Aufgaben
Berechne den Flächeninhalt und Umfang eines Kreises mit dem
Zu text-exercise-group 62787:
mariefreyberg 2018-05-16 14:35:59+0200
Ich hasse mathe doch insgesamt schon genug! aber diess Thema noch dazu!? wenigstens macht ihr gute Aufgaben!

Rebi 2018-05-16 22:40:56+0200
Dieses Lob freut uns sehr. Melde dich auch gerne, wenn du irgendwelche Verbesserungsvorschläge hast :)
LG Rebi
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Radius r=1,5cmr = 1,5 \, cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

Flächeninhalt

A=πr2=π(1,5cm)2=3,142,25cm2=7,07cm2A = \pi \cdot r^2= \pi \cdot (1,5 \, cm)^2 = 3,14 \cdot 2,25\, cm^2 = 7,07 \, cm^2

Umfang

U=2πr=2π1,5cm=23,141,5cm=9,42cmU=2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 1,5 \, cm = 2 \cdot 3,14 \cdot 1,5 \, cm= 9,42 \, cm
Radius r=4cmr= 4 \, cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

Flächeninhalt

A=πr2=π(4cm)2=3,1416cm2=50,24cm2A = \pi \cdot r^2= \pi \cdot (4 \, cm)^2 = 3,14 \cdot 16\, cm^2 = 50,24 \, cm^2

Umfang

U=2πr=2π4cm=23,144cm=25,12cmU=2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 4 \, cm = 2 \cdot 3,14 \cdot 4 \, cm= 25,12 \, cm
Gib den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 2,5cm2,5\,cm an.
Gib den Flächeninhalt, insbesondere ohne Einheit und mit 2 Stellen nach dem Komma, in der folgenden Form an:
Zahl,Zahl, z.B. 24,58
A=πr2=π(2,5cm)2=3,146,25cm2=19,625cm2A = \pi \cdot r^2= \pi \cdot (2,5 \, cm)^2 = 3,14 \cdot 6,25\, cm^2 = 19,625 \, cm^2
Auf 2 Stellen nach dem Komma runden.
Die richtige Antwort ist also 19,6319,63.

Gib den Umfang eines Kreises mit dem Radius 2,5cm2,5 \, cm an.

Gib den Umfang im Eingabefeld ohne Einheit auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang des Kreises

In dieser Aufgabe benötigst du die Formel für den Umfang des Kreises und musst richtig runden.
U=2πr=2π2,5cm=23,142,5cm15,71cmU=2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 2,5 \, cm = 2 \cdot 3,14 \cdot 2,5 \, cm \approx 15,71 \, cm
Die Antwort ist also 15,7115,71.
Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle. Runde dabei auf eine Stelle nach dem Komma.

$$$$

a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

4,5 cm

0,7 mm

Durchmesser d

40,0 cm

5,6 m

Umfang U

92,4 m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen. Eine ist, die Spalten der Tabelle durchzugehen und alle fehlenden Größen zu bestimmen. Eine andere Möglichkeit ist, die Zeilen durchzugehen. Zudem kannst du immer auch Zwischenergebnisse weiterverwenden, oder nur mit den Angaben aus der Tabelle rechnen.

In dieser Lösung werden die Zeilen durchgegangen.

Berechnung der Radien (erste Zeile)

b) Hier ist der Durchmesser des Kreises gegeben. Der Radius ist immer die Hälfte des Durchmessers. Also gilt für den Radius:
r=d2=40,0cm2=20,0cm\displaystyle r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{40,0\text{cm}}{2} = 20,0\text{cm}
c) Hier ist auch der Durchmesser gegeben. Den Radius berechnest du genau wie bei b):
r=d2=5,6m2=2,8m\displaystyle r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{5,6\text{m}}{2} = 2,8\text{m}
d) Hier ist der Umfang des Kreises gegeben. Die Formel für den Umfang des Kreises ist: U=dπ=2rπU = d \cdot \pi = 2\cdot r\cdot \pi. Um den Radius des Kreises zu ermitteln, kannst du den Wert für den Umfang einsetzen und dann die Formel umstellen:
92,4m=2rπ:2:π92,4m2π=rr14,7m\displaystyle \begin{array}{rclll} 92,4\text{m} &=& 2\cdot r\cdot \pi &\vert :2 &\vert :\pi \\\\ \dfrac{92,4\text{m}}{2\cdot\pi} &=& r\\\\ r &\approx & 14,7\text{m} \end{array}

