Aufgaben
Verschiebe den Punkt PP um den Vektor v\overset\rightharpoonup v. Gib die Koordinaten von PP' an.
P(21)P(-2|1), v=(13)\overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

Addiere den Vektor v\overset\rightharpoonup v zu dem Ortsvektor P\overset\rightharpoonup P
Parallelverschiebung
P=P+v=(21)+(13)\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}} + \color{red}{\overset\rightharpoonup v} =\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}
xP=2+1=1x_{P'}=-2+1=-1
yP=1+(3)=2y_{P'}=1+(-3)=-2
P(12)\rightarrow\color{orange}{P'(-1|-2)}

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

P=(1001)P+v=(1001)(21)+(13)\textcolor{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\textcolor{purple}{\overset\rightharpoonup P} +\textcolor{red}{\overset\rightharpoonup v}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\textcolor{purple}{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}+\textcolor{red}{\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}
=(21)+(13)=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}
=(12)=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}
P=(12)\rightarrow \color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}=\color{orange}{\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}
P(3,22,4)P(-3,2|2,4), v=(1,41,7)\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 1,4 \\ -1,7\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

Addiere den Vektor v\overset\rightharpoonup{v} zu dem Ortsvektor P\overset\rightharpoonup{P}
Parallelverschiebung
P=P+v=(3,22,4)+(1,41,7)\textcolor{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\textcolor{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\textcolor{red}{\overset\rightharpoonup{v}}=\textcolor{purple}{\begin{pmatrix}-3,2\\2,4\end{pmatrix}}+\textcolor{red}{\begin{pmatrix}1,4\\-1,7\end{pmatrix}}
xP=3,2+1,4=1,8x_{P'}=-3,2+1,4=-1,8
yP=2,4+(1,7)=0,7y_{P'}=2,4+(-1,7)=0,7
P(1,80,7)\rightarrow \color{orange}{P'(-1,8|0,7)}

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

%%\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}-3,2\\2,4\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}1,4\\-1,7\end{pmatrix}}%%
%%=\begin{pmatrix}-3,2\\2,4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1,4\\-1,7\end{pmatrix}%%
=(1,80,7)=\begin{pmatrix}-1,8\\0,7\end{pmatrix}
P=(1,80,7)\rightarrow \color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}=\color{orange}{\begin{pmatrix}-1,8\\0,7\end{pmatrix}}

Um welchen Vektor %%\overset\rightharpoonup v%% wurde %%P%% auf %%P'%% verschoben?

%%P(2|3)%%, %%P'(3|-2)%%

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

%%\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}%%

%%\color{orange}{\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}}=\color{purple}{\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}}+ \color{red}{\begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}}%%

Parallelverschiebung

Löse nach %%v_x%% auf:

%%3=2+v_x \,\, \Longleftrightarrow \,v_x=3-2=1%%

Löse nach %%v_y%% auf:

%%-2=3+v_y \, \Longleftrightarrow\, v_y=-2-3=-5%%

%%\rightarrow \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}= \color{red}{\begin{pmatrix} 1\\ -5 \end{pmatrix}}%%

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

%%\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}= \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0 &1 \end{pmatrix}\cdot \color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+ \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}%%

%%\color{orange}{\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \color{purple}{\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}}+ \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}%%

%%\overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 1\\ -5 \end{pmatrix}%%

%%\rightarrow \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}= \color{red}{\begin{pmatrix} 1\\ -5 \end{pmatrix}}%%

%%P(9|0,3)%%, %%P'(5|0,7)%%

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

%%\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}= \color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+ \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}%%

%%\color{orange}{\begin{pmatrix} 5\\ 0,7 \end{pmatrix}}= \color{purple}{\begin{pmatrix} 9\\ 0,3 \end{pmatrix}}+ \color{red}{\begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}}%%

Parallelverschiebung

%%v_x=5-9=-4%%

%%0,7=0,3+v_y%%

%%v_y=0,7-0,3=0,4%%

%%\rightarrow \overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} -4\\ 0,4 \end{pmatrix}%%

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

%%\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+ \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}%%

%%\color{orange}{\begin{pmatrix} 5\\ 0,7 \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \color{purple}{\begin{pmatrix} 9\\ 0,3 \end{pmatrix}}+ \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}%%

%%\overset\rightharpoonup{v}= \begin{pmatrix} 5\\ 0,7 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 9\\ 0,3 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 5\\ 0,7 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 9\\ 0,3 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} -4\\ 0,4 \end{pmatrix}%%

%%\rightarrow \overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} -4\\ 0,4 \end{pmatrix}%%

Welcher Punkt %%P%% wurde um den Vektor %%\vec v%% auf %%P'%% verschoben?

