Aufgaben

Bei tief stehender Abendsonne wirft Luise, welche %%1,55\text{ m}%% groß ist, auf ebener Straße einen %%12 \text{ m}%% langen Schatten. Zeichne eine Skizze und berechne den Winkel, mit dem der Sonnenstrahl auf den Boden trifft.

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

Skizze zur Aufgabenstellung

Körpergröße - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Vorüberlegung und Lösungsplan

Körpergröße - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Das Dreieck %%\triangle AKF%% hat bei %%F%% einen rechten Winkel.
Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.

Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,

  • welche Seite die Hypotenuse im Dreieck %%\triangle AKF%% ist,

und

  • welche Seite die Ankathete zu %%\alpha%%,

  • und welche die Gegenkathete zu %%\alpha%% ist.

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete
  • Hypotenuse:

Seite [AK]

mit %%\overline {\mathrm{AK}}= ?%%

  • Ankathete zum Winkel %%\alpha%%:

Seite [FA]

mit %%\overline {\mathrm{FA}}= 12\, \mathrm{m}%%

  • Gegenkathete zum Winkel %%\alpha%%:

Seite [FK]

mit %%\overline {\mathrm{FK}}= 1,55\, \mathrm{m}%%

Die Formeln für sin, cos und tan lauten:

%%\sin \phi = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}%%

%%\cos \phi = \frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}%%

%%\tan \phi = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}%%

Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.

%%\rightarrow%% Löse die Aufgabe mit dem Tangens.

Lösung der Aufgabe

%%\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Ankathete zu }\alpha}%%

Setze in diese Formel die Streckenlängen aus der Aufgabe ein.

%%\tan \alpha = \frac {\overline {\mathrm{FK}}}{\overline {\mathrm{FA}}}%%

Für die Streckenlängen setzt du jetzt die Zahlenwerte ein und kannst den Tangens des Winkels ausrechnen.

%%\tan \alpha = \frac {1,55\, \mathrm {m}}{12 \,\mathrm{m}}=\frac{31}{240}\approx 0,129%%

Um daraus den Winkel %%\alpha%% zu erhalten, wendest du mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion %%\tan^{-1}%% an.

%%\alpha=\tan^{-1} (\frac{31}{240}) \approx 7,4^\circ%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von %%7,4^\circ%% auf die Straße.

Eine Tanne wirft einen 20 m langen Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen dabei unter einem Winkel von %%31^\circ%% auf die Erde. Zeichne eine Skizze und berechne die Höhe der Tanne.

 

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

Skizze

$$\tan\left(31^\circ\right)=\frac{h}{20m}$$

%%\,%%

%%\left|{\cdot20m}\right.%%

%%h=\tan\left(31^\circ\right)\cdot20m%%

 

%%h=12m%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Höhe der Tanne beträgt %%12m%%.

Die Zugbrücke einer Burg ist 8m lang und hat zwischen der Mauer und der Kette einen Winkel von  %%43^\circ%% . Wie lang muss die Kette sein, mit der man die Zugbrücke hinunter klappen kann?

Zugbrücke einer Burg - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

%%\sin\left(43^\circ\right)=\frac{8m}{\text{Kettenlänge}}%%

%%\left|{:\sin\left(43^\circ\right)\;\left|\cdot\right.}\right.%% Kettenlänge

Kettenlänge %%=\frac{8m}{\sin\left(43^\circ\right)}%%

Kettenlänge %%\approx11,7m%%

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man am einen Ufer die Strecke %%\overline{\mathrm{AB}}=80m%% abgesteckt. Am anderen Ufer gibt es gegenüber von B einen Punkt C. Als Winkel zwichen AB und AC wird %%\alpha=38^\circ%% gemessen. Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann die Breite des Flusses.

 

 

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

1. Skizze zeichnen

 

Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

2. Breite berechnen

 

%%\tan\left(38^\circ\right)=a:80\,m%%

%%\left|{\cdot80\,m}\right.%%

%%a=\tan\left(38^\circ\right)\cdot80\,m%%

 

%%a=62,5\,m%%

 

Antwort: Der Fluss ist %%62,5\,m%% breit

"Fliegen" hinter dem Motorboot. Till schätzt vom Boot aus den Anstiegswinkel der 100 m langen, straff gespannten Schleppleine auf etwa 50°.

Wie hoch ist der Flieger etwa über dem Wasser?

Thema dieser Aufgabe ist der Sinus, Kosinus und Tangens.