Berechnung der Durchmesser (zweite Zeile)

a) Hier ist der Radius gegeben. Der Durchmesser ist immer das Doppelte des Radius. Also gilt für den Durchmesser:
d=2r=24,5cm=9cm\displaystyle d = 2\cdot r = 2 \cdot 4,5\text{cm} = 9\text{cm}
d) Hier ist der Umfang gegeben. Die Formel für den Umfang ist: U=dπU = d\cdot\pi. Um den Durchmesser zu ermitteln, setzt du den Umfang ein und stellst nach dd um:
92,4m=dπ:π92,4mπ=dd29,4m\displaystyle \begin{array}{rcll} 92,4\text{m} &=& d\cdot\pi &\vert :\pi \\\\ \dfrac{92,4\text{m}}{\pi} &=& d \\\\ d &\approx & 29,4\text{m} \end{array}
e) Hier ist wieder der Radius gegeben. Also ist der Durchmesser:
d=2r=20,7mm=1,4mm\displaystyle d = 2\cdot r = 2 \cdot 0,7\text{mm} = 1,4\text{mm}

Berechnung der Umfänge (dritte Zeile)

Hier kannst du jedesmal die Formel für den Umfang benutzen. Diese lautet:
U=dπ=2rπ.\displaystyle U = d\cdot\pi = 2\cdot r\cdot \pi.
Je nach dem, ob der Radius rr oder der Durchmesser dd gegeben ist, setzt du den entsprechenden Wert in die Formel ein.

a) Gegeben ist der Radius.
U=2rπ=24,5cmπ28,3cm.\displaystyle U = 2\cdot r\cdot \pi = 2 \cdot 4,5\text{cm} \cdot \pi \approx 28,3 \text{cm}.
b) Gegeben ist der Durchmesser.
U=dπ=40cmπ125,7cm\displaystyle U = d\cdot \pi = 40\text{cm} \cdot \pi \approx 125,7\text{cm}
c) Gegeben ist der Durchmesser.
U=dπ=5,6mπ17,6m\displaystyle U = d\cdot \pi = 5,6\text{m} \cdot \pi \approx 17,6\text{m}
e) Gegeben ist der Radius.
U=2rπ=20,7mmπ4,4mm.\displaystyle U = 2\cdot r\cdot \pi = 2 \cdot 0,7\text{mm} \cdot \pi \approx 4,4 \text{mm}.

$$$$

a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

4,5 cm

20,0 cm

2,8 m

14,7 m

0,7 mm

Durchmesser d

9,0 cm

40,0 cm

5,6 m

29,4 m

1,4 mm

Umfang U

28,3 cm

125,7 cm

17,6 m

92,4 m

4,4 mm

Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle (auf die erste Dezimalstelle gerundet).

$$$$

a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

1,5 cm

33,0 cm

Durchmesser d

2,4 m

Umfang U

71,4 m

Flächeninhalt

12,56 cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreise und Kreisteile

$$$$

a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

1,5 cm

33,0 cm

1,2 m

11,4 m

2,0 cm

Durchmesser d

3,0 cm

66,0 cm

2,4 m

22,8 m

4,0 cm

Umfang U

9,4 cm

207,3 cm

7,5 m

71,6 m

12,6 cm

Flächeninhalt A

7,1 cm²

3421,2 cm²

4,5 m²

408,3 m²

12,6 cm²

Ein Kreis hat den Radius 3 cm.

a) Welchen Umfang hat ein Kreis mit dem dreifachen Radius?

b) Welchen Flächeninhalt hat der Kreis mit dem dreifachen Radius?

