Aufgaben

Verschiebe den Punkt %%A(3|2)%% um den Vektor %%v=(-1|4)%% zu %%A'%% und strecke anschließend den Ortsvektor %%\overrightarrow{OA'}%% um den Faktor %%k=\frac12%%. Gib die Koordinaten des Punktes %%A^*%% an, der sich bei dieser Streckung ergibt.

%%A(3|2)%%

%%v=(-1|4)%%

Zuerst muss der Punkt parallel verschoben werden.

$$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\ 6 \end{pmatrix}$$

Der verschobene Punkt %%A'%% hat somit die Koordinaten %%A'(2|6)%%.

Als nächstes muss der Ortsvektor %%\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\ 6 \end{pmatrix}%% um den Faktor %%k=\frac12%% gestreckt werden.

%% \begin{pmatrix} x^*\\ y^* \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac12 & 0 \\ 0 & \frac12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix} %%

Die Koordinaten des verschobenen und gestreckten Punktes %%A^*%% lauten %%A^*(1|3)%%. Das ist auch in dem Bild unten zu erkennen.

Skizze

Die Gerade hh mit der Gleichung y=xy=x (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) ist Symmetrieachse von Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Die Diagonalen [BnDn][B_nD_n] der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n liegen auf der Geraden hh. Die Punkte An(x2x+3)A_n(x|2x+3) liegen auf der Geraden gg mit der Gleichung y=2x+3y=2x+3 (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Die Abszisse der Punkte DnD_n ist stets um vier größer als die Abszisse xx der Punkte AnA_n. Dabei gilt: x]x \in ]-3;5[3 ; 5[.
Runde im folgenden auf zwei Nachkommastellen!
Zeichne die Geraden gg und hh sowie die Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=0,5x=-0,5 und die Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=2,5x=2,5 in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm1 cm; 4x9;3y9-4\leq x \leq 9; -3\leq y \leq 9.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Achse spiegeln

Zeichnen der Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1

Du fängst mit der Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 an. Gegeben sind xx=0,5-0,5 und die Gleichungen y=2x+3y=2x+3 für den Punkt A1A_1 und y=xy=x für die Punkte C1C_1 und D1D_1
Erst berechnest du die yy-Koordinate von A1A_1.
yA1=20,5+3=2y_{A_1}=2\cdot -0,5 + 3=2
Du trägst den Punkt A1(0,52)A_1(-0,5|2) ein. Dann berechnest du die Koordinaten von D1D_1.
xD1=xA1+4=0,5+4=3,5x_{D_1}=x_{A_1}+4=-0,5+4=3,5
yD1=3,5y_{D_1}=3,5
Du trägst den Punkt D1(3,53,5)D_1(3,5|3,5) ein. Dann spiegelst du A1A_1 an hh, um C1C_1 einzutragen.
Als nächstes zeichnest du die Strecke [A1C1][A_1C_1] und spiegelst D1D_1 an dieser, um B1B_1 einzutragen.
Die Koordinaten von C1C_1 und B1B_1 musst du nicht berechnen.
Aufgabe 1 a).png

Zeichnen der Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2

Für die Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2: Gegeben sind x=2,5x=2,5 und die Gleichungen y=2x+3y=2x+3 für den Punkt A2A_2 und y=xy=x für die Punkte C2C_2 und D2D_2.
Du gehst für die zweite Raute genauso vor, wie für die erste.
Erst berechnest du die yy-Koordinate von A2A_2.
yA2=22,5+3=8y_{A_2}=2\cdot 2,5 + 3=8
Du trägst den Punkt A2(2,58)A_2(2,5|8) ein. Dann berechnest du die Koordinaten von D2D_2.
xD2=xA2+4=2,5+4=6,5x_{D_2}=x_{A_2}+4=2,5+4=6,5
yD2=6,5y_{D_2}=6,5
Dann spiegelst du wieder A2A_2 an hh, um C2C_2 einzutragen und D2D_2 an [A2C2][A_2C_2], um B2B_2 einzutragen.
Aufgabe 1 a)2.png
Zeige, dass für die Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4)! Bestätige sodann durch Rechnung die untere Intervallgrenze x=3x=-3 der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n!