%%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} -2 \\ -3,1 \end{pmatrix}%%, %%P'(2,7|1,6)%%

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

%%\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}= \color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+ \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}%%

%%\color{orange}{\begin{pmatrix} 2,7\\ 1,6 \end{pmatrix}}= \color{purple}{\begin{pmatrix} x_P\\ y_P \end{pmatrix}}+ \color{red}{\begin{pmatrix} -2\\ -3,1 \end{pmatrix}}%%

Parallelverschiebung

%%2,7=x_P+(-2)%%

%%x_P=2,7-(-2)=4,7%%

%%1,6=y_P+(-3,1)%%

%%y_P=1,6-(-3,1)=4,7%%

%%\color{purple}{\rightarrow P(4,7|4,7})%%

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

%%\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+ \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}%%

%%\color{orange}{\begin{pmatrix} 2,7\\ 1,6 \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \color{purple}{\begin{pmatrix} x_P\\ y_P \end{pmatrix}}+ \color{red}{\begin{pmatrix} -2\\ -3,1 \end{pmatrix}}%%

%%\begin{pmatrix} 2,7\\ 1,6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_P\\ y_P \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -2\\ -3,1 \end{pmatrix}%%

%%\overset\rightharpoonup P=\begin{pmatrix} x_P\\ y_P \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2,7\\ 1,6 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -2\\ -3,1 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 4,7\\ 4,7 \end{pmatrix}%%

%%\rightarrow \color{purple}{\overset\rightharpoonup P}= \color{purple}{\begin{pmatrix} 4,7\\ 4,7 \end{pmatrix}}%%

%%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2,1 \\ 2,3 \end{pmatrix}%%, %%P'(5,2|-0,7)%%

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

%%\color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}= \color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+ \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}%%

%%\color{orange}{\begin{pmatrix} 5,2\\ -0,7 \end{pmatrix}}= \color{purple}{\begin{pmatrix} x_P\\ y_P \end{pmatrix}}+ \color{red}{\begin{pmatrix} 2,1\\ 2,3 \end{pmatrix}}%%

Parallelverschiebung

%%5,2=x_P+2,1%%

%%x_P= 5,2-2,1=3,1%%

%%-0,7=y_P+2,3%%

%%y_P=-0,7-2,3=-3%%

%%\rightarrow \color{purple}{P(3,1|-3)}%%

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

%%\color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+ \color{red}{\overset\rightharpoonup v}%%

%%\color{orange}{\begin{pmatrix} 5,2\\ -0,7 \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \color{purple}{\begin{pmatrix} x_P\\ y_P \end{pmatrix}}+ \color{red}{\begin{pmatrix} 2,1\\ 2,3 \end{pmatrix}}%%

%%\begin{pmatrix} 5,2\\ -0,7 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_P\\ y_P \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2,1\\ 2,3 \end{pmatrix}%%

%%\overset\rightharpoonup P= \begin{pmatrix} x_P\\ y_P \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5,2\\ -0,7 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2,1\\ 2,3 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 3,1\\ -3 \end{pmatrix}%%

%%\rightarrow \color{purple}{ P(3,1|-3)} %%

Verschiebe die Gerade %%g%% um den Vektor %%\overset\rightarrow v%%.

%%g=2\cdot x%%, %%\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%g:y=2\cdot x,\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

Setze die Geradengleichung in die Matrixform ein.

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x\\ 2\cdot x \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x+1\\ 2\cdot x \end{pmatrix}%%

Nun erhälst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von %%x%%.

%%x'=x+1%%

%%y'=2\cdot x%%

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein.

