Aufgaben

Berechne Volumen und Masse des Stahlteils. Alle Längen sind in Millimeter angegeben.

Dichte:  %%\rho_{Stahl}=7,85\frac{kg}{dm^3}%%

03_des

Das Stahlteil setzt sich aus einem Quader und einem Zylinder zusammen. Berechne so zunächst die Volumina der beiden Einzelelemente. Nach Ermittlung des Gesamtvolumens wird die Masse über die Dichte bestimmt.

Volumenberechnung

Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders.

-- %%V_Q=1,5dm\cdot1,2dm\cdot2,5dm=4,5dm^3%%

Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.

%%V_Z=\frac{(0,5dm)^2\cdot\mathrm\pi}4\cdot3,0dm=0,589dm^3%%

Für das Gesamtvolumen gilt nun:

%%V_{Ges}=V_Q+V_Z=4,5dm^3+0,589dm^3=5,089dm^3%%

Bestimmung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse %%m%% um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte %%\rho%% und Volumen %%V%%.

%%\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V%%

%%m=\rho_{Stahl}\cdot V=7,85\frac{kg}{dm^3}\cdot5,089dm^3=39,949kg%%

Berechne Volumen und Masse des Kupferteils. Das Material ist 12 mm dick.

Dichte:  %%\rho_{Kupfer}=8,96\frac{kg}{dm^3}%%

04_des

Vorgehensweise:

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann die Kreis-, Quadrat- und Lochfläche. Ermittle danach die Gesamtfläche, sowie das Volumen. Über das Volumen erhälst du dann mit der Dichte das Volumen.

Berechnung der Kreisfläche. Mit einem Durchmesser %%d=3dm%% gilt:

%%A_{Kreis}=\frac{(3dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=7,069dm^2%%

Berechnung der Quadratfläche. Mit einer Seitenlänge %%a=1,4\,dm%% gilt:

%%A_{Quadrat}=1,4dm\cdot1,4dm=1,96dm^2%%

Berechnung der Lochfläche. Die Löcher sind kleiner Kreise mit einem Durchmesser %%d=0,4\,dm%%.

%%A_{Loch}=\frac{(0,4dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=0,126dm^2%%

Berechnung der Gesamtfläche

Aus der Skizze lässt sich entnehmen, dass der Aufriss gerade ein großer Kreis ohne ein mittleres Quadrat und vier kleinere kreisförmige Löcher ist. So gilt für die Fläche des Aufrisses %%A_{Ges}%%:

%%A_{Ges}=A_{Kreis}-A_{Quadrat}-4\cdot A_{Loch}=7,069dm^2-1,96dm^2-4\cdot0,126dm^2%%

%%=4,605dm^2%%

Berechnung des Volumens

Das Volumen des Kupferstücks bestimmt sich als Produkt der Aufrissfläche und der Dicke. Somit gilt mit Dicke %%0,12dm%%:

--

%%V=A_{Ges}\cdot0,12dm=4,605dm^2\cdot0,12dm=0,553dm^3%%

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse %%m%% um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte %%\rho%% und Volumen %%V%%.

%%\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V%%

%%m=\rho_{Kupfer}\cdot V=8,96\frac{kg}{dm^3}\cdot0,553dm^3=4,955kg%%

Ein Stahlrohr ist 10 m lang (%%L = 10\,m%%), hat einen Außendurchmesser von %%D = 20\,cm%% und einen Innendurchmesser von %%d = 160\,mm%%.

Berechnen Sie das Volumen, die Masse und die Wandstärke des Rohres.

%%\rho_{Stahl}=7,85\frac{kg}{dm^3}%%

05_des

Volumenberechnung

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann das Volumen des Stahlrohrs als Produkt vom Aufriss und der Länge. Der Aufriss ist ein Kreisring, dessen Flächeninhalt als Differenz der Flächeninhalte des größeren und des kleineren Kreises ermittelt wird.

%%\begin{array}{l}V=\lbrack(\frac D2)^2\cdot\mathrm\pi-(\frac d2)^2\cdot\mathrm\pi\rbrack\cdot L=\frac{(D^2-d^2)\cdot\mathrm\pi}4\cdot L=\\=\frac{\lbrack(2dm)^2-(1,6dm)^2\rbrack}4\cdot\pi\cdot100dm=113,097dm^3\end{array}%%

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse %%m%% um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte %%\rho%% und Volumen %%V%%.