1. Teilaufgabe

Die Abszissen der Punkte DnD_n sind um 4 größer als die Abszissen der Punkte AnA_n (in der Aufgabe definiert). Die Punkte DnD_n liegen auf der Geraden y=xy=x.
Damit sind die Koordinaten der Punkte Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4).

2. Teilaufgabe

Die untere Intervallgrenze ist die Stelle, an der sich die Geraden g:y=2x+3g: y=2x+3 und h:y=xh: y=x schneiden.
Du berechnest also den Schnittpunkt der beiden Geraden
2x+3=x2x+3=x
und löst nach xx auf.
x=3\Leftrightarrow x=-3
\Rightarrow Die untere Intervallgrenze ist x=3x=-3.
Begründe, warum sich für [AnDn]h[A_nD_n]\perp h die obere Intervallgrenze x=5x=5 ergibt und bestätige diese durch Rechnung!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Sobald DnD_n auf der Diagonalen [AnCn][A_nC_n] liegt, liegt auch das an dieser Diagonalen gespiegelte BnB_n auf der Diagonalen und es gibt keine Raute mehr.
Wenn das eintritt, ist die Strecke [AnDn][A_nD_n] orthogonal zur Geraden hh.
Die Strecke [AnDn][A_nD_n] kannst du als Vektor schreiben:
AnDn=(x+4xx+4(2x+3))\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}x+4-x \\x+4-(2x+3)\end{pmatrix}
Wenn dieser orthogonal zur Geraden hh ist, ist das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden hh und der Strecke [AnDn][A_nD_n] gleich null.
(x+4xx+4(2x+3))(11)=0x+4x+x+4(2x+3)=0x=5\begin{array} {lcr}&\begin{pmatrix} x+4-x \\ x+4-(2x+3) \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}=0 \\\Leftrightarrow \,\, & x+4-x+x+4-(2x+3)=0 \\\Leftrightarrow \,\, & x=5\end{array}
Daher wurde die obere Intervallgrenze x=5x=5 gewählt.
Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Gegeben: An(x2x+3)A_n(x|2x+3)
Spiegelachse: y=xy=x
Du hast in Teilaufgabe 1 die Punkte C1C_1 und C2C_2 konstruiert, indem du die Punkte A1A_1 und A2A_2 an der Diagonalen BnDnB_nD_n gespiegelt hast. Dies kannst du für alle Punkte CnC_n machen.
Zunächst berechnest du den Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt.
α=tan1(m)=tan1(1)=45\alpha=tan^{-1}(m)=tan^{-1}(1)=45^\circ
Das kannst du in die Formel für die Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden einsetzen.
%%\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos{2\alpha} & \sin{2\alpha} \\ \sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha} \end{pmatrix}%%(xy)\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
%%= \begin{pmatrix} \cos{2\cdot45^\circ} & \sin{2\cdot45^\circ}\\\sin{2\cdot45^\circ} & -\cos{2\cdot45^\circ} \end{pmatrix}%%(x2x+3)\cdot \begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}
%%=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}%%
=(2x+3x)= \begin{pmatrix} 2x+3 \\ x \end{pmatrix}
\Rightarrow Die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte AnA_n sind (2x+3x)(2x+3|x).
Berechne den Flächeninhalt AA der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt einer Raute berechnen

