Wenn man das Volumen eines Körpers berechnen will, kann man ihn oft in schon bekannte Körper aufteilen und damit das Volumen leichter errechnen.

Zerlegung in Quader

Grundwissen: Das Volumen eines Quaders

Das Volumen eines Quaders berechnet man, indem man die Grundfläche mit der Höhe multipliziert.

%%V_{\text{Quader}} = G \cdot h = a\cdot b\cdot h%%

Volumen

Volumenberechnung durch Zerlegen in Einzelteile

Schwierigere Körper lassen sich manchmal in mehrere Quader unterteilen. Mit diesem Trick kann man dann auch ihr Volumen einfach berechnen.

Beispiel

Der Körper lässt sich zum Beispiel entlang den rot gepunkteten Linien in zwei Quader aufteilen. Du rechnest beide einzeln aus und addierst sie dann.

$$V = V_{\text{Quader unten}} + V_{\text{Quader oben}} \\ \hphantom{V} = (6\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 1,5\ \mathrm{cm}) + (2\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm}) \\ \hphantom{V} = 18\ \mathrm{cm^3} + 8\ \mathrm{cm^3} = 26\ \mathrm{cm^3}$$

Aus Quader zusammengesetzter Körper

Volumenberechnung durch Abziehen bestimmter Teile

Manchmal kann man das Volumen auch geschickter berechnen, indem man von einem größeren Körper Teile abzieht.

Beispiel

Um das Volumen dieses Körpers zu berechnen, kann man zum Beispiel zuerst den kompletten Quader mit Länge %%5 \mathrm{cm}%%, Breite %%2 \mathrm{cm}%% und Höhe %%7 \mathrm{cm}%% berechnen. Davon zieht man dann die Lücken noch ab.

%%V_\text{Quader groß} = 5\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 7\ \mathrm{cm} = 70\ \mathrm{cm}^3%%

%%V_\text{Lücke} = 3\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 1,4\ \mathrm{cm} = 8,4\ \mathrm{cm}^3%%

%%V_\text{Körper} = V_\text{Quader groß} - V_\text{Lücke} - V_\text{Lücke} = 70\ \mathrm{cm}^3 - 8,4\ \mathrm{cm}^3 - 8,4\ \mathrm{cm}^3 = 53,2\ \mathrm{cm}^3%%

Bild: Volumen des Körpers E

Zerlegung in Prismen und Zylinder

Grundwissen

Die Formel "Grundfläche mal Höhe" kann man nicht nur für das Volumen von Quadern verwenden, sondern bei allen Prismen und Zylindern.

$$V_\text{Prisma} = \mathrm{G_P} \cdot \mathrm{h_p}$$

$$V_\text{Zylinder} = \mathrm{G_Z} \cdot \mathrm{h_Z} = r^2 \pi \cdot \mathrm{h_Z}$$

Wie man die Grundfläche berechnet, hängt von der Form der Grundfläche ab.

Für viele dieser ebenen Figuren gibt es Formeln zur Berechnung.

Bild eines Prismas

Bild eines Zylinders

Volumenberechnung durch Zerlegen in Prismen und Zylinder

Mit Prismen und Zylindern kann man von vielen weiteren Körpern das Volumen berechnen.

Beispiel

Um das Volumen dieser Spielzeuglokomotive näherungsweise auszurechnen, überlegt man sich zuerst, aus welchen Körpern sie ungefähr zusammengesetzt ist.

Ein mögliches Modell könnte so aussehen: Lokomotive

Echte Spielzeuglokomotive

Man berechnet also die Volumen des Quaders, und der Zylinder

%%V_{Führerstand} = 2\ \mathrm{cm}\cdot 1 \ \mathrm{cm} \cdot 3 \ \mathrm{cm} = 6 \ \mathrm{cm^3}%%

%%V_{Radzylinder} = (0.75\ \mathrm{cm})^2 \pi \cdot 2\ \mathrm{cm} = 1.125 \ \mathrm{cm^3} \cdot \pi \approx 3.53 \ \mathrm{cm^3}%%

%%V_{Rumpf} = (1\ \mathrm{cm})^2 \pi \cdot 4\ \mathrm{cm} = 4 \ \mathrm{cm^3}\cdot \pi \approx 12.57 \ \mathrm{cm^3}%%

Insgesamt erhält man dann das Volumen der Lokomotive, indem man die einzelnen Teile zusammenaddiert.

%%V_{Lokomotive} = V_{Führerstand} + 2 \cdot V_{Radzylinder} + V_{Rumpf} \approx 6 \ \mathrm{cm^3} + 2\cdot 3.53 \ \mathrm{cm^3} + 12.57 \ \mathrm{cm^3} = 25.63 \ \mathrm{cm^3}%%

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Hannes 2016-06-07 13:34:57
Hallo,
ein schöner, übersichtlicher Artikel. Aber man kann ja überall was finden, drum:
- Sollten nicht die Begriffe Ergänzungs- und Zerlegungsgleichheit explizit auftauchen? Zum
Beispiel:
Volumenberechnung durch Zerlegen in Einzelteile - Zerlegungsgleichheit
- Beim Zerlegen in Prismen und Zylinder vielleicht noch ein Bild vom Zylinder - oder wird das
dann zu viel?
- Verlinkungen zu den Artikeln wo das Volumen von Zylinder und Prisma erklärt wird
- Beim Beispiel sollte am besten auch noch ein Prisma vorkommen oder - vielleicht der
vordere Kamin?
- Gibt es related content?

LG
Hannes
Knorrke 2016-06-18 21:46:28
Hallo Hannes,

vielen Dank für dein Feedback! Ich habe manches davon eingearbeitet.
Die Begriffe Ergänzungs- und Zerlegungsgleichheit passen hier meiner Meinung nach nicht so gut rein, die werden doch eher beim Vergleich von zwei Körpern verwendet, oder nicht?

Das Bild vom Zylinder habe ich hinzugefügt, danke für den Hinweis! Mit dem Beispiel hast du Recht, ist mir im Nachhinein auch aufgefallen, aber hatte bisher noch nicht die Zeit das noch einzubauen. Ich setz mich demnächst nochmal dran :)

Falls du noch weiteres Feedback hast, würde ich mich freuen!
Viele Grüße
Benni
Hannes 2016-06-21 14:12:45
Hi Benni,
cool, danke fürs Übernehmen!
Mit den Begriffen hast du natürlich recht. Da ist bei mir was durcheinander gekommen.
Als Entschuldigung habe ich mal den related content aktualisiert ;) :)
LG
Hannes
Knorrke 2016-06-22 20:31:52
Super! Vielen Dank dafür! :)
Gruß
Benni
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