%%x=x'-1%%

%%y'=2\cdot(x'-1)%%

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von %%x′%%.

%%y'=2\cdot x'-2%%

Alternativlösung

%%g:y=2\cdot x%%

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt.

Parallelverschiebung

%%A(0|0)%% und %%B(1|2)%%

Verschiebe die Punkte %%A%% und %%B%% um den Vektor %%\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

%%\overset\rightharpoonup {A′}=\overset\rightharpoonup A+\overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%\overset\rightharpoonup {B′}=\overset\rightharpoonup B+\overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

Addiere den Vektor %%\overset\rightharpoonup v%% zu den Ortsvektoren %%\overset\rightharpoonup A%% und %%\overset\rightharpoonup B%%

%%x_{A'}=0+1=1%%

%%y_{A'}=0+0=0%%

%%\rightarrow A'(1|0)%%

%%x_{B'}=1+1=2%%

%%y_{B'}=2+0=2%%

%%\rightarrow B'(2|2)%%

Setze die Koordinaten der Punkte ein.

2. Variante: Berechnung in Matrixform

%%\overset\rightharpoonup {A'}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \overset\rightharpoonup{A}+ \overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%\rightarrow A'(1|0)%%

%%\overset\rightharpoonup {B'}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \overset\rightharpoonup{B}+ \overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 2\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%\rightarrow B'(2|2)%%

%%A'(1|0)%% und %%B'(2|2)%%

Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.

%%m=\frac{0-2}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2%%

Setze %%m%% und den Punkt %%B'%% in die Geradengleichung ein, um %%t%% zu bestimmen.

%%\begin{eqnarray} y&=m\cdot x&+t\\ 2&=2\cdot 2&+t \end{eqnarray}%%

%%t=2-2\cdot 2=2-4=-2%%

Stelle die Geradengleichung auf.

%%y=2\cdot x-2%%

Parallelverschiebung

%%g=3\cdot x +\frac12%%, %%\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%g:y=3\cdot x+\frac12%%, %%\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

Setze die Geradengleichung in die Matrixform ein.

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x\\ 3\cdot x+\frac12 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x+4\\ 3\cdot x+\frac52 \end{pmatrix}%%

Nun erhälst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von x.

%%x'=x+4%%

%%y'=3\cdot x+\frac52%%

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein.

%%x=x'-4%%

%%y'=3\cdot (x'-4) +\frac52%%

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von %%x'%%

%%y'=3\cdot x' -\frac{19}{2}%%

Alternativlösung:

%%g:y=3\cdot x+\frac12%%

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt. In diesem Fall betrachtest du den y-Abschnitt und gehst dann %%3%% nach unten und %%1%% nach links, sodass du bei %%B%% landest.

Parallelverschiebung

%%A\left(0|\frac12\right)%% und %%B\left(-1|-\frac52\right)%%

Verschiebe die Punkte %%A%% und %%B%% um den Vektor %%\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

%%\overset\rightharpoonup {A′}=\overset\rightharpoonup A+\overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 0\\ \frac12 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%\overset\rightharpoonup {B′}=\overset\rightharpoonup B+\overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} -1\\ -\frac52 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

Addiere den Vektor %%\overset\rightharpoonup v%% zu den Ortsvektoren %%\overset\rightharpoonup A%% und %%\overset\rightharpoonup B%%

%%x_{A'}=0+4=4%%

%%y_{A'}=\frac12+2=\frac52%%

%%\rightarrow A'\left(4|\frac52\right)%%

%%x_{B'}=-1+4=3%%

%%y_{B'}=-\frac52+2=-\frac12%%

%%\rightarrow B'\left(3|-\frac12\right)%%

Setze die Koordinaten der Punkte ein.

2. Variante: Berechnung in Matrixform

%%\overset\rightharpoonup {A'}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \overset\rightharpoonup{A}+ \overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\ \frac12 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 0\\ \frac12 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 4\\ \frac52 \end{pmatrix}%%

%%\rightarrow A'\left(4|\frac52\right)%%

%%\overset\rightharpoonup {B'}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \overset\rightharpoonup{B}+ \overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1\\ -\frac52 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} -1\\ -\frac52 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix} 3\\ -\frac12 \end{pmatrix}%%

%%\rightarrow B'\left(3|-\frac12\right)%%

%%A'\left(4|\frac52\right)%% und %%B'\left(3|-\frac12\right)%%

Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.

