Aufgaben
Gegeben sind die fünf Mengen: A={3,5,7,12,14,17,19,23},B={3,5,17},C={12,14,17,24},D={5,7,19},E={7,12,19}A= \{3,5,7,12,14,17,19,23\},\\B=\{3,5,17\},\\C=\{12,14,17,24\},\\D=\{5,7,19\},\\E=\{7,12,19\}.
Beurteile die folgenden Aussagen: a)BAB \subset A b) CAC \subseteq A c) EAE \subset A d) BCB \subset C e)ECE \subset C

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilmengen

Teilaufgabe a)

Diese Aussage ist wahr, da alle Elemente von B auch in A enthalten sind.

Teilaufgabe b )

Diese Aussage ist falsch, da C die Zahl 24 enthält, die Menge A enthält diese aber nicht. Außerdem sind die beiden Mengen nicht gleichmächtig, deswegen ist eine unechte Teilmenge auch nicht möglich.

Teilaufgabe c)

Diese Aussage ist wahr, da alle Elemente von E auch in A enthalten sind.

Teilaufgabe d)

Diese Aussage ist falsch, da B und C nur die 17 als gemeinsames Element haben.

Teilaufgabe e)

Diese Aussage ist falsch, da die beiden Mengen nur die Zahl 12 als gemeinsames Element haben.
Gegeben sind die Mengen:
A={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}A=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}
B={x    mit  xPrimzahlen}B=\{x\;\vert\;\mathrm{mit}\;x\in\mathrm{Primzahlen}\}
C={x    mit  xZahlen,  die  durch  3  teilbar  sind}C=\{x\;\vert\;\mathrm{mit}\;x\in\mathrm{Zahlen},\;\mathrm{die}\;\mathrm{durch}\;3\;\mathrm{teilbar}\;\mathrm{sind}\}
D={2k    mit  kN}D=\{2\cdot k\;\vert\;\mathrm{mit}\;k\in\mathbb{N}\}
E={"1";"2";"3"}E=\{"1";"2";"3"\}
F={1;3;5;;99}F=\{1;3;5;…;99\}
G={2;5;67;23;87;12;35;3;54;12;6}G=\{2;5;67;23;87;12;35;3;54;12;6\}
H={"1";2;10k    mit  kZ}H=\{"1";2;10\cdot k\;\vert\;\mathrm{mit}\;k\in\mathbb{Z}\}
I={6k    mit  k={1;2;3;4;5;6;7}}I=\{6\cdot k\;\vert\;\mathrm{mit}\;k=\{1;2;3;4;5;6;7\}\}
Bestimme die Mächtigkeit folgender Mengen.
AB  ;    BC  ;  CD  ;  DFA\cap B\;;\;\;B\cap C\;;\;C\cap D\;;\;D\cap F

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mächtigkeit

AB={2;3;5;7}=4\left|A\cap B\right|=\left|\{2;3;5;7\}\right|=4
11 ist keine Primzahl.
BC={3}=1\left|B\cap C\right|=\left| \{3 \} \right|=1
Die 33 ist gleichzeitig eine Primzahl und durch 33 teilbar. Alle anderen Zahlen, die durch 33 teilbar sind, können keine Primzahlen mehr sein, da diese nicht teilbar sind.
CD={|C\cap D|=|\{Zahlen, die durch 66 teilbar sind}=\}|=\infty
CC enthält alle Zahlen, die durch 33 teilbar sind und DD alle positiven Zahlen, die gerade, also durch 22 teilbar sind.
Die Schnittmenge enthält also alle Zahlen, die durch 22 und 33, also 66 teilbar sind.
Davon gibt es unendlich viele.
DF==0\left|D\cap F\right|=\left|\varnothing\right|=0
DD enthält alle positiven geraden Zahlen, FF alle ungeraden Zahlen bis 100100.
Die Schnittmenge ist leer.
AF  ;  A×F  ;  CF  ;  BFA\cup F\;;\;A\times F\;;\;C\cap F\;;\;B\cap F

