Aufgaben

Augen auf

Wie viele "echte" Trapeze (d.h. solche, die keine Parallelogramme sind), erkennst du in der gezeichneten Figur?

Es sind mehr, als du auf wahrscheinlich den ersten Blick hin erkennst, nämlich 6.

Im nachfolgenden Applet kannst du sie einzeln durch einen Klick auf "Weiter" abrufen.

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Die beiden parallelen Seiten eines Trapezes werden mit a und c bezeichnet, die Höhe mit h; für seinen Flächeninhalt gilt: %%A=\frac12\cdot\left(a+c\right)\cdot h%% .

Wie ändert sich der Flächeninhalt des Trapezes, wenn die Seite a um eine Längeneinheit verlängert und die Seite c um eine Längeneinheit verkürzt wird?

%%\displaystyle A_{Trapez} = \frac{1}{2}(a+1\,\text{LE}+c-1\,\text{LE})\cdot h%%

%%1\,\text{LE}%% fällt weg.

$$A_{Trapez}=\frac12(a+c)\cdot h$$

%%\Rightarrow%% Ausgangsformel für den Flächeninhalt eines Trapezes. 

Die Fläche des Tapezes ändert sich bei einer Veränderung der beiden Grundseiten um %%1\,\text{LE}%% nicht.

Achtung: Die ursprüngliche Seitenlänge c muss allerdings länger als %%1\,\text{LE}%% sein, damit man sie um %%1\,\text{LE}%% verkürzen kann!

Dies gilt auch, wenn die eine der beiden Grundseiten um einen anderen bestimmten Betrag (kleiner als die Länge der kürzeren Seite) verlängert und die andere um denselben Wert verkürzt wird.

Vom Trapez zum Parallelogramm und zurück

Die Figur zeigt ein Trapez %%ABCD%% mit der gegebenen Höhe %%h=3\,\text{LE}%%.

Welche der folgenden Aussagen treffen dann zu, wenn jeder der Eckpunkte %%A,\,B,\,C,\,D%% längs seiner Grundseite beliebig weit nach links oder rechts verschoben werden kann?

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Beachte:

Parallelogramme ergeben sich stets dann, wenn %%\alpha+\beta=180°%%.

Ein Flächeninhalt von %%10\,\text{FE}%% immer dann, wenn zusätzlich %%\overline{AB}=\overline{CD}=\displaystyle \frac{10}{3}\,\text{LE}%%. Du kannst beliebig viele solcher Parallelogramme erzeugen.

Ein Quadrat hat stets den Flächeninhalt %%9\,\text{FE}%%, da eine Seitenlänge %%3\,\text{LE}%% beträgt.

Wenn genau zwei Eckpunkte zusammenfallen, erhältst du ein Dreieck.

Wenn je zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine Strecke.

Im nachfolgenden Applet kannst du alle Eckpunkte beliebig längs ihrer Grundseiten verschieben und die jeweiligen Flächeninhalte der entstehenden Figuren ablesen.

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Winkelberechnungen am Trapez

Im Trapez %%ABCD%% gelte %%AB\Vert CD%%, %%\alpha=32°%%, %%\gamma=75°%%. Berechne %%\beta%% und %%\delta%% !

Gegeben: %%AB\,\Vert CD%%

%%\quad \quad \quad\;\alpha =32°%%

%%\quad \quad \quad\;\gamma=75°%%

Gesucht: %%\,\beta,\; \delta%%

Die Innenwinkel an den beiden Grundseiten ergeben zusammen 180°.

%%\begin {align}32°+\delta &=180°\quad|-32°\\ \delta&=148°\end {align}%%

%%\begin {align}75°+ \beta&= 180°\quad |-75°\\ \beta &=105° \end {align}%%

Im Trapez %%ABCD%% gelte %%AB\,\Vert CD%%, %%AD\perp BC%%, %%\alpha=20°%%. Berechne %%\beta,\,\gamma,\,\delta%%!

