Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Objekten, wie zum Beispiel Zahlen. Mithilfe von Matrizen können z.Bsp. lineare Gleichungssysteme visualisiert und gelöst werden.

Aufbau

Matrix

Eine Matrix der linksstehenden Form hat %%m%% Zeilen und %%n%% Spalten und daher %%m\cdot n%% Elemente.

Aufstellen einer Matrix

Eine Matrix ist eine Anordnung von Vektoren in Zeilen oder Spalten.

Beispiel

Bei einer Familie gibt es zum Essen Fleischbällchen und Karotten. In einen Vektor schreibt man dies indem man oben die Anzahl an Fleischbällchen für die Person schreibt und unten die nötigen Karotten.

Die Erwachsenen essen %%\color{brown}{7}%% Fleischbällchen und %%\color{orange}{3}%% Karotten: %%\begin{pmatrix} \color{brown}{ 7} \\ \color{orange}{3} \end{pmatrix}%%

Die Kinder essen %%\color{brown}{6}%% Fleischbällchen und %%\color{orange}{4}%% Karotten: %%\begin{pmatrix} \color{brown}{6} \\\color{orange}{ 4} \end{pmatrix}%%

Daraus ergibt sich die Matrix %%A=\begin{pmatrix} \color{brown}{7} & \color{brown}{6} \\ \color{orange}{3} & \color{orange}{4} \end{pmatrix}%%. Dabei wurde der Vektor für die Erwachsenen in die ersten und der Vektor für die Kinder in die zweiten Spalte geschrieben.

Matrix-Vektor-Multiplikation

Eine %%2 \times 2%%-Matrix %%A%% kann man wie folgt mit einem Spaltenvektor %%x%% multiplizieren:

%%A \cdot x=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2 \\a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2 \end{pmatrix}%%

Beispiel

Man betrachtet weiter das Beispiel des Familie beim Essen von oben: Die Familie besteht aus %%\color{blue}{2}%% Erwachsenen und %%\color{green}{5}%% Kindern. Diese kann man auch als Vektor darstellen: %%x=\begin{pmatrix} \color{blue}{2} \\ \color{green}{5} \end{pmatrix}%%.


Um zu berechnen, wieviele Fleischbällchen, bzw. Karotten die Familie benötigt kann man die Matrix %%A%% von oben mit dem Vektor %%x%% multiplizieren.

Man erhält also %%A \cdot x=\begin{pmatrix} \color{brown}{7} & \color{brown}{6} \\ \color{orange}{3} & \color{orange}{4} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{blue}{2} \\ \color{green}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{brown}{7} \cdot \color{blue}{2} + \color{brown}{6} \cdot \color{green}{5} \\\color{orange}{3} \cdot \color{blue}{2} + \color{orange}{4} \cdot \color{green}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{brown}{44} \\ \color{orange}{26} \end{pmatrix}%%.

Man benötigt daher %%\color{brown}{44}%% Fleischbällchen und %%\color{orange}{26}%% Karotten um die Familie zu sättigen.

Allgemein multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor auf diese Weise.

Vorgehensweise am Aplett

Aufgaben

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