Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her:

Die Summe der quadrierten Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).

Pythagoras - Dreieck u Formel

Wichtig: Die Formel %%a^2 + b^2 = c^2%% gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken, wenn c die Hypotenuse ist!

Detaillierte Einführung

In diesem Video wird der Satz des Pythagoras sehr ausführlich erklärt.

Beweis des Satzes des Pythagoras

Für den Satz des Pythagoras gibt es viele sehr verschiedene Beweise. Einer soll hier beschrieben werden. Er macht nichts anderes, als sich mit dem rechtwinkligen Dreieck ein bestimmtes Quadrat zusammenzusetzen und dessen Fläche dann auf zwei verschiedene Arten auszudrücken.

Wir starten mit einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2103_R802oO5Sgn.xml

und setzen uns daraus ein Quadrat zusammen:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3370_CAzPmwG0Fy.xml

Dann können wir die Fläche A des großen Quadrates auf zwei verschiedene Arten ausdrücken:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2186_G5VGKcqKp9.xml Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2099_dhU11M0PLj.xml

Durch Gleichsetzen erhalten wir die Gleichung

$$(a+b)^2=2\mathrm{ab}+c^2,$$

die man umformen kann zu:

$$a^2+2\mathrm{ab}+b^2=2\mathrm{ab}+c^2\vert-2ab$$ $$a^2+b^2=c^2$$

Beispiel

Gegeben sind die beiden Katheten %%a=4%% und %%b=3%% eines rechtwinkligen Dreiecks.

Berechne die Hypotenuse %%c%%.

$$c^2=4^2+3^2$$

Setze in den Satz des Pythagoras ein und rechne die rechte Seite aus.

$$c^2=16+9=25$$

Ziehe die Wurzel

$$c=5$$

(Bemerkung: Die Lösung %%c = -5%% scheidet aus, weil eine Länge nicht negativ sein kann.)

Wichtig: Wenn man nach einer Kathete sucht, muss man diese Formel umstellen.

Die Kathete a lässt sich zum Beispiel berechnen mit %%a=\sqrt{c^2-b^2}%%

Video mit Beispielrechnungen

Pythagoras beschreibt auch Flächengleichheit

Für jede positive Zahl %%a%% beschreibt %%a^2%% die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge %%a%%. Genauso kann man sich %%b^2%% und %%c^2%% als Fläche von Quadraten vorstellen.

Der Satz des Pythagoras gibt somit auch einen Zusammenhang der Flächen über den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Anschaulich kann man dies an folgenden Applet erkennen.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen über den Katheten gleich groß wie die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.

Anwendungen

Rechtwinklige Dreiecke kommen sehr häufig vor. Damit hat der Satz des Pythagoras sehr viele Anwendungen.

Beispiele aus der Praxis

  • Berechnung von Streckenlängen in Gebäuden
  • Berechnungen an weiteren Figuren und Körpern
  • usw.

Als Hilfsmittel im Koordinatensystem

Mathematische Spielereien

  • Wurzelschnecke (zum exakten Zeichnen von Strecken der Längen %%\sqrt{2}, \sqrt{3}, …%%)
Kommentieren Kommentare

Zu article Satz des Pythagoras: Aspekt fehlt
Lena09 2014-05-26 12:30:59
Mir fehlt hier noch der Aspekt der Flächeninhalte. "Die Summe der Quadrate über die Katheten ist so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse". Lässt sich eventuell auch mit Geogrebra sehr anschaulich darstellen.
SebSoGa 2016-07-06 11:53:20
Hallo Lena,
wir haben jetzt diesen Aspekt mit eingebunden. Was hältst du von dieser neuen Version?

Liebe Grüße
Sebastian
Antwort abschicken
Zu article Satz des Pythagoras: Bitte bearbeiten
arekkas 2014-06-05 17:47:58
Hi,
irgendwie finde ich das Layout am Anfang komisch und es man könnte doch den Wikipedia Artikel verlinken, oder?

lg

Aeneas
haberlm 2014-06-05 17:49:00
Hallo Aeneas! Danke für dein Feedback, ich pack da mal das mal rein.
@inyono, könntest du vielleicht noch den Kurs verlinken?
@arekkas es wäre klasse, wenn du das Layout so machen würdest, wie du es gerne hättest.
inyono 2014-06-05 17:49:42
Klar, mach ich gleich!
Antwort abschicken