Gegeben: An(x2x+3)A_n(x|2x+3), Cn(2x+3x)C_n(2x+3|x), Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4)
Du bildest zuerst den Vektor DnAn\overrightarrow{D_nA_n}
DnAn=(x(x+4)2x+3(x+4))=(4x1)\begin{array}{lcr} \overrightarrow{D_nA_n}= &\begin{pmatrix} x-(x+4) \\ 2x+3-(x+4)\end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} -4 \\ x-1 \end{pmatrix}\end{array}
Dann bildest du den Vektor DnCn\overrightarrow{D_nC_n}.
DnCn=(2x+3(x+4)x(x+4))=(x14)\begin{array}{lcr} \overrightarrow{D_nC_n}= &\begin{pmatrix} 2x+3-(x+4) \\ x-(x+4)\end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} x-1 \\ -4 \end{pmatrix}\end{array}
Mit der Determinante rechnest du jetzt den Flächeninhalt AA aus. Das kannst du machen, da die Raute aus zwei gleich großen Dreiecken besteht.
A(x)=(4x1x14)=16(x1)(x1)=x2+2x+15\begin{array}{lcr} A(x) = \begin{pmatrix} -4 & x-1 \\ x-1 & -4 \\ \end{pmatrix}\end{array}\\\\=16-(x-1)(x-1)\\\\=-x^2+2x+15
Die Seite [C3D3][C_3D_3] der Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 verläuft senkrecht zur xx-Achse. Berechne die Koordinaten des Punktes D3D_3!
Gegeben: Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4), Cn(2x+3x)C_n(2x+3|x)
Wenn die Strecke [C3D3][C_3D_3] orthogonal zur xx-Achse ist, sind die Abszissen der Punkte C3C_3 und D3D_3 gleich.
xD3=xC3x+4=2x+3x=1\begin{array}{lcr} & \,\, x_{D_3}=x_{C_3}\\& \,\, x+4=2x+3 \\\Leftrightarrow & \,\, x=1\end{array}
Das Ergebnis setzt du in die Koordinaten von Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4) ein.
D3(1+41+4)=(55)D_3(1+4|1+4)=(5|5)
In der Raute A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 hat die Diagonale [A4C4][A_4C_4] die gleiche Länge wie die Seite [A4D4][A_4D_4]. Begründe, dass für die Diagonale [B4D4][B_4D_4] gilt: B4D4=A4D43\overline{B_4D_4}=\overline{A_4D_4}\cdot \sqrt3!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Skizze
Du beschreibst zuerst die allgemeinen Eigenschaften einer Raute und verbindest das dann mit den Bedingungen, die in der Aufgabe gegeben sind. Es ist oft sinnvoll, eine Raute in zwei Dreiecke zu unterteilen und sich zunächst nur eins von diesen anzugucken.
Das markierte Dreieck A4C4D4A_4C_4D_4 ist gleichseitig:
a=A4C4=C4D4=D4A4a=\overline{A_4C_4}=\overline{C_4D_4}=\overline{D_4A_4}
Die Höhe bb eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge aa kannst du der Formelsammlung entnehmen (oder diesem Artikel)
b=32ab=\frac{\sqrt3}{2}a
Die Strecke [B4D4][B_4D_4] ist doppelt so lang wie die Höhe bb des Dreiecks. Es gilt demnach:
B4D4=2b=232a=3a\overline{B_4D_4}=2 \cdot b=2 \cdot \frac{\sqrt3}{2} \cdot a=\sqrt3 \cdot a
Jetzt verbindest du noch deine Argumente, um die gleiche Formel wiederzugeben, die in der Aufgabe verlangt ist.
a=A4D4a=\overline{A_4D_4}
B4D4=3A4D4\Rightarrow \overline{B_4D_4}=\sqrt3 \cdot \overline{A_4D_4}
Die Eckpunkte CnC_n der Drachenvierecke ABnCnDnAB_nC_nD_n liegen auf der Geraden g mit y=0,5x+6,5y=0,5x+6,5. Die Punkte ZnZ_n sind die Diagonalenschnittpunkte, die Geraden ACnAC_n sind die Symmetrieachsen der Drachenvierecke.
Es gilt: A(00)A(0|0); DnABn=90;AZn:ZnCn=3:2\sphericalangle D_nAB_n=90^\circ; \overline{AZ_n} : \overline {Z_nC_n}=3:2
Zeichne die Drachenvierecke AB1C1D1AB_1C_1D_1 und AB2C2D2AB_2C_2D_2 für x=2x=-2 und x=1x=1 in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung:
6x6;1y9-6 \leqq x \leqq 6; -1 \leqq y \leqq 9
1LE=^1cm1 \,LE \,\, \widehat{=} \, 1 \,\, cm

Für das erste Drachenviereck:

Gegeben sind: A(00)A(0|0), Z1(x10,5x1+6,5)Z_1(x_1|0,5x_1+6,5), AZ1:Z1C1=3:2\overline{AZ_1} : \overline {Z_1C_1}=3:2, D1AB1=90\sphericalangle D_1AB_1=90^\circ und x1=2x_1=-2
Du zeichnest zuerst den Punkt AA in ein Koordinatensystem ein.
Dann berechnest du die Koordinaten von C1C_1.
C1(220,5+6,5)=(25,5)C_1(-2|-2\cdot0,5+6,5)=(-2|5,5)
Du trägst den Punkt C1C_1 in ein Koordinatensystem ein.
Dann berechnest die Koordinaten von Z1Z_1. Dafür multiplizierst du die Koordinaten von C1C_1 mit 35\frac{3}{5}. Das kannst du aus dem Verhältnis 3:23:2 rauslesen.
Z1=(2355,535)=(1,23,3)Z_1=(-2\cdot \frac{3}{5}|5,5 \cdot \frac{3}{5})=(-1,2|3,3)
Diesen Punkt trägst du wieder ein.
Dann konstruierst du eine Senkrechte zu [AC1][AC_1], die durch den Punkt Z1Z_1 geht. Auf dieser werden später B1B_1 und D1D_1 sein.
Punkte A, C1 und Z1
Du weißt, dass bei AA ein rechter Winkel vorliegt und, dass Z1Z_1 Mittelpunkt von B1B_1 und D1D_1 ist. Du kannst also erkennen, dass du einen Thaleskreis benutzen kannst, um B1B_1 und D1D_1 zu finden. Die Schnittpunkte mit diesem sind die Punkte B1B_1 und D1D_1.
Du zeichnest also einen Kreis mit Mittelpunkt Z1Z_1 und Radius Z1A\overline{Z_1A} in deine Skizze.
Benutze den Thaleskreis

Für das zweite Drachenviereck:

Gegeben sind: A(00)A(0|0), Z2(x20,5x2+6,5)Z_2(x_2|0,5x_2+6,5), AZ2:Z2C2=3:2\overline{AZ_2} : \overline {Z_2C_2}=3:2, D2AB2=90\sphericalangle D_2AB_2=90^\circ und x2=1x_2=1
Du zeichnest zuerst den Punkt AA in ein Koordinatensystem ein.
Dann berechnest du die Koordinaten von C2C_2.
C2(110,5+6,5)=(17)C_2(1|1\cdot0,5+6,5)=(1|7)
Du trägst den Punkt C2C_2 in ein Koordinatensystem ein.
Dann berechnest die Koordinaten von Z2Z_2. Dafür multiplizierst du die Koordinaten von C2C_2 mit 35\frac{3}{5}. Das kannst du aus dem Verhältnis 3:23:2 rauslesen.
Z2=(2355,535)=(1,23,3)Z_2=(-2\cdot \frac{3}{5}|5,5 \cdot \frac{3}{5})=(-1,2|3,3)
Diesen Punkt trägst du wieder ein.
Dann konstruierst du eine Senkrechte zu [AC2][AC_2], die durch den Punkt Z2Z_2 geht. Auf dieser werden später B2B_2 und D2D_2 sein.
Punkte A, C2 und Z2 und deren Senkrechte
Du weißt, dass bei AA ein rechter Winkel vorliegt und, dass Z2Z_2 Mittelpunkt von B2B_2 und D2D_2 ist. Du kannst also erkennen, dass du einen Thaleskreis benutzen kannst, um B2B_2 und D2D_2 zu finden. Die Schnittpunkte mit diesem sind die Punkte B2B_2 und D2D_2.
Du zeichnest also einen Kreis mit Mittelpunkt Z2Z_2 und Radius Z2A\overline{Z_2A} in deine Skizze.
Thaleskreis
Berechne die Koordinaten der Punkte ZnZ_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte CnC_n!
Gegeben sind die Koordinaten der Punkte Cn(x0,5x+6,5)C_n(x|0,5x+6,5). Es gilt 0Zn:ZnCn=3:2\overline {0Z_n} : \overline {Z_n|C_n}=3:2
Wenn zum Beispiel CnC_n 55 Längeneinheiten vom Ursprung entfernt ist, dann ist ZnZ_n 33 Längeneinheiten vom Ursprung entfernt. Daraus folgt, dass ZNZ_N immer auf 35\frac{3}{5} des Weges vom Ursprung zu CnC_n liegt. Man multipliziert also die xx- und yy-Koordinaten von ZnZ_n mit 35\frac{3}{5}
Zn(0,6x0,6(0,5x+6,5)=(0,6x0,3x+3,9)\Rightarrow Z_n(0,6x|0,6\cdot(0,5x+6,5)=(0,6x|0,3x+3,9)
Berechnung des Verältnisses AZN:ABN\overline{AZ_N}:\overline{AB_N}
Gegeben: Zn(0,6x0,3+3,9)Z_n(0,6x|0,3+3,9)
BnB_n liegt auf einer Senkrechten zu [AZn][AZ_n], die durch ZnZ_n führt.
Aus diesen Informationen kannst du entnehmen, dass BnB_n, ZnZ_n und OO ein rechtwinkliges Dreieck BnZnA\triangle B_nZ_nA bilden. Durch den rechten Winkel DnABn\sphericalangle D_nAB_n gibt es einen Thaleskreis mit Mittelpunkt ZnZ_n, der durch DnD_n, AA und BnB_n geht. Es gilt also ZnA=ZnBn\overline{Z_nA}=\overline{Z_nB_n}.
Senkrechte auf AZn durch Zn
AZn2+ZnBn2=ABn22AZn2=ABn22AZn=ABn\begin{array}{lcr} & \overline{AZ_n}^2+\overline{Z_nB_n}^2=\overline {AB_n}^2 \\ \Leftrightarrow & 2\overline{AZ_n}^2= \overline{AB_n}^2 \\ \Leftrightarrow & \sqrt{2}\cdot\overline{AZ_n}=\overline{AB_n}\end{array}
AZn:ABn=1:2\Rightarrow \overline{AZ_n} : \overline{AB_n} = 1:\sqrt2
Ermittle die Gleichung des Trägergraphen tt der Punkte BnB_n!
Gegeben sind ZN(0,6x0,3x+3,9)Z_N(0,6x|0,3x+3,9) und A(00)A(0|0).
Wenn AA um 9090^\circ um ZnZ_n gedreht wird, entsteht BnB_n. Wir drehen AA also um einen beliebigen Punkt.
OBn=(cos(α)sin(α)sin(α)cos(α))ZnA+OZn\overrightarrow{OB_n}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha)\\ sin(\alpha) & \,\,\,\,\,\,cos(\alpha)\end{pmatrix}\cdot \overrightarrow{Z_nA} + \overrightarrow{OZ_n}
=(cos(90)sin(90)sin(90)cos(90))(0,6x0,3x3,9)+OZn=\begin{pmatrix} cos(90^\circ) & -sin(90^\circ)\\ sin(90^\circ) & \,\,\,\,\,\,cos(90^\circ)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -0,6x \\ -0,3x - 3,9\end{pmatrix}+\overrightarrow{OZ_n}
=(00,6x+1(0,3x+3,9)10,6x+0(0,3x+3,9))+(0,6x0,5x+6,5)=\begin{pmatrix} 0\cdot -0,6x + -1\cdot (-0,3x + -3,9)\\ 1\cdot -0,6x + 0\cdot (0,3x + 3,9)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0,6x \\ 0,5x + 6,5\end{pmatrix}
