Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Der Sinus- und der Kosinussatz stellen Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in beliebigen Dreiecken her.

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten $a$ , $b$ , $c$ und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln $α$ , $β$ , $γ$ gilt:

Sinussatz

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)} ._{}^{}

Kosinussatz

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α)$

Wenn du den Winkel berechnen willst, musst du nach den Kosinuswerten umformen:

$\cos (γ) = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ , und $γ = \cos^{- 1} (\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b})$
$\cos (β) = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$ , und $β = \cos^{- 1} (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$
$\cos (α) = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ , und $α = \cos^{- 1} (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Alternative Formulierung des Sinussatzes

Durch Umformungen kann man den Sinussatz auch auf folgende Formen bringen:

\frac{\sin (α)}{a} = \frac{\sin (β)}{b} = \frac{\sin (γ)}{c} .

\frac{a}{b} = \frac{\sin (α)}{\sin (β)} \frac{a}{c} = \frac{\sin (α)}{\sin (γ)} \frac{b}{c} = \frac{\sin (β)}{\sin (γ)}

Man kann nach den einzelnen Größen auflösen:

a = \frac{b}{\sin (β)} \cdot \sin (α) = \frac{c}{\sin (γ)} \cdot \sin (α)

b = \frac{a}{\sin (α)} \cdot \sin (β) = \frac{c}{\sin (γ)} \cdot \sin (β)

c = \frac{a}{\sin (α)} \cdot \sin (γ) = \frac{b}{\sin (β)} \cdot \sin (γ)

Auflösung nach den Winkeln:

α = \sin^{- 1} (\frac{a}{b} \sin (β)) = \sin^{- 1} (\frac{a}{c} \sin (γ))

β = \sin^{- 1} (\frac{b}{a} \sin (α)) = \sin^{- 1} (\frac{b}{c} \sin (γ))

γ = \sin^{- 1} (\frac{c}{a} \sin (α)) = \sin^{- 1} (\frac{c}{b} \sin (β))

Beachte

Wenn du aus einem Sinuswert in einem Dreieck den Winkel berechnen willst, beachte, dass die Gleichung $\sin (α) = x$ für Winkel zwischen $0^{\circ}$ und $180^{\circ}$ zwei Lösungen hat:

mit dem $α$ , das dir dein Taschenrechner mit der Eingabe $\sin^{- 1} (x)$ anzeigt, ist auch $180^{\circ} - α$ eine Lösung.

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes

Für $γ = 90^{\circ}$ erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt $\cos (90^{\circ}) = 0$ . Damit ist der Satz des Pythagoras $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Beispiel

Im Dreieck $A B C$ seien die Werte $a = 6,10$ , $α = 45^{\circ}$ , $β = 55^{\circ}$ und damit auch $γ = 80^{\circ}$ gegeben.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6534_HjoYFV5sL9.xml

Berechne zuerst mithilfe des Sinussatzes die Länge der Seite $b$ :

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)}

Setze die bekannten Werte ein.

\frac{6,1}{\sin (45^{\circ})} = \frac{b}{\sin (55^{\circ})}

Löse nach $b$ auf.

\Rightarrow b = \frac{6,1 \cdot \sin (55^{\circ})}{\sin (45^{\circ})} = 7,1

Berechne nun mithilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite $c$ :

c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)}

Setze die Werte ein.

= \sqrt{{6,1}^{2} + {7,1}^{2} - 2 \cdot 6,1 \cdot 7,1 \cdot \cos (80^{\circ})} = 8,5

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Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz

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