Gegeben: %%AB\,\Vert\,CD%%

%%\quad \quad\quad \, AD\,\perp\,BC%%

%%\quad \quad\quad \,\alpha=20°%%

Gesucht:%%\;\beta,\,\gamma,\,\delta%%

Die Innenwinkel an den beiden Grundseiten ergeben zusammen 180°.

%%\begin {align}20°+\delta&=180°\quad|-20°\\ \delta&=160° \end {align}%%

Da %%AD\,\perp\,BC%%, ist %%\Delta ABE%% rechtwinklig. Benutze die Winkelsumme im Dreieck.

%%\begin {align}20°+90°+\beta &=180°\;|\,-110°\\ \beta &=70° \end {align}%%

Im Trapez %%ABCD%% gelte: %%AD\,\Vert\,BC,\;\alpha=\delta=100°%%. Berechne %%\beta%% und %%\gamma%%!

Gegeben: %%AD\,\Vert\,BC%%

%%\quad \quad\quad \,\alpha=\delta=100°%%

Gesucht: %%\beta,\;\gamma%%

Die Innenwinkel an den parallelen Seiten ergeben zusammen 180°.

%%\begin{align}100°+\beta&=180°\quad |-100°\\ \beta&=80°\end{align}%%

%%\begin{align}100°+\gamma &=180°\quad|-100°\\ \gamma &=80° \end{align}%%

Anmerkung:

Das Trapez %%ABCD%% ist gleichschenklig mit den Schenkeln %%[AB]=[CD]%%.

Die Fläche eines Trapezes ist um 40 %%\text m^2%% kleiner als die Fläche eines Rechtecks, das über der größeren Grundlinie errichtet ist und die gleiche Höhe hat.

Wie groß sind die Grundlinien des Trapezes, wenn die eine um 17 m , die andere um 7 m länger ist als die Höhe?

Wie lang ist die Grundlinie eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist?

1. Teil:

Gegeben:

%%\begin{align}\text{I} \quad a &=h+17\,\text{m}\\ \text{II}\quad c&=h+7\,\text{m}\quad |\;\text{I}-\text{II}\\ \text{III}\quad a-c&=10\,\text{m}\\\end{align}%%

%%\text{IV}\quad A_{Rechteck}- A_{Trapez}=40\,{m^2}%%

Gesucht:

Die Grundlinienlängen des Trapezes.

Flächenformeln für Rechteck und Trapez in IV einsetzen.

%%\begin{align}\quad a\cdot h- \displaystyle \frac{a+c}{2}\cdot h &=40\,{m^2}\quad |\cdot 2 \\ 2ah-ah-ch&=80\,{m^2}\\ ah-ch&=80\,{m^2}\\h\cdot(a-c)&=80\,{m^2}\\ h\cdot10\,m&=80\,{m^2}\quad |\,:\,10\,m\\ h&=8\,m \end{align}%%

Zusammenfassen und III einsetzen.

h in I und II einsetzen.

%%\begin{align} \quad a&=25\,m\\ c&=15\,m \end{align}%%

Die Grundseiten des Trapezes sind %%25\,\text{m}%% und %%15\,\text{m}%% lang.


2. Teil:

Gesucht die Grundlinienlänge eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist.

Berechne die Fläche des Trapezes mit den bekannten Werten für %%a,\,c,\,h%%.

%%A_{Trapez}=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{a+c}{2} \cdot h=160\,{m^2}%%

Verwende die Flächenformel für ein Dreieck.

%%A_{Dreieck}=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot g\cdot 8\,m%%

Setze die Flächen gleich und löse die Gleichung nach %%g%% auf.

%%\begin{align} \quad \displaystyle \frac{1}{2} \cdot g \cdot 8\,m &=160\,{m^2}\quad|\,\cdot2\,:\,8\,{m} \\ g&=40\,m\end{align}%%

Die gesuchte Grundlinienlänge des zum Trapez flächen- und höhengleichen Dreiecks beträgt %%40\,m%%.

