Länge eines Vektors

Vektor und seine Länge — Vektor $\vec{a}$ und seine Länge $|\vec{a}|$

Stellt man sich einen Vektor als einen Pfeil vor, so bezeichnet man als seinen Betrag die Länge der Strecke vom Fuß bis zur Spitze. Man spricht daher auch oft von der Länge des Vektors.

Notation: Für den Betrag eines Vektors $\vec{a}$ benutzt man das Symbol $|\vec{a}|$ . In vielen Büchern findet man auch die Schreibweise $\|\vec{a}\|$ .

Berechnung

Der Betrag eines Vektors wird durch den Satz des Pythagoras berechnet. Die einzelnen Koordinaten werden dabei quadriert und addiert, dann wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.

In der Ebene

Für $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ ist die Länge von $\vec a$ :

$\left|\vec a\right|=\left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

Der Betrag eines Vektors ist auch gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst, also

\displaystyle \left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{{a}_1^2+{a}_2^2}

Im Raum

Für $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ ist die Länge von $\vec a$ :

$\left|\vec a\right|=\left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Der Betrag eines Vektors ist auch gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst, also

\displaystyle \left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{{a}_1^2+{a}_2^2}

Beispiele

Beispielin der Ebene

$\vec{a} = \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ |\vec{a}| =\sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$

$-\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ |-\vec{a}| =\sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$

Die Länge beider Vektoren $\vec{a}$ und $-\vec{a}$ ist gleich $\sqrt{10}$ .

Beispielim Raum

$\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\ \left|\vec a\right|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$

Die Länge des Vektors ist $\sqrt{14}$ .

Bezug zum Betrag von reellen Zahlen

Wie der Betrag einer reellen Zahl, kann auch der Betrag eines Vektors als der Abstand des Vektors "zur Null" (also zum Ursprung) verstanden werden. Daher benutzt man das Symbol $|\vec{a}|$ für die Länge des Vektors $\vec{a}$ .

Wie bei den reellen Zahlen gilt:

Die Vektoren $\vec{a}$ und $-\vec{a}$ haben immer den gleichen Betrag.
Der Betrag von einem Vielfachen $\lambda \cdot \vec{a}$ von $\vec{a}$ ist gleich dem Betrag der reellen Zahl (!) $\lambda$ , mal den Betrag des Vektors $\vec{a}$ .

Anwendungen

Vektoren spielen in vielen Aspekten des realen Lebens eine Rolle. So lassen sich zum Beispiel

Flugbahnen von Flugzeugen und Planeten, sowie
physikalische Kräfte wie die Schwerkraft oder ein Magnetfeld

mithilfe von Vektoren beschreiben.

Die Länge der Vektoren, beschreibt dann

die Geschwindigkeit eines Flugzeugs (oder eines Planeten) zu einem gewissen Zeitpunkt, oder auch
das Gewicht eines Objekts (oder die Stärke eines Magnetfeldes)

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