%%m=\frac{\frac52-\left(-\frac12\right)}{4-3}=\frac{3}{1}=3%%

Setze %%m%% und den Punkt %%B'%% in die Geradengleichung ein, um %%t%% zu bestimmen.

%%\begin{eqnarray} y&=&m &\cdot& x&+t\\ -\frac12&=&3&\cdot& 3&+t \end{eqnarray}%%

%%t=-\frac12-3\cdot 3=-\frac12-9=-\frac{19}{2}%%

Stelle die Geradengleichung auf.

%%y=3\cdot x-\frac{19}{2}%%

Parallelverschiebung

Verschiebe die Funktion %%f(x)%% um den Vektor %%\overset\rightharpoonup v%%.

%%f(x)=x^2%%, %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}%%

Um bei einer Funktion %%f(x)%% eine Parallelverschiebung um den Vektor %%\overset \rightharpoonup v%% durchzuführen, setzt du %%y=f(x)=x^2%%.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + v_x\\ y' &=& y + v_y \end{eqnarray} %%

Setze %%y=x^2%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + v_x\\ y' &=& x^2 + v_y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Vektors %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + 2\\ y' &=& x^2 + 1 \end{eqnarray} %%

%% \begin{eqnarray} x &=& x'-2\\ y' &=& x^2+1 \end{eqnarray} %%

Ersetze %%x = x' -2%% in der Gleichung für %%y'%%.

%%\Rightarrow y' = (x'-2)^2 + 1%%
%%\Leftrightarrow y' = (x'^2 - 4\cdot x' + 4) + 1%%
%%\Leftrightarrow y' = x'^2 - 4\cdot x' + 5%%

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

Setze %%y=x^2%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ x^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_Y \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ x^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Vektors %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ x^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}%%

%%\Rightarrow x' = x+2 \Leftrightarrow x = x' -2%%
%%\Rightarrow y' = x^2+1%%

Ersetze %%x= x'-2%% in der Gleichung für %%y'%%.

%%\Rightarrow y' = (x'-2)^2 + 1%%
%%\Leftrightarrow y' = (x'^2 - 4\cdot x' + 4) + 1%%
%%\Leftrightarrow y' = x'^2 - 4\cdot x' + 5%%

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Parabel

%%f(x)=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x - 2%%, %%\overset \rightharpoonup v = \begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix}%%

Um bei einer Funtion %%f(x)%% eine Parallelverschiebung um einen Vektor %%\overset \rightharpoonup v%% zu durchzuführen, setzt du %%y=f(x)=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2%%.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + v_x\\ y' &=& y + v_y \end{eqnarray} %%

Setze %%y=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + v_x\\ y' &=& 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 + v_y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Vektors %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} -2\\2\end{pmatrix}%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& x - 2\\ y' &=& 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 + 2 \end{eqnarray} %%

%% \begin{eqnarray} x &=& x'+2\\ y' &=& 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x \end{eqnarray} %%

Setze die Gleichung für %%x%% in die Gleichung für %%y'%% ein.

%% \Rightarrow y' = 2\cdot (x'+2)^3 + 4\cdot (x'+2)^2 + (x+2) %%
%% \Leftrightarrow y' = 2\cdot(x'^3 + 6\cdot x'^2 + 12\cdot x' + 8) + 4\cdot (x'^2 + 4\cdot x' + 4) + x' +2 %% %% \Leftrightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 12\cdot x'^2 + 24\cdot x' + 16 + 4\cdot x'^2 + 16\cdot x' + 16 + x' + 2 %%
%% \Leftrightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 16\cdot x'^2 + 41\cdot x' + 34 %%

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

Setze %%y=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\ 2 \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Vektors %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} -2\\2\end{pmatrix}%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\ 2 \end{pmatrix} %%

%% \Rightarrow x'=x-2\Leftrightarrow x=x'+2 %%
%% \Rightarrow y'= 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 + 2 %%

Setze dies in die Gleichung für %%y'%% ein.

