Quer durchs Parallelogramm

Eine Gerade "quer" durchs Parallelogramm, wie z.B. eine Diagonale, heißt eine Transversale.

Begründe, warum die Eckpunkte B und D des Parallelogramms ABCD von der Diagonalen durch A und C gleichen Abstand haben.

Für eine durch den Eckpunkt A des Parallelogramms ABCD und einen beliebigen Punkt X der Seite [CD] verlaufende Transversale gilt:

Der Abstand des Punktes B zur Transversalen ist die Summe der Abstände der Eckpunkte C und D von ihr.

Begründe dies.

Der "Trick" zur Begründung:

Lege durch die Ecke C die Parallele zur Transversalen.

Dann enthält die Zeichnung die beiden nach dem WSW-Satz kongruenten Dreiecke HBC und AXD, die in ihrer Höhe d übereinstimmen.Dazu ein Rechteck mit der Seitenlänge c.

Der Abstand b des Eckpunktes B von der Transversalen ist dann die Summe c+d.

Was gilt für die Teilaufgabe b, wenn X = D?

Was gilt, wenn X = C?

Bei beliebiger Lage von X auf [CD] gilt: %%b=c+d%%.

Wenn X = D, dann gilt:

Die Seite AD des Parallelogramms ist selbst Transversale. Der Eckpunkt D hat zu ihr den Abstand 0, d.h. %%d=0%%. Die Eckpunkte B und C des Parallelogramms haben zur Seite AD gleichen Abstand, d.h. es gilt %%b=c%%.

Wenn X = C, dann gilt:

%%c=0%%, und es gilt die Feststellung aus Teilaufgabe a, dass %%b=d%%.

Die allgemeine Beziehung %%b=c+d%% gilt also auch für die beiden Sonderlagen des Punktes X.

Im nachfolgenden Appplet kannst du durch Verschieben des Punktes X die einzelnen Abstandswerte ablesen und die Sonderlagen von X überprüfen.