Teilaufgabe a)

Berechne den neuen Radius

%%r = 3\cdot 3cm = 9cm%%

Berechne jetzt den Umfang mit dem neuen Radius

%%U = 2r\cdot\pi%%

%%U = 2\cdot9cm\cdot3,14 = 56,52cm%%

Der Kreisumfang beträgt 56,52cm

Teilaufgabe b)

Berechne nun den Flächeninhalt mit dem neuen Radius

%%A = r^2\cdot\pi%%

%%A=9cm\cdot9cm\cdot3,14=254,34cm^2%%

Der Flächeninhalt beträgt 254,34 cm%%²%%.

Berechne den Durchmesser des Kreises mit dem Radius:
r = 3cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Der Kreis

Der Durchmesser berechnet sich mit der Formel d=2rd = 2\cdot r. Dabei ist der Radius rr gleich r=3cmr=3\,\mathrm{cm}. Damit ist der Durchmesser 6cm6cm, denn:
$$\begin{align}d& =2\cdot3cm \\d& = 6cm\end{align}$$
r = 9cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Der Kreis

Der Durchmessers berechnet sich mit der Formel d=2rd=2\cdot r. Dabei ist der Radius rr gleich r=9cmr=9cm. Damit ist der Durchmesser 18cm\begin{array}{l}18cm\\\end{array}, denn:
d=29cm\displaystyle d=2\cdot9cm
d=18cm\displaystyle d=18cm
r = 14cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Der Kreis

Der Durchmesser berechnet sich mit der Formel d=2rd=2\cdot r. Dabei ist der Radius rr gleich r=14cmr=14cm. Damit ist der Durchmesser 28cm28cm, denn:
d=214cm\displaystyle d=2\cdot14cm
d=28cm\displaystyle d=28cm

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von 1,20 m. Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils 50 cm breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

 

  1. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

  2. Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens 15 cm überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

 

 

Breite

Länge

Tischdecke A

140 cm

260 cm

Tischdecke B

150 cm

250 cm

Tischdecke C

160 cm

240 cm

Teilaufgabe 1

Berechnungen am Kreis

%%U_{vergrößerte\;Tischplatte}=2\cdot r\cdot\pi+2\cdot2\cdot b%%

Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite %%b%% der zwei gleichen Rechtecke zusammen.

%%=\;2\cdot0,6\cdot\mathrm\pi+4\cdot0,5%%

%%\approx5,77\;m%%

 

%%A_{vergrößerte\;Tischplatte}=\;r^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(b\cdot l\right)%%

Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge %%l%% der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.

%%=\;0,6^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(0,5\cdot1,2\right)%%

 

%%=2,33\;m^2%%

 

Teilaufgabe 2

Tischdecke A

 

Damit die Tischdecke an allen Seiten %%15cm%% übersteht, muss sie um %%30cm%% länger und breiter sein, als der Tisch.

%%b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm%%

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

%%140cm-120cm=20cm%%

 

%%20cm\leq30\;cm%%

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten %%30cm%%.

%%\Rightarrow%% Also fällt Tischdecke A weg.

 

Tischdecke B

 

%%150cm-120cm\;=30\;cm%%

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

%%30cm\geq30cm%%

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

%%l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30cm%%

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

%%250cm-\left(2\cdot60cm+2\cdot50cm\right)=%%

 

%%250cm-220cm\geq30cm%%

 

%%30cm=30cm%%

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um %%30cm%% über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als %%30cm%% über, da der Tisch abgerundet ist.
%%\Rightarrow%% Dass heißt: Tischdecke B ist ideal. 

Prüfe Tischdecke C

 

Zuerst wird die Breite überprüft.

