind trivial und somit sind %%\overrightarrow{v_1}%% und %%\overrightarrow{v_2}%% linear unabhängig.

%%\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix},\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}4,5\\-3\end{pmatrix}%%

Die Vektoren %%\overrightarrow{v_1}%% und %%\overrightarrow{v_2}%% sind genau dann linear unabhängig, wenn es keine trivialen Skalare %%a,b\in\mathbb{R}%% gibt, sodass gilt

%%a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}%%

Setz die gegebenen Vektoren ein.

%%\displaystyle a\cdot\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}4,5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}%%

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen %%a%% und %%b%%.

%%\displaystyle\begin{array}{cccccc} \text{I}&(-3)\cdot a&+&4,5\cdot b &=& 0\\ \text{II}&2\cdot a&+&(-3)\cdot b &=& 0 \end{array}%%

%%\Rightarrow 1,5\cdot a=b%%. Für beispielsweise %%a=1,5%% und %%b=1%% ist die Gleichung also erfüllt und somit sind %%\overrightarrow{v_1}%% und %%\overrightarrow{v_2}%% linear abhängig.

%%\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}3\\8\\9\end{pmatrix},\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}4\\7\\-2\end{pmatrix},\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}%%

Die Vektoren %%\overrightarrow{v_1}%%, %%\overrightarrow{v_2}%% und %%\overrightarrow{v_3}%% sind genau dann linear unabhängig, wenn es keine trivialen Skalare %%a,b,c\in\mathbb{R}%% gibt, sodass gilt

%%a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}%%

Setz die gegebenen Vektoren ein.

%%\displaystyle a\cdot\begin{pmatrix}3\\8\\9\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}4\\7\\-2\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}%%

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen %%a%% und %%b%%.

%%\displaystyle\begin{array}{cccccccc} \text{I}&3\cdot a&+&4\cdot b &+& 2\cdot c&=& 0\\ \text{II}&8\cdot a&+&7\cdot b &+& 2\cdot c&=& 0 \\ \text{III}&9\cdot a&+& (-2)\cdot b&+&2\cdot c&=&0 \end{array}%%

%%\Rightarrow a=0,\,b=0,\,c=0%%. Das bedeutet %%a%%, %%b%% und %%c%% sind trivial und somit sind %%\overrightarrow{v_1}%%, %%\overrightarrow{v_2}%% und %%\overrightarrow{v_3}%% linear unabhängig.

Kommentieren Kommentare