Länge eines Vektors

Betrag in der Ebene
Stellt man sich einen Vektor als einen Pfeil vor, so bezeichnet man als seinen Betrag die Länge der Strecke vom Fuß bis zur Spitze. Man spricht daher auch oft von der Länge des Vektors.

Notation: Für den Betrag eines Vektors a⃗\vec{a} benutzt man das Symbol ∣a⃗∣|\vec{a}|. In vielen Büchern findet man auch die Schreibweise ∥a⃗∥\|\vec{a}\|.

Berechnung

Der Betrag eines Vektors wird durch den Satz des Pythagoras berechnet. Die einzelnen Koordinaten werden dabei quadriert und addiert, dann wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.

In der Ebene

∣a→∣=∣(a1a2)∣=a12+a22\left|\overrightarrow a\right|=\left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}
Betrag mit Pythagoras

Im Raum

∣a→∣=∣(a1a2a3)∣=a12+a22+a32\left|\overrightarrow a\right|=\left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}
Betrag im Raum
Der Betrag eines Vektors ist auch gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.
In der Ebene: ∣a⃗∣=a⃗∘a⃗=a12+a22\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{{a}_1^2+{a}_2^2}
Im Raum: ∣a⃗∣=a⃗∘a⃗=a12+a22+a32\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{{a}_1^2+{a}_2^2+{a}_3^2}

Beispiele

Beispiel 1

a⃗=(−13) ⇒ ∣a⃗∣=(−1)2+32=10\vec{a} = \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ |\vec{a}| =\sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}
−a⃗=(1−3) ⇒ ∣−a⃗∣=12+(−3)2=10-\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ |-\vec{a}| =\sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}
Die Länge beider Vektoren a⃗\vec{a} und −a⃗-\vec{a} ist gleich 10\sqrt{10}.

Beispiel 2

a⃗=(123)    ⇒ ∣a⃗∣=12+22+32=14\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\ \left|\vec a\right|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}  
Die Länge des Vektors ist 14\sqrt{14} .
Übungsaufgaben
Berechne die Längen der folgenden Vektoren
Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Länge eines Vektors

Bezug zum Betrag von reellen Zahlen

Wie der Betrag einer reellen Zahl, kann auch der Betrag eines Vektors als der Abstand des Vektors "zur Null" (also zum Ursprung) verstanden werden. Daher benutzt man das Symbol ∣a⃗∣|\vec{a}| für die Länge des Vektors a⃗\vec{a}.
Wie bei den reellen Zahlen gilt:
  • Die Vektoren a⃗\vec{a} und −a⃗-\vec{a} haben immer den gleichen Betrag.
  • Der Betrag von einem Vielfachen λ⋅a⃗\lambda \cdot \vec{a} von a⃗\vec{a} ist gleich dem Betrag der reellen Zahl (!) λ\lambda, mal den Betrag des Vektors a⃗\vec{a}.

Anwendungen

Vektoren spielen in vielen Aspekten des realen Lebens eine Rolle. So lassen sich zum Beispiel
  • Flugbahnen von Flugzeugen und Planeten, sowie
  • physikalische Kräfte wie die Schwerkraft oder ein Magnetfeld
mithilfe von Vektoren beschreiben.
Flugzeug
Auf ein Flugzeug wirkende Kräfte.
Die Länge der Vektoren, beschreibt dann
  • die Geschwindigkeit eines Flugzeugs (oder eines Planeten) zu einem gewissen Zeitpunkt, oder auch
  • das Gewicht eines Objekts (oder die Stärke eines Magnetfeldes)
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Zu article Länge eines Vektors:
Digamma 2020-05-21 11:32:15+0200
In der Grafik bei "In der Ebene" sind %%a_1%% und %%a_2%% vertauscht.
Nish 2020-05-24 18:19:32+0200
Danke dir, Digamma! Hast natürlich recht! Ich stelle diese Aufgabe mal in den Chat, da ich momentan nicht dazu komme und sich dort hoffentlich jdn. zeitnaher findet.

LG,
Nish
kathongi 2020-05-27 16:37:37+0200
Bild wurde ausgetauscht ;)
Digamma 2020-05-28 05:33:33+0200
Super. Danke.
Nish 2020-05-28 07:02:43+0200
Danke, Kathi :)
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