%%160cm-120cm\geq30cm%%

%%40cm\geq30cm%%

%%\Rightarrow%% Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

%%240cm-220cm\geq30cm%%

 

%%20cm\leq30cm%%

%%\Rightarrow%% Jedoch ist sie nicht lang genug, um %%30cm%% über zu stehen.

%%\Rightarrow%% Deshalb ist auch C nicht geeignet. 

A: Tischdecke B eignet sich.

Begründe, wie sich jeweils Umfang und Flächeninhalt eines Kreises ändern, wenn man seinen Radius verdoppelt, verdreifacht bzw. vervierfacht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Kreis

Diagramm zum Verhältnis von Radius zum Umfang eines Kreises
Änderung des Umfangs beim Vervielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen, kleinen Umfang des Kreises auf.
U1=2r1πU_1=2\cdot r_1\cdot\pi
Ebenfalls die Formel für den neuen Umfang aufstellen:
U2=2r2πU_2=2\cdot r_2\cdot\pi
r1r_1 wird um den neuen Umfang U2U_2 zu erhalten vervielfacht: r2=nr1r_2=n\cdot r_1. Setze ein.
U2=2(r1n)π=n2r1πU_2=2\cdot\left(r_1\cdot n\right)\cdot\pi=n\cdot2\cdot r_1\cdot\pi
Benutze 2r1π=U12\cdot r_1\cdot\pi=U_1 um den Ausdruck zu vereinfachen.
U2=nU1U_2=n\cdot U_1
\Rightarrow Das heißt der Umfang, des Kreises vergrößert sich um den Faktor nn.
Also wird der Umfang beispielsweise doppelt so groß, wenn der Radius verdoppelt wird.
Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen Flächeninhalt des Kreises auf.
A1=r12πA_1=r_1^2\pi
Ebenfalls die Formel für den neuen Flächeninhalt aufstellen:
A2=r22πA_2=r_2^2\pi
r1r_1 wird um den neuen Flächeinhalt A2A_2 zu erhalten vervielfacht: r2=nr1r_2=n\cdot r_1
A2=(nr1)2π=n2r12πA_2=\left(n\cdot r_1\right)^2\pi=n^2\cdot r_1^2\cdot\pi
Benutze r12π=A1r_1^2\pi=A_1, um den Zusammenhang zu vereinfachen.
A2=n2A1A_2=n^2\cdot{A}_1
\Rightarrow Multipliziert man den Radius rr mit nn, so wird der Flächeninhalt des Kreises immer mit n2n^2 vervielfacht. Zum Beispiel wird der Flächeninhalt bei Verdoppelung des Radius viermal so groß.
Auf einer kreisrunden umzäunten Koppel mit der Fläche von 314m2314m^2 stehen zwei Pferde. Die beiden Pferde verstehen sich nicht gut und kämpfen oft miteinander. Aus diesem Grund wird beschlossen die Koppel in der Mitte zu teilen. Berechne die zusätzliche Zaunlänge.
Berechnung des Radius

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Mit der Formel des Flächeninhalts AA kann der Radius der Koppel berechnet werden. Dafür ist auch das Rechnen mit Quadratwurzeln nötig.
r2π=A÷πr2=A÷πWerteeinsetzenr2=314m2÷3,14r2=100m2Wurzelziehenr2=100m2r=10m\begin{array}{rcl} r^2 \cdot \pi =& A &|\div \pi\\\\ r^2 =& A \div \pi &| Werte\: einsetzen\\\\ r^2 =& 314m^2 \div 3,14 \\\\ r^2 =& 100m^2 &|Wurzel \: ziehen \\\\ \sqrt{r^2} =& \sqrt{100m^2} \\\\ r =& 10m \end{array}
Der Radius der Koppel beträgt 10m10m. Der Zaun ist so lang wie der Durchmesser des Koppel.
Durchmesser=2r=210m=20m\begin{array} {rcl}Durchmesser &=& 2 \cdot r \\\\ &=& 2\cdot 10m \\\\ &=& 20m\end{array}
Um die Koppel zu teilen, werden 20m20m Zaun benötigt.
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