Beispielaufgaben

Gib, falls möglich, die allgemeine Formel vom Satz des Pythagoras an und berechne anschließend die fehlende Seite:

a) Aufgabenstellung a

b) Aufgabenstellung b

c) Aufgabenstellung c

Und hier die Lösung zu den Aufgaben:

zu a)

Das Dreieck %%ABC%% ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem %%90^\circ%%-Winkel bei %%A%%. Deshalb ist die Seite %%a%% die Hypotenuse (die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber) und die Seiten %%b%% und %%c%% sind in diesem Dreieck die Katheten. Damit ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras folgende Formel:

$$a^2 = b^2 + c^2.$$

Nun setzt man die gegebenen Werte ein: %%b = 3\, \mathrm{cm}%% und %%c = 4\, \mathrm{cm}%%:

$$a^2 = (3\,\mathrm{cm})^2 + (4\,\mathrm{cm})^2 = 9\,\mathrm{cm}^2 + 16\, \mathrm{cm}^2 = 25\, \mathrm{cm}^2.$$

Druch Wurzelziehen auf beiden Seiten erhält man dann die Länge der Hypotenuse %%a%%:

$$a^2 = 25\,\mathrm{cm}^2 \Leftrightarrow \sqrt{a^2} = \sqrt{25\, \mathrm{cm}^2} \Leftrightarrow a = 5\,\mathrm{cm}.$$

zu b)

Das Dreieck %%ABC%% ist kein rechtwinkliges Dreieck. Darum darf man hier den Satz des Pythagoras nicht anwenden!

zu c)

Das Dreieck %%ABC%% ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem %%90^\circ%%-Winkel bei %%A%%. Deshalb ist die Seite %%a%% die Hypotenuse (die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber) und die Seiten %%b%% und %%c%% sind in diesem Dreieck die Katheten. Damit ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras folgende Formel:

$$a^2 = b^2 + c^2.$$

Gesucht ist aber die Länge der Kathete %%c%%. Daher muss man die Formel nach %%c%% auflösen:

%%a^2 = b^2 + c^2%%

%%\mid -b^2%%

%%a^2 - b^2 = c^2%%

%%\mid \sqrt{.}%%

%%\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{c^2} \Leftrightarrow c = \sqrt{a^2 - b^2}%%

Nun muss man nur noch die Werte %%a = 10\, \mathrm{cm}%% und %%b = 6\, \mathrm{cm}%% einsetzen und ausrechnen:

$$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(10\, \mathrm{cm})^2 - (6\, \mathrm{cm})^2} = \sqrt{100\,\mathrm{cm}^2 - 36\,\mathrm{cm}^2} = \sqrt{64\, \mathrm{cm}^2} = 8\, \mathrm{cm}.$$

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