Konstruiere ein Trapez %%ABCD%% aus der gegebenen Länge der Differenz der beiden Grundseitenlängen %%a-c=3\,\text{LE}%%, den Schenkellängen %%b=\overline{BC}=2,5\,\text{LE}%% und %%d=\overline{AD}=4\,\text{LE}%% sowie der Diagonalenlänge %%f=\overline{BD}=5\,\text{LE}%%.

Anleitung

Die Lösung verlangt folgende raffinierte Überlegung:

Wenn man auf der Grundseite %%a%% des Trapezes %%ABCD%% die Seitenlänge %%c%% abträgt zerlegt sich das Trapez in ein Parallelogramm und ein Dreieck, das konstruierbar ist.

Plan:

  1. Teildreieck %%EBC%% ist konstruierbar aus den Seitenlängen %%a-c,\,b,\,d%%.

  2. D liegt

    a) auf der Parallelen zu %%EB%% durch %%C%%,

    b) auf dem Kreis k(B;f).

  3. A liegt

    a) auf der Geraden %%EB%%,

    b) auf der Parallelen zu %%EC%% durch %%D%%.

Durchführung der Konstruktion mit den gegeben Werten $$a-c=3\,\text{cm};\;b=2,5\,\text{cm};\; d=4\,\text{cm};\;f=5\,\text{cm}$$

anhand des Applets.

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Konstruiere ein Trapez %%ABCD%% aus den Grundseitenlängen %%\overline{AB}=a=5\,\text{cm}%% und %%\overline{CD}=c=3\,\text{cm}%% sowie den Diagonalenlängen %%\overline{AC}=6\,\text{cm}%% und %%\overline{BD}=5\,\text{cm}%%.

Plan

  1. Die Eckpunkte %%A%% und %%B%% sind durch %%a%% gegeben.

  2. Die Verlängerung der Grundseite %%[AB]%% um %%c%% über %%A%% hinaus ergibt das konstruierbare Dreieck %%BA'D%% mit dem Eckpunkt %%D%% des Trapezes.

  3. C liegt

    a) auf der Parallelen zu %%AB%% durch %%D%%,

    b) auf der Parallelen zu %%A'D%% durch %%A%%.

Durchführung der Konstruktion mit den gegebenen Werten

%%\quad \quad a=5\,\text{cm};\; c=3\,\text{cm};\;e=6\,\text{cm};\;f=5\,\text{cm}%%

anhand des Applets.

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Konstruiere ein Trapez %%ABCD%% aus den Seitenlängen

%%a=10,5\,\text{cm};\,b=5,4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4,8\,\text{cm}%%.

Plan

  1. %%A%% und %%B%% sind durch %%a%% gegeben.

  2. Das Dreieck %%B'BC%% ist durch %%a-c,\,b,\,d%% konstruierbar und ergibt den Eckpunkt %%C%%.

  3. D liegt

    a) auf dem Kreis %%k(C;c)%%,

    b) auf dem Kreis %%k(A;d)%%.

    Alternative Lösung für %%D%%:

    a) auf der Parallelen zu %%AB%% durch %%C%%,

    b) auf der Parallelen zu %%B'C%% durch %%A%%.

Durchführung der Konstrukktion mit den gegebenen Werten

%%\quad \quad a=10,5\,\text{cm};\,b=5,4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4,8\,\text{cm}%%

anhand des Applets.

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Meetingpoints am Trapez

Wie bei anderen Vierecken sind auch beim Trapez der Schnittpunkt der Diagonalen und der Schwerpunkt von besonderer Bedeutung.

%%\quad \quad \quad%%

Im Trapez %%ABCD%% mit den Grundseiten %%a%% und %%c%% und der Höhe %%h%% sei %%E%% der Schnittpunkt der Diagonalen und %%S%% der Schwerpunkt des Trapezes.