%% \Rightarrow y' = 2\cdot (x'+2)^3 + 4\cdot(x'+2)^2 + (x'+2) %%
%% \Rightarrow y' = 2\cdot(x'^3 + 6\cdot x'^2 + 12\cdot x' + 8) + 4\cdot (x'^2 + 4\cdot x' + 4) + x' +2 %%
%% \Rightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 12\cdot x'^2 + 24\cdot x' + 16 + 4\cdot x'^2 + 16\cdot x' + 16 + x' + 2 %%
%% \Rightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 16\cdot x'^2 + 41\cdot x' + 34 %%

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Bild Funktion

%%f(x)=\log(4\cdot x)%%, %%\overset \rightharpoonup v = \begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix}%%

Um bei einer Funktion %%f(x)%% eine Parallelverschiebung um den Vektor %%\overset\rightharpoonup v%% durchzuführen, setzt du %%y=f(x)=\log(4\cdot x)%%.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + v_x\\ y' &=& y + v_y \end{eqnarray} %%

Setze %%y=\log(4\cdot x)%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + v_x\\ y' &=& \log(4\cdot x) + v_y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Vektors %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + 1\\ y' &=& \log(4\cdot x) + 3 \end{eqnarray} %%

%% \begin{eqnarray} x &=& x' - 1\\ y' &=& \log(4\cdot x) + 3 \end{eqnarray} %%

Ersetze %%x = x' -1%% in der Gleichung für %%y'%%.

%%\Rightarrow y' = \log(4\cdot (x'-1)) + 3%%
%%\Leftrightarrow y' = \log(x'-1) + \log(4) + 3%%

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

Setze %%y=\log(4\cdot x)%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ \log(4\cdot x) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ \log(4\cdot x) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Vektors %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ \log(4\cdot x) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix} %%
%% \Rightarrow x'=x+1 \Leftrightarrow x=x'-1 %%
%% \Rightarrow y'=\log(4\cdot x) + 3 %%

Ersetze %%x= x'-1%% in der Gleichung für %%y'%%.

%% \Rightarrow y' = \log(4\cdot (x'-1)) + 3%%
%%\Leftrightarrow y' = \log(x'-1) + \log(4) + 3%%

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Bild Ln

%%f(x)=2^{3\cdot x}%%, %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix}2 \\ -4 \end{pmatrix}%%

Um bei einer Funktion %%f(x)%% eine Parallelverschiebung um den Vektor %%\overset \rightharpoonup v%% durchzuführen, setzt du %%y=f(x)=2^{3\cdot x}%%.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + v_x\\ y' &=& y + v_y \end{eqnarray} %%

Setze %%y=2^{3\cdot x}%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + v_x\\ y' &=& 2^{3\cdot x} + v_y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Vektors %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\-4\end{pmatrix}%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& x + 2\\ y' &=& 2^{3\cdot x} - 4 \end{eqnarray} %%

%% \begin{eqnarray} x &=& x' - 2\\ y' &=& 2^{3\cdot x} - 4 \end{eqnarray} %%

Ersetze %%x = x' -2%% in der Gleichung für %%y'%%.

%%\Rightarrow y' = 2^{3\cdot (x' -2)}-4%%
%%\Leftrightarrow y' = 8^{x' - 2}-4%%
Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

Setze %%y=2^{3\cdot x}%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ 2^{3\cdot x} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ 2^{3\cdot x} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Vektors %%\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\-4\end{pmatrix}%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ 2^{3\cdot x} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\ -4 \end{pmatrix} %%
%% \Rightarrow x' = x+2 \Leftrightarrow x = x' -2 %%
%% \Rightarrow y' = 2^{3\cdot x} -4 %%

Ersetze %%x= x'-2%% in der Gleichung für %%y'%%.

%%\Rightarrow y' = 2^{3\cdot (x' -2)}-4%%
%%\Leftrightarrow y' = 8^{x' - 2}-4%%
Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Bild Exp

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