Geg: Hypothenuse %%=100\;m%%, %%\alpha =50^\circ%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze zur Aufgabe: rechtwinkliges Dreieck mit 50°-Winkel

Mit Hilfe des Sinus %%h%% berechnen.

%%\sin\left(50^\circ\right)=\frac h{100 \;m} \quad \quad \left|\cdot100\;m\right.%%

Nach %%h%% umformen .  

%%h=\sin\left(50^\circ\right)\cdot100\;m%%

%%h=76,6\;m%%

%%\Rightarrow\;\;%% Der Flieger ist %%76,6\; m%% über dem Wasser.

Beim "Fliegen" hinter dem Motorboot an einer 100m langen Leine soll aus Sicherheitsgründen die Flughöhe von 20m nicht überschritten werden.

Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine sein?

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: Hypothenuse=100m, %%\alpha%% =50°

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze zur Aufgabe: rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 100m. Kathete 20m

Mit Hilfe des Sinus h berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{20m}{100m}%%

Mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\alpha=11,5^\circ%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° sein.

Um eine Geschosshöhe von 3,20m durch eine Treppe zu überbrücken, stehen für die Ausladung 4,50m zur Verfügung.

Unter welchem Steigungswinkel ist die Treppenwange zuzuschneiden?

Sinus, Cosinus und Tangens

geg.: %%h=3,2m; x=4,5m%%

ges.: %%\alpha%%

Skizze zum Verständnis zeichnen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5320_CY1ZKljnyn.xml

Den Winkel %%\alpha%%  mithilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Werte einsetzen

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac{3,2}{4,5}%%

%%\alpha%% mithilfe des Arkustangens %%tan^{-1}%%  berechnen.

%%\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{3,2}{4,5}\right) = 35,4^\circ%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Treppenwage ist unter einem Steigungswinkel von %%\alpha = 35,4°%% zuzuschneiden.

Der Steigungswinkel von Treppen soll laut DIN-Norm für Haupttreppen 25°-38°, für Nebentreppen 38°-45° betragen.

Die Geschosshöhe beträgt 25m.

Wie lang wird die Treppenwange für

  1. 25°

  2. 38°

  3. 45°

Berechne auch die Ausladung.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5320_CY1ZKljnyn.xml

Teilaufgabe 1

Geg.: %%h=25m%%; %%\alpha =25^\circ%%

Ges.: %%x%%, %%w%%

Zunächst %%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{25m}{\tan\left(25^\circ\right)}\approx54m%%

%%w%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hw%%

Nach %%w%% umstellen und Werte einsetzen.

%%w=\frac{25m}{\sin\left(25^\circ\right)}\approx59m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Ausladung beträgt 54m, die Wange 59m.

Teilaufgabe 2

Geg.: %%h=25m%%; %%\alpha =38^\circ%%

Ges.: %%x%%, %%w%%

Zunächst %%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{25m}{\tan\left(38^\circ\right)}\approx32m%%

%%w%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hw%%

Nach %%w%% umstellen und Werte einsetzen.

%%w=\frac{25m}{\sin\left(38^\circ\right)}\approx41m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Ausladung beträgt %%32m%%, die Wange %%41m%%.

Teilaufgabe 3

Geg.: %%h=25m%%; %%\alpha =45^\circ%%

Ges.: %%x%%, %%w%%

Zunächst %%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{25m}{\tan\left(45^\circ\right)}=25m%%

%%w%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hw%%

Nach %%w%% umstellen und Werte einsetzen.

%%w=\frac{25m}{\sin\left(45^\circ\right)}\approx35m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Ausladung beträgt %%25m%%, die Wange %%35m%%.

In 50 m Länge soll ein Damm mit trapezförmigem Querschnitt aufgeschüttet werden. Unten soll er 18 m breit sein, oben 8 m. Der Böschungswinkel soll 50° betragen.

Berechne die Dammhöhe.

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a = 18 m; b = 8 m; %%\alpha%% = 50°

ges: h

Zum Verständnis eine Skizze zeichnen.

Skizze zur Aufgabe: trapezförmiger Querschnitt durch den Damm

x berechnen, indem man b von a subtrahiert und das Ergebnis halbiert.

%%x=\frac{18\,\mathrm{m}-8\,\mathrm{m}}2=5\,\mathrm{m}%%

h mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Nach h umformen und Werte einsertzen.

%%h=5\,\mathrm{m}\cdot\tan\left(50^\circ\right)%%

Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .

%%h=6\,\mathrm{m}%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Dammhöhe beträgt 6 m.

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