Der Schwerpunkt %%S%% eines Trapezes liegt auf der Verbindungstrecke der Mittelpunkte der Grundseiten (Mittenlinie) und hat von der Grundseite den Abstand %%\displaystyle h_{S}=\frac{h}{3}\cdot \frac{a+2c}{a+c}%%

Beweise, dass die Mittenlinie eines jeden Trapezes durch den Schnittpunkt der Diagonalen geht.

Die zentrische Streckung mit dem Zentrum %%E%% und dem Streckungsfaktor%%\;\displaystyle-\frac{\overline{EC}}{\overline{AE}}\;%%bildet %%A%% auf %%C%% und - weil die Grundseiten des Trapezes parallel sind - %%B%% auf %%D%% ab.

Da bei einer zentrischen Streckung die Mittelpunktseigenschaft erhalten bleibt, ist %%M_2%% der Bildpunkt von %%M_1%%. Damit geht deren Verbindungsstrecke, die Mittenlinie des Trapezes, durch %%E%%.

Der Diagonalenschnittpunkt eines Trapezes ist also tatsächlich ein richtiger "Meetingpoint" wichtiger Linien des Trapezes.

Begründe, dass der Schwerpunkt %%S%% und der Diagonlenschnittpunkt %%E%% zusammenfallen, wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird.

Der Schwerpunkt %%S%% eines Trapezes liegt auf der Mittellinie %%[M_1M_2]%% und sein y-Wert beträgt %%\displaystyle y_S= \frac{h}{3}\cdot\frac{a+2c}{a+c}%%.

Wenn das Trapez %%ABCD%% zu einem Parallelogramm wird, gilt: %%a=c%%.

Damit ergibt sich für den Schwerpunkt:

%%\begin{align}\displaystyle y_S &=\frac{h}{3}\cdot\frac{a+2a}{a+a} \\ y_S&= \frac{h}{3}\cdot\frac{3a}{2a}\\ y_S&=\frac{h}{2}\end{align}%%

Beachte, dass im Parallelogramm %%ABCD%% für den Schnittpunkt %%E%% der Diagonalen gilt:

%%\displaystyle y_E=\frac{h}{2}%%,

da sich die Diagonalen halbieren.

Wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird, fallen also der Diagonalenschnittpunkt und der Schwerpunkt des Trapezes zusammen.

Im nachfolgenden Applet mit der Höhe %%h=3\,LE%% liegt eine Grundlinie auf der x-Achse und alle Eckpunkte können längs der Grundlinien beliebig verschoben werden.

Überzeuge dich bei unterschiedlichen Trapezformen von den jeweiligen Lagen des Schwerpunkts.

Was passiert, wenn das Trapez nicht nur zu einem Parallelogramm "entartet", sondern zu einem Dreieck oder gar zu einer Strecke? (Ganz schön spannend - findest du nicht?)

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So konstruiert man den Schwerpunkt eines Trapezes:

  1. Zeichne die Mittenlinie %%[M_1M_2]%% des Trapezes.

  2. Verlängere %%[DC]%% über %%C%% hinaus um die Strecke %%a%% zum Endpunkt %%E%%.

  3. Verlängere %%[AB]%% über %%A%% hinaus um die Strecke %%c%% zum Endpunkt %%F%%.

  4. Der Schnittpunkt von %%[FE]%% mit %%[M_1M_2]%% ist der Schwerpunkt %%S%%.

Begründe, warum für %%c=0%% mit dieser Konstruktion der Schwerpunkt eines Dreiecks konstruiert wird.

Mit %%c=0%% wird das Trapez zum Dreieck %%ABC%% und für die Konstruktion des Schwerpunktes gilt %%F=A%%.

%%ABEC%% ist ein Parallelogramm, in dem sich die Diagonalen %%[AE]%% und %%[BC]%% halbieren.

Also ist im Dreieck %%ABC%% neben %%[CM]%% auch %%[AP]%% eine Seitenhalbierende und ihr Schnittpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks.

Die Konstruktion des Schwerpunktes im Trapez und auch den Übergang vom Trapez zum Dreieck kannst du im folgenden Applet nachvollziehen.