%%\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V%%

%%m=\rho_{Stahl}\cdot V=7,85\frac{kg}{dm^3}\cdot113,097dm^3=887,811kg%%

Berechnung der Wandstärke

Ermittle die Wandstärke als halbe Differenz von Außendurchmesser und Innendurchmesser des Rohrs.

%%\frac{D-d}2=\frac{2dm-1,6dm}2=0,2dm=20mm%%

Ein rotationssymmetrisches Werkstück soll aus Gusseisen der Dichte  %%7,2\frac g{cm^3}%% hergestellt werden. 

Das Bild zeigt das Werkstück im Querschnitt. Berechne die Masse des Werkstücks.

rotationssymmetrisches Werkzeug

Volumen- und Massenberechnung

Gesucht: Masse %%m%% des Werkstücks

Die Masse %%m%% hängt mit dem Volumen %%V%% und der Dichte %%\rho%% zusammen.

Die Formel lautet:

%%\rho=\frac {m}{V}%%

%%\rho=\dfrac {m}{V}%%

Stelle diese Formel nach %%m%% um.

%%m=\rho \cdot V%%

%%\rho =7,2 \frac {\mathrm {g}}{\mathrm{cm}^3}%% ist in der Aufgabe angegeben.
Das Volumen musst du noch berechnen.

Berechnung des Volumens

Das Werkstück ist rotationssymmetrisch.
Wenn sich die Figur um die eingezeichnete Achse dreht, entsteht

  • ein Kegel (wegen des Dreiecks),

  • aus dem eine Halbkugel (wegen des Halbkreises) herausgeschnitten ist.

%%V=\frac13\cdot\left(6,0cm\right)^2\mathrm\pi\cdot8,0\mathrm{cm}-\frac12\cdot\frac43\cdot\left(4,0\mathrm{cm}\right)^3\mathrm\pi=\frac{160}3\cdot\mathrm{πcm}^3\approx168\mathrm{cm}^3%%

Abziehen des Volumens der halben Kugel von dem Volumen des Kegels

Berechnung der Masse

%%m=\rho\cdot V=7,2\frac g{cm^3}=268cm^3\cdot7,2\frac g{cm^3}=1929,6g\approx1,9kg%%

Berechne Volumen und Masse des Aluminiumteils. Die Seitenlängen sind in Millimetern angegeben.

Dichte:  %%\rho_{Alu}=2,7\frac{kg}{dm^3}%%

02_des

02_l_des

In der Skizze sind die Längen wieder in der Einheit Millimeter angegeben.

  

Berechnung der Frontfläche %%A_{Ges}=A_1+A_2%%

Rechne zunächst die Längen in die Einheit Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen %%A_1%% und %%A_2%%, um über diese leicht an das Volumen des Aluminiumstücks zu gelangen.

-- Die Fläche %%A_1%% ist Inhalt eines rechtwinkligen Dreieck, dessen Fläche sich als halbes Produkt der Katheten ermitteln lässt. Die Fläche %%A_2%% ist Inhalt eines Rechtecks; sie lässt sich also bestimmen als Produkt der beiden verschiedenen Seitenlängen.

--

%%\begin{array}{l}A_1=\frac{1,5dm\cdot1,5dm}2=1,125dm^2\\A_2=5,5dm\cdot2,0dm=11,00dm^2\end{array}%%

Für die Frontfläche %%A_{Ges}%% gilt also:

%%A_{Ges}=A_1+A_2=1,125dm^2+11,00dm^2=12,125dm^2%%

Berechnung des Volumens

Aus der Skizze lässt sich erkennen, dass das Aluminiumstück aus einem Quader und einem Prisma besteht. Das Volumen des Aluminiumstücks lässt sich aufgrund dieser Beschaffenheit als Produkt von Frontfläche und Tiefe bestimmen.

Dabei gilt:

%%V=A_{Ges}\cdot Tiefe=A_{Ges}\cdot3dm=12,125dm^2\cdot3dm=36,375dm^3%%

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse %%m%% um.

Es gilt: %%\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V%%

Mit der Dichte %%\rho=2,7\frac{kg}{dm^3}%% und dem vorher bestimmten Volumen %%V=36,375dm^3%% ergibt sich:

%%m=\rho\cdot V=2,7\frac{kg}{dm^3}\cdot36,375dm^3=98,213kg%%

Eine Drahtrolle aus d=0,5mm dickem Stahldaht

%%\rho_{Stahl}=7,85\frac{kg}{dm^3}%%

hat eine Masse von m=3,6kg.