=(0,3x+3,90,6x)+(0,6x0,3x+3,9)=\begin{pmatrix}0,3x + 3,9\\ -0,6x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0,6x \\ 0,3x + 3,9\end{pmatrix}
=(0,9x+3,90,3x+3,9)=\begin{pmatrix} 0,9x +3,9 \\ -0,3x+3,9\end{pmatrix}
Um den Trägergraphen zu ermitteln, übernimmst du aus den Ortsvektoren OBn\overrightarrow{OB_n} folgende Informationen über die Koordinaten von BnB_n:
xBn=0,9x+3,9x_{B_n} =0,9x+3,9
109xBn133=x\Leftrightarrow \frac{10}{9}x_{B_n}-\frac{13}{3}=x
yBn=0,3x+3,9y_{B_n}=-0,3x+3,9
Jetzt musst du nur noch xx in die untere Gleichung einsetzen und du hast den Trägergraphen ermittelt.
yBn=0,3(109x133)+3,9y_{B_n}=-0,3\cdot(\frac{10}{9}x-\frac{13}{3})+3,9
yBn=13xBn+5,2y_{B_n}=-\frac{1}{3}x_{B_n}+5,2
Gegeben: g:y=0,5x+6,5g:y=0,5x+6,5 und ACN=(x0,5x+6,5)\overrightarrow{AC_N}=\begin{pmatrix} x \\ 0,5x+6,5 \end{pmatrix}
Der Richtungsvektor der Geraden gg muss orthogonal zu ACn\overrightarrow{AC_n} sein:
gACN=0\overrightarrow g\circ\overrightarrow{AC_N}=0
(10,5)(x0,5x+6,5)=0\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} x \\ 0,5x+6,5\end{pmatrix}=0
x+0,25x+3,25=0\Leftrightarrow x+0,25x+3,25=0
1,25x+3,25=0\Leftrightarrow1,25x+3,25=0
x=2,6\Leftrightarrow x=-2,6
Gegeben sind ABn=(0,9x+3,90,3x+3,9)\overrightarrow {AB_n}=\begin{pmatrix} 0,9x+3,9\\-0,3x+3,9 \end{pmatrix} und ACn=(x0,5x+6,5)\overrightarrow {AC_n}=\begin{pmatrix} x\\0,5x+6,5 \end{pmatrix}.
Das Drachenviereck besteht aus zwei gleichgroßen Dreiecken, dessen Flächeninhalt du mit der Determinante ausrechnen kannst.
Drachenviereck
A(x)=212ABnACn=0,9x+3,9x0,3x+3,90,5x+6,5=(0,9x+3,9)(0,5x+6,5)(0,3x+3,9)x=0,45x2+7,8x+25,35+0,3x23,9x=0,75x2+3,9x+25,35\begin{array}{lcr} A(x) &= 2\cdot\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix} \overrightarrow{AB_n} & \overrightarrow{AC_n} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 0,9x+3,9 & x \\ -0,3x+3,9 & 0,5x+6,5 \end{vmatrix} \\ &= (0,9x+3,9)\cdot(0,5x+6,5)-(-0,3x+3,9)\cdot x \\ &= 0,45x^2+7,8x+25,35+0,3x^2-3,9x \\ &= 0,75x^2+3,9x+25,35\end{array}
Du kennst jetzt den Flächeninhalt in Abhängigkeit von xx. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du die Scheitelpunktform der Parabel ausrechnen und damit den Scheitelpunkt bestimmen.
A(x)=0,75(x2+5,2x+33,8)=0,75(x2+5,2x+33,8+2,622,62)=0,75(x+2,6)2+27,04\begin{array}{lcr}A(x)&=0,75\cdot(x^2+5,2x+33,8) \\ &= 0,75\cdot(x^2+5,2x+33,8+2,6^2-2,6^2) \\ &= 0,75(x+2,6)^2+27,04\end{array}
Aus der Scheitelpunktform liest du heraus, dass der Scheitelpunkt bei S(2,627,04)S(-2,6|27,04) liegt. Als letztes berechnest du die xx-Koordinate von B0B_0.
xBn=0,9x+3,9=0,92,6+3,9=1,56\begin{array}{lcr} x_{B_n}&=0,9x+3,9 \\ &= 0,9\cdot-2,6+3,9\\&=1,56\end{array}
Der Punkt Z4Z_4 liegt auf der Parabel pp mit y=116x2+12x+4,5y=-\frac{1}{16}x^2+\frac{1}{2}x+4,5.
Berechne die Koordinaten des Punktes C4C_4 und das Maß des Winkels D4C4B4\sphericalangle D_4C_4B_4!
Gegeben sind:
Z4p:y=116x2+12x+4,5Z_4 \in p:y=−\frac{1}{16}x^2+\frac{1}{2}x+4,5
Zn(0,6x0,3x+3,9)Z_n(0,6x|0,3x+3,9)
Du kennst die Koordinaten aller Punkte ZnZ_n in allgemeiner Form. Außerdem weißt du, dass der Punkt Z4Z_4 im Speziellen auf pp liegt, d. h. seine Koordinaten müssen die Parabelgleichung erfüllen. Du setzt also die Koordinaten von ZnZ_n in die Gleichung von pp ein und berechnest so den entsprechenden Wert für xx.
0,3x+3,9=116(0,6x)2+120,6x+4,50,3x+3,9=-\frac1{16}(0,6x)^2+\frac12\cdot0,6x+4,5
0=9400x2+0,60=-\frac{9}{400}x^2+0,6
x=±4153\Leftrightarrow x=\pm \frac{4\sqrt{15}}{3}