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Berechne jeweils die gesuchte Größe im Trapez.

ein allgemeines Trapez mit Seitenbeschriftung

%%\begin{array}{c|c|c|c|c} a & c & h & A \\ \hline 4 \mathrm{cm}& 8\mathrm{cm} & 5\mathrm{cm} & ?\\ \end{array} %%

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = %%\frac{(a+c)\cdot h}{2}%%

A = %%\frac{(4\mathrm{cm}+8\mathrm{cm})\cdot5\mathrm{cm}}{2}%%

A = 30%%\mathrm{cm^2}%%

%%\begin{array}{c|c|c|c|c} a & c & h & A \\ \hline 3 \mathrm{cm}& 4\mathrm{cm} & 4,5\mathrm{cm} & ?\\ \end{array} %%

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = %%\frac{(a+c)\cdot h}{2}%%

A = %%\frac{(3\mathrm{cm}+4\mathrm{cm})\cdot4,5\mathrm{cm}}{2}%%

A=15,75%%\mathrm{cm^2}%%

%%\begin{array}{c|c|c|c|c} a & c & h & A \\ \hline 5 \mathrm{dm}& 14\mathrm{cm} & 2\mathrm{dm} & ?\\ \end{array} %%

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = %%\frac{(a+c)\cdot h}{2}%%

A = %%\frac{(5\mathrm{dm}+1,4\mathrm{dm})\cdot2\mathrm{dm}}{2}%%

A = 6,4%%\mathrm{dm^2}%%

%%\begin{array}{c|c|c|c|c} a & c & h & A \\ \hline 6 \mathrm{cm}& 4\mathrm{cm} & ? & 25 \mathrm{cm}\\ \end{array} %%

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = %%\frac{(a+c)\cdot h}{2}%%

%%25\mathrm{cm^2}%% = %%\frac{(6\mathrm{cm}+4\mathrm{cm})\cdot h}{2}%%

%%25\mathrm{cm^2}%% = %%\frac{10\mathrm{cm}\cdot h}{2}%%

|%%\cdot2%%

%%50\mathrm{cm^2}%% = %%10\mathrm{cm}\cdot h%%

|%%:10\mathrm{cm}%%

%%5\mathrm{cm}%% = %%h%%

%%\begin{array}{c|c|c|c|c} a & c & h & A \\ \hline 1,5 \mathrm{cm}& 3,5\mathrm{cm} & ? & 11,25 \mathrm{cm} \\ \end{array} %%

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = %%\frac{(a+c)\cdot h}{2}%%

%%11,25\mathrm{cm^2}%% = %%\frac{(1,5\mathrm{cm}+3,5\mathrm{cm})\cdot h}{2}%%

%%11,25\mathrm{cm^2}%% = %%\frac{5\mathrm{cm}\cdot h}{2}%% |%%\cdot 2%%

%%22,5\mathrm{cm^2}%% = %%5\mathrm{cm}\cdot h%% |%%:5\mathrm{cm}%%

%%4,5\mathrm{cm}%% = %%h%%

%%\begin{array}{c|c|c|c|c} a & c & h & A \\ \hline ? & 4\mathrm{cm} & 5\mathrm{cm} & 30 \mathrm{cm}\\ \end{array} %%

Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:

A = %%\frac{(a+c)\cdot h}{2}%%

%%30\mathrm{cm^2}%% = %%\frac{(a+4\mathrm{cm})\cdot5\mathrm{cm}}{2}%% |%%\cdot2%%

%%60\mathrm{cm^2}%% = %%(a+4\mathrm{cm})\cdot5\mathrm{cm}%%

%%60\mathrm{cm^2}%% = %%5\mathrm{cm}\cdot a+20\mathrm{cm^2}%% |%%-20\mathrm{cm^2}%%

%%40\mathrm{cm^2}%% = %%5\mathrm{cm}\cdot a%% |%%:5\mathrm{cm}%%

%%8\mathrm{cm}%% = %%a%%

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