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mächtigkeit

AF=A+FAF\left|A\cup F\right|=\left|A\right|+\left|F\right|-\left|A\cap F\right|=10+505=55=10+50-5=55
Bestimmt man die Mächtigkeit einer Vereinigung, so werden die Elemente in der Schnittmenge mehrmals gezählt. Man muss die Mächtigkeit der Schnittmenge(n) deshalb noch subtrahieren.
A×F=AF=1050=500\left|A\times F\right|=\left|A\right|\cdot\left|F\right|=10\cdot50=500
Die Anzahl aller Tupel (x,y)  mit  xA  und  yF\left(\mathrm x,\mathrm y\right)\;\mathrm{mit}\;\mathrm x\in\mathrm A\;\mathrm{und}\;\mathrm y\in\mathrm F.
CF={3;9;15;21;;99}=17\left|C\cap F\right|=\left|\left\{3;9;15;21;…;99\right\}\right|=17
Gesucht ist die Anzahl der ungeraden Vielfachen von 33 im Bereich 33 bis 9999.
3 hat dort 99:3=3399:3=33 Vielfache. Jeder zweite ist gerade. Da mit 33 und 9999 die beiden Äußeren ungerade sind, ist die Lösung die aufgerundete Hälfte von 332\frac{33}2, also 1717.
BF=={3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97}=24\begin{array}{l}\left|\mathrm B\cap\mathrm F\right|=\\=\left|\left\{3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97\right\}\right|\\=24\end{array}
Hier hilft nur zählen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mächtigkeit

AG={2;5;3;6}=4\left|A\cap G\right|=\left|\left\{2;5;3;6\right\}\right|=4
AG=A+GAG=10+104=16\left|A\cup G\right|=\left|A\right|+\left|G\right|-\left|A\cap G\right|=10+10-4=16
GG enthält ein Element doppelt, deswegen hat GG nur Mächtigkeit 1010.
AG=AAG\left|A\setminus G\right|=\left|A\right|-\left|A\cap G\right|=104=6=10-4=6
GA=GAG\left|G\setminus A\right|=\left|G\right|-\left|A\cap G\right|=104=6=10-4=6
Man kann erkennen, dass AG=AG+GA+AG\left|A\cup G\right|=\left|A\setminus G\right|+\left|G\setminus A\right|+\left| A\cap G\right| gilt, was logisch klingt, denn wenn man zuerst alle Elemente zählt, die nur in AA vorkommen, dann alle, die nur in GG vorkommen und dann noch alle Elemente zählt, die in beiden Mengen vorkommen erhält man alle Elemente.
AH  ;  EH  ;  AE  ;  (AE)HA\cap H\;;\;E\cap H\;;\;A\cap E\;;\;\left(A\cup E\right)\cap H

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mächtigkeit

AH={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}\left|A\cap H\right|=|\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}{"1";2;10k  mit  kZ}\cap\left\{"1";2;10\cdot k\;\text{mit}\;k\in\mathbb{Z}\right\}|={2;10}=2=\left|\left\{2;10\right\}\right|=2
Das Element "1""1" ist nicht gleich mit dem Element 11, weswegen keines der beiden in beiden Mengen enthalten ist.
Für k=1k=1 liegt 1010 in HH und deswegen auch in der Schnittmenge.
EH={"1"}=1\left|E\cap H\right|=\left|\left\{"1"\right\}\right|=1
Nur das Element "1""1" liegt in beiden Mengen. Deshalb enthält der Schnitt nur ein Element.
AE=0\left|A\cap E\right|=0
AA enthält Zahlen, EE nur die Elemente "1""1", "2""2", "3""3", die keine Zahlen sind. Die Schnittmenge ist leer.
(AE)H=(AH)(EH)=AH+EH=3\left|\left(A\cup E\right)\cap H\right|=\left|\left(A\cap H\right)\cup\left(E\cap H\right)\right|=\left|A\cap H\right|+\left|E\cap H\right|=3
Der Schnitt von AA und EE ist leer, deswegen kann man die Mächtigkeit der Vereinigung auseinanderziehen.
Die beiden einzelnen Werte wurden schon bestimmt.
AI  ;  CI  ;  GI  ;  AFG  ;  HIA\cup I\;;\;C\cap I\;;\;G\cap I\;;\;A\cup F\cup G\;;\;H\cap I