Wie viel Meter sind auf der Rolle?

Eine Buchse (Rohrstück) aus CuSn 10 mit der Dichte

%%\rho_{CuSn}=8,6\frac g{cm^3}%%

hat die Durchmesser D=77mm, d=68mm und ist l=115mm lang.

Berechnen Sie die Masse in kg und runde auf 3 Dezimalstellen.

Zylinder

Rechne als Erstes das Volumen des äußeren Zylinders aus.Nutze hierfür die allgemeine Formel zur Errechnung des Volumens eines Zylinders

$$\left(\frac{77\text{ mm}}2\right)^2\cdot\mathrm\pi\cdot115\text{ mm}$$

Rechne das Ergebnis mit deinem Taschenrechner aus, rechne es in Kubikzentimeter um und runde es auf zwei Dezimalstellen.

$$\left(\frac{77\text{ mm}}2\right)^2\cdot\mathrm\pi\cdot115\text{ mm} \approx535511\text{ mm}^3\approx535,51\text{ cm}^3$$

Rechne nun den inneren Zylinder aus, rechne das Ergebnis in Kubikzentimeter um und runde es auf zwei Dezimalstellen.

$$\left(\frac{68\text{ mm}}2\right)^2\cdot\mathrm\pi\cdot115\text{ mm}\approx417643\text{ mm}^3\approx417,64\text{ mm}^3$$

Ziehe den inneren Zylinder von dem äußeren Zylinder ab und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

$$535,51\text{ cm}^3-417,64\text{ cm}^3\approx117,87\text{ cm}^3$$

Jetzt musst du das Ergebnis nur noch mit der Dichte multiplizieren und in Kilogramm umrechnen.Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen.

%%117,87\text{ cm}^3\cdot8,6\frac {\text{ g}}{\text{ cm}^3}\approx1013,68\ \text{ g}\approx1,014\ \text{ k}g%%

Zu berechnen ist die Masse der Bronze-Lagerbuchse (CuSn8). Auf welchen Bruchteil in % verringert sie sich, wenn man sie aus Kunststoff herstellt?

%%\rho_{Bronze}=8,6\frac{kg}{dm^3};\;\rho_{Kunststoff}=2,2\frac{kg}{dm^3}%%

Flächennetz einer Bronze-Lagerbuchse

Um das Gewicht des Objekts zu erhalten, berechnest du zunächst das Volumen und dann ergibt der Term "Volumen%%\cdot%%Dichte" das Gewicht. Da die Dichte in kg/dm³ angegeben ist, verwendest du am besten schon in allen Zwischenschritten die Längeneinheit dm statt m.

Bei der Buchse handelt es sich nun um einen Rotationskörper, den du aus Zylindern zusammensetzen kannst.

Die Volumenformel für Zylinder lautet V = %%\pi\cdot%%%%\cdot%%h

Du beginnst am besten von außen, dh ganz rechts an der breitesten Stelle.

Flächennetz eines Zylinders

Die Höhe des Zylinders (hier von waagrecht eingezeichnet) berechnest du als 65mm - 57mm = 8mm = 0,08dm.

Der Durchmesser ist die höchste Stelle der Buchse und damit 60mm. Der Radius r ist die Hälfte davon und also 30mm bzw 0,3 dm.

Damit ergibt sich mit der Volumenformel: V = %%\pi\cdot%%(0,3dm)²%%\cdot%%0,08dm = 0,0226dm³

Flächennetz eines Zylinders

Als nächstes berechnest du das Volumen der Röhre. Als Höhe dieses Rotationszylinders hast du die vollen 65mm also 6,5dm gegeben und der Durchmesser (hier wieder senkrecht) ist 34mm-24mm = 10mm = 0,1dm und damit der Radius r = 0,05dm.

Es ergibt sich V = %%\pi\cdot%%(0,05dm)²%%\cdot%%6,5dm = 0,0511dm³.

Als bisherige Summe ergibt sich also 0,0737dm³.

