Länge eines Vektors

Stellt man sich einen Vektor als einen Pfeil vor, so bezeichnet man als seinen Betrag die Länge der Strecke vom Fuß bis zur Spitze. Man spricht daher auch oft von der Länge des Vektors.

Notation: Für den Betrag eines Vektors a\vec{a} benutzt man das Symbol a|\vec{a}|. In vielen Büchern findet man auch die Schreibweise a\|\vec{a}\|.

Berechnung

Der Betrag eines Vektors wird durch den Satz des Pythagoras berechnet. Die einzelnen Koordinaten werden dabei quadriert und addiert, dann wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.

In der Ebene

Im Raum

Der Betrag eines Vektors ist auch gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.

In der Ebene: a=aa=a12+a22\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{{a}_1^2+{a}_2^2}

Im Raum: a=aa=a12+a22+a32\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{{a}_1^2+{a}_2^2+{a}_3^2}

Beispiele

Beispiel 1

Die Länge beider Vektoren a\vec{a} und a-\vec{a} ist gleich 10\sqrt{10}.

Beispiel 2

a=(123)     a=12+22+32=14\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\ \left|\vec a\right|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}  

Die Länge des Vektors ist 14\sqrt{14} .

Bezug zum Betrag von reellen Zahlen

Wie der Betrag einer reellen Zahl, kann auch der Betrag eines Vektors als der Abstand des Vektors "zur Null" (also zum Ursprung) verstanden werden.

Daher benutzt man das Symbol a|\vec{a}| für die Länge des Vektors a\vec{a}.

Wie bei den reellen Zahlen gilt:

  • Die Vektoren a\vec{a} und a-\vec{a} haben immer den gleichen Betrag.

  • Der Betrag von einem Vielfachen λa\lambda \cdot \vec{a} von a\vec{a} ist gleich dem Betrag der reellen Zahl (!) λ\lambda, mal den Betrag des Vektors a\vec{a}.

Anwendungen

Vektoren spielen in vielen Aspekten des realen Lebens eine Rolle. So lassen sich zum Beispiel

  • Flugbahnen von Flugzeugen und Planeten, sowie

  • physikalische Kräfte wie die Schwerkraft oder ein Magnetfeld

mithilfe von Vektoren beschreiben.

Auf ein Flugzeug wirkende Kräfte.

Die Länge der Vektoren, beschreibt dann

  • die Geschwindigkeit eines Flugzeugs (oder eines Planeten) zu einem gewissen Zeitpunkt, oder auch

  • das Gewicht eines Objekts (oder die Stärke eines Magnetfeldes)


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