Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, gibt es grundsätzlich mehrere Möglichkeiten:
1. Berechnung mit Grundlinie und zugehöriger Höhe
  • allgemein
  • Sonderfälle für rechtwinkliges und für gleichseitiges Dreieck
AΔ=12gh\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h
2. Berechnung mit zwei Seiten und dem Sinus des Winkels dazwischen
AΔ=12absinγ\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma
3. Berechnung mit einer Determinante (nur im Koordinatensystem möglich)
AΔ=12AB×AC\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot |\vec{AB}\times\vec{AC}|

Dreiecksfläche mit Grundlinie und Höhe berechnen

Dies ist die zumeist verwendete Methode. Man braucht dabei zur Berechnung der Dreiecksfläche AΔA_{\Delta}
  • die Grundlinie gg und
  • die Höhe hh des Dreiecks.
Graphik zur Veranschaulichung von Grundlinie und Höhe
Die Formel lautet:
AΔ=12gh\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h
Die Formel dafür kann man dadurch erhalten, dass man das Dreieck zu einem (doppelt so großen) Rechteck ergänzt - genaueres dazu siehe im Artikel zur Herleitung der Formel der Dreiecksfläche.

Verschiedene Versionen der Formel

Grundlinie gg kann jede beliebige Seite des Dreiecks sein; hh muss aber die jeweils zugehörige Höhe sein. Damit kann die Formel in drei verschiedenen Formen erscheinen:
AΔABC=12ahaA_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a
AΔABC=12bhbA_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b
AΔABC=12chcA_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c
Berechne die Fläche des Dreiecks, wenn gilt:
Berechne die Fläche des Dreiecks, das durch die folgenden Punkte gegeben ist:
Verwende die Formel, um die gesuchte Größe zu finden:

Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten aa und bb gilt:
AΔABC=12ab\displaystyle A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b
(Die Formel AΔABC=12chcA_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c gilt natürlich immer noch.)
Grafik einfügen

Sonderfall: gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge aa gilt:
AΔABC=a243\displaystyle A_{\Delta ABC}=\frac{a^2}{4}\cdot \sqrt 3

Dreiecksfläche mit dem Sinus berechnen

Wenn man bereits den Sinus kennt und verwenden darf, kann man die Fläche eines Dreiecks auch mit Hilfe
  • zweier Seitenlängen und
  • dem Sinus des dazwischenliegenden Winkels
berechnen.
Graphik "Seite-Winkel-Seite"
AΔ=12absinγ\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma
Statt γ\gamma kann natürlich auch jeder andere Winkel des Dreiecks betrachtet werden, und daher kann die Formel auch wieder in drei verschiedenen Formen auftreten:
AΔ=12absinγ\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma
Graphik zur Veranschaulichung: Dreieck mit Seite b und Seite a und Winkel Gamma dazwischen
AΔ=12acsinβ\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot c \cdot \sin \beta
Graphik zur Veranschaulichung: Dreieck mit Seite a und Seite c und Winkel Beta dazwischen
AΔ=12bcsinα\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot c \cdot \sin \alpha
Graphik zur Veranschaulichung: Dreieck mit Seite b und Seite c und Winkel Alpha dazwischen

Dreiecksfläche mit der Determinante berechnen

Diese Methode funktioniert natürlich nur, wenn das Dreieck in einem Koordinatensystem gegeben ist.
in Arbeit - vorerst klicke dazu hier
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