Flächennetz eines Zylinders

Da du nun einen Teil der Fläche doppelt gezählt hast, ziehst du diesen wieder ab. Dazu musst du natürlich bestimmen, welches Volumen dieser Teil hat. Berechnet wird dieses ebenso wie zuvor schon zwei mal:

Höhe des Rotationszylinders ist 65mm-75mm = 8mm = 0,08dm

Radius des Zylinders ist r = %%\frac12\cdot%%Durchmesser = %%\frac12\cdot%%34mm = 17mm = 0,17dm

Damit ergibt sich das Volumen als V = %%\pi\cdot%%(0,08dm)²%%\cdot%%0,17dm = 0,0034dm³

Ziehst du dies von der bisherigen Summe ab, erhältst du als neues Zwischenergebnis 0,0703dm³.

Flächennetz enes Zylinders

Jetzt musst du nur noch den Teil des Volumens der Röhre abziehen, den du noch nicht abgezogen hast.

Die Höhe dieses Zylinders (wieder waagrecht) ist 57mm = 0,57dm

Der Durchmesser ist 24mm = 0,24dm und damit der Radius 0,12dm.

Das Volumen ist also V = %%\pi\cdot%%(0,12dm)²%%\cdot%%0,57dm = 0,0258dm³

Zieht man das von der bisherigen Zwischensumme ab, erhält man

V = 0,0703dm³ - 0,0258dm³ = 0,0445dm³

Damit erhält man das Ergebnis: Das Gewicht in Bronze ist G = 8,6 %%\cdot%% 0,0445 kg = 0,3827 kg

und das Gewicht in Kunststoff ist 2,2 %%\cdot%% 0,0445 kg = 0,0979 kg

Ein quaderförmiges Werkstück it den Maßen a=10mm, b=60mm, c=150mm hat eine Masse von m=657g.

Welche Dichte hat das Material?

Volumen und Massenberechnung

%%V_{Quader}=a\cdot b\cdot c%%

Längenmaße einsetzen

%%V=10mm\cdot60mm\cdot150mm%%

%%V=90\;000mm^3%%

Dichte berechnen

%%\rho=\frac mV%%

Volumen in  %%dm^3%%  und Masse in kg umrechnen

%%V=90\;000mm^3=0,09dm^3%%

%%m=657g=0,657kg%%

Volumen und Masse in die Formel für die Dichte einsetzen

%%\rho=\frac{0,657kg}{0,09dm^3}%%

%%\rho=7,3\frac{kg}{dm^3}%%

Berechne Volumen und Masse des Gussteils.

Dichte:   %%\rho_{Guss\;}=7,25\frac{kg}{dm^3}%%

01_des

Volumen und Massenberechnung

 

01_l_des

 

%%\begin{array}{l}A_1=1,5dm\cdot1,5dm=2,25dm^2\\A_2=6,0dm\cdot2,5dm=15,00dm^2\end{array}%%

Umrechnung in Dezimeter.

Berechnung der beiden Flächen  %%A_1%%  und  %%A_2%% .

%%A_{Ges}=A_1+A_2=2,25dm^2+15,00dm^2=17,25dm^2%%

Berechnung der Gesamtfläche.

%%V=A_{Ges}\cdot3dm=17,25dm^2\cdot3dm=51,75dm^3%%

Berechnung des Volumens.

%%\rho=\frac mV%%

Formel für die Dichte nach m umstellen.

%%m=\rho\cdot V=7,25\frac{kg}{dm^3}\cdot51,75dm^3=375,188kg%%

Berechnung der Masse.

In einem Ölbehälter (Quader) mit den Abmessungen a=500mm, b=300mm, c=250mm ist m=25kg Öl vohanden.

Dichte von Öl: %%\rho_{Öl}=0,9\frac{kg}{dm^3}%%

Welche Höhe h in mm hat der Ölspiegel?

Volumen und Massenberechnung

%%\rho=\frac mV%%

Formel für die Dichte nach V umstellen.

%%V=\frac m\rho%%

m und  %%\rho%%  einsetzen.

%%V_{Öl}=\frac{25kg}{0,9\displaystyle\frac{kg}{dm^3}}%%

%%V_{Öl}\approx27,8dm^3%%

%%V=a\cdot b\cdot h%%

%%\left|:(a\cdot b)\right.%%  (Volumenformel nach h auflösen)

%%h=\frac V{a\cdot b}%%

a und b in dm umrechnen

%%a=500mm=5dm%%

%%b=300mm=3dm%%

V, a und b in einsetzen

%%h=\frac{27,8dm^3}{5dm\cdot3dm}%%

Multiplikation im Nenner

%%h=\frac{27,8dm^3}{15dm^2}%%

%%h\approx1,85dm%%

dm in mm umrechnen

%%h\approx185mm%%

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