Aufgaben

In einer Landkarte mit Koordinatensystem, wobei ein Kästchen (5 mm) einem Kilometer entspricht, sind folgende Ortschaften eingetragen:

Achkirchen:
A(4|3)

Bergheim:
B(24|18)

Dachshausen:
D(21|3)

Eberfing:
E(3|15)

Drei gerade Straßen verbinden Achkirchen mit Bergheim, Dachshausen mit Eberfing und Achkirchen mit Dachshausen.

  1. Zeichne die Orte und Straßen in ein geeignetes Koordinatensystem.
    Welche Koordinaten hat die Kreuzung K der beiden Straßen?

  2. Die Straße zwischen Achkirchen und Dachshausen sei nun ein Feldweg.
    Ein Fußgänger legt auf einer Straße 7 km in einer Stunde zurück, auf dem Feldweg nur 5 km pro Stunde. Wie lange braucht der Fußgänger von Achkirchen nach Dachshausen, wenn er auf der Straße über die Kreuzung K geht? Wie lange braucht er, wenn er stattdessen den Feldweg benutzt?
    Verwende ein Lineal zum Ausmessen der benötigten Straßenlängen und runde dabei auf ganze Kilometer.

Punkte und Strecken zeichnen

Die Punkte und Strecken zeichnest du einfach in ein Koordinatensystem ein:

Dann liest du die Koordinaten der Kreuzung ab: K(12|9).

Zeit ausrechnen

Als erstes misst du mit dem Lineal aus, wie weit der Füßgänger laufen muss, wenn er die Straße benutzt. Von Achkirchen bis zur Kreuzung sind das 10 km, von der Kreuzung bis nach Dachshausen etwa 11 km. Also insgesamt 21 km.
Der Fußgänger braucht für 7 km eine Stunde; mit dem Dreisatz kannst du daraus berechnen: Für 21 km braucht er 3 Stunden.

Nun misst du, wie weit der Fußgänger läuft, wenn er den Feldweg benutzt: 17 km.
Da der Fußgänger auf dem Feldweg nur 5km pro Stunde schafft, ergibt das mit dem Dreisatz: Er braucht für 1 km 12 Minuten, also für 17 km 204 Minuten oder 3 Stunden und 24 Minuten.

Er braucht also 24 Minuten länger, wenn er den Feldweg benutzt.

Auf eine Landkarte, in der 5mm einem Kilometer entsprechen, ist ein Koordinatensystem aufgedruckt. Albert wohnt bei A(8|6), Eva bei E(-6|3) und Bert bei B(-4|-5), die Schule ist am Ort S(3|-6) (alle Zahlenwerte entsprechen Kilometern).

%%\,\,\,\,\,\,\,\,\,%%1.

Welchen Maßstab hat die Karte?

%%\,\,\,\,\,\,\,\,\,%%2.

Zeichne die Punkte A, E, B und S in ein Koordinatensystem (gleicher Maßstab wie die Landkarte).

Durch jeden Wohnort und durch den Ort der Schule gehen zwei Straßen, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen (waagrecht und senkrecht). Zeichne diese Straßen in das Koordinatensystem ein.

%%\,\,\,\,\,\,\,\,\,%%3.

Ermittle die kürzesten Weglängen von den Wohnorten zur Schule (auf den Straßen).

%%\,\,\,\,\,\,\,\,\,%%4.

Auf wie vielen verschiedenen kürzesten Wegen kann Eva in die Schule gehen?

%%\,\,\,\,\,\,\,\,\,%%5.

Wie weit ist es querfeldein (geradlinig) von Alberts Wohnort zur Schule? Wie lang wäre eine gerade Straße von Evas Wohnort zur Schule?

5 mm auf der Landkarte entsprechen einem Kilometer in der Wirklichkeit.

  1. Um besser rechnen zu können, wandelst du die Längen in eine gemeinsame Einheit um: 1 km = 1 000 m = 1 000 000 mm.

  2. Teile beide Längen durch die kleinere, in diesem Fall 5 mm: Der Maßstab 5 : 1 000 000 entspricht also 1 : 200 000.

kj

Im Folgenden zeichnest du die Straßen in das Koordinatensystem ein.

Aufgabe 14

%%A(8|6)%%, %%B(-4|-5)%%, %%E(-6|3)%%, %%S(3|-6)%%

Hilfspunkte:

%%H_1(8|-6)%%, %%H_2(-4|-6)%%, %%H_3(3|3)%%

Aufgabe 14

Du verwendest diese Formeln:

%%d_y=y_{oben}-y_{unten}%%

%%d_x=x_{rechts}-x_{links}%%

%%d_{gesamt}=d_y+d_x%%

Der Schulweg von Albert

%%d_y=6-(-6)=12%%

%%d_x=8-3=5%%

%%d_{Albert}=5+12=17%%

Für den Schulweg von Albert benutzt du den Hilfspunkt %%H_1%%. Die Strecke ist erst parallel zur y-Achse und dann parallel zur x-Achse.

Der Schulweg von Bert

%%d_y=-5-(-6)=1%%

%%d_x=3-(-4)=7%%

%%d_{Bert}=1+7=8%%

Für den Schulweg von Bert benutzt du den Hilfspunkt %%H_2%%. Die Strecke ist erst parallel zur y-Achse und dann parallel zur x-Achse.

Der Schulweg von Eva

%%d_x=3-(-6)=9%%

%%d_y=3-(-6)=9%%

%%d_{Eva}=9+9=18%%

Für den Schulweg von Eva benutzt du den Hilfspunkt %%H_3%%. Die Strecke ist erst parallel zur x-Achse und dann parallel zur y-Achse.

Eine Längeneinheit auf der Karte entspricht einem Kilometer in Wirklichkeit, d.h. Albert hat einen Schulweg von 17 km, Bert einen von 8 km und Eva einen von 18 km.

4. Anzahl der Schulwege zählen

Es gibt 6 verschiedene Wege, die Eva gehen kann. Ziehe am Schieberegler, um die Wege zu sehen.

Aufgabe 14 e

Berechnet werden müssen die direkten Weglängen %%[AS]%% und %%[ES]%%.

Die Straßen bilden mit den direkten Wegen zwei rechtwinklige Dreiecke. Du kannst also den Satz des Pythagoras verwenden.

Du berechnest jeweils die Hypotenuse dieser Dreiecke.

%%c=\sqrt{a^2+b^2}%%

%%[AS]=\sqrt{12^2+5^2}=13km%%

%%[ES]=\sqrt{9^2+9^2}\approx12,7km%%

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