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mächtigkeit

AI={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;12;18;24;30;36;42}=16\left|A\cup I\right|=\left|\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;12;18;24;30;36;42\right\}\right|=16
Alle Elemente aus AA und die restlichen aus II.
CI=I=7\left|C\cap I\right|=\left|I\right|=7
Alle Elemente von II sind in CC enthalten, also ist die Schnittmenge wieder II.
GI={6;12}=2\left|G\cap I\right|=\left|\left\{6;12\right\}\right|=2
5454 ist zwar auch durch 66 teilbar, aber nicht in II enthalten.
AFG\left|A\cup F\cup G\right|=A+F+GAFAGFG+AFG=\left|A\right|+\left|F\right|+\left|G\right|-\left|A\cap F\right|-\left|A\cap G\right|-\left|F\cap G\right|+\left|A\cap F\cap G\right|=10+50+10546+2=57=10+50+10-5-4-6+2=57
Zuerst addiert man die Anzahl der Elemente der einzelnen Mengen.
Dann subtrahiert man alle Elemente, die man mehrmals gezählt hat, also die Elemente in den Schnittmengen zweier Mengen.
Dann addiert man wieder die Elemente, die man zu oft subtrahiert hat. Die Elemente in der Schnittmenge aller Mengen wurden nämlich bisher 33 mal addiert (AA, FF, GG) und 33 mal subtrahiert (AF  ,  AG  ,  FGA\cap F\;,\;A\cap G\;,\;F\cap G)
HI={30}=1\left|H\cap I\right|=\left|\left\{30\right\}\right|=1
In II sind Vielfache von 66 enthalten, und zwar 161\cdot6, 262\cdot6, …, 767\cdot6. Die Menge kann also auch als I={6;12;18;24;30;36;42}I=\{6;12;18;24;30;36;42\} geschrieben werden.
"1""1" und 22 liegen nicht in II. Dass ein Vielfaches von 6 gleich einem Vielfachen von 10 ist, gilt in II nur bei 3030. Somit haben HH und II nur das gemeinsame Element 3030.
Gegeben sind die Mengen
A={1;2;3;4;5}\text A=\{1;2;3;4;5\}
B=[2;5]\text B=[2;5]
C={3;5;7;9}\text C=\{3;5;7;9\}
D={x2x5}\text D=\{x|2\leq x\leq5\}
Bestimme AB\text A\cap\text B.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge

AB\text A\cap\text B
Bestimme alle Elemente die sowohl in A als auch in B vorkommen.
{1;2;3;4;5}[2;5]\{1;2;3;4;5\}\cap[2;5]
Die Zahlen 2, 3, 4 und 5 kommen in A und B vor.
AB={2;3;4;5}\Rightarrow\text A\cap\text B=\{2;3;4;5\}
Bestimme AC\text A\cup\text C.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereingungsmenge

AC\text A\cup\text C
Alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, sind auch in der Vereinigungsmenge enthalten.
AC={1;2;3;4;5;7;9}\Rightarrow\text A\cup\text C=\{1;2;3;4;5;7;9\}
Ist BD\text B\subset\text D ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilmengen

Alle Elemente in B sind größer gleich 2 und kleiner gleich 5. Also ist jedes Element aus B in D enthalten und somit BDB \subset D.
\Rightarrow Die Aussage ist wahr.
Da jedes Element, dass in D enthalten ist, auch ein Element von B ist, gilt sogarDBD \subset B, und damit B=DB=D.
Das sieht man am Besten, wenn man die Elemente der Menge B und D aufzählt:
B=[2,5]={2,3,4,5}B=[2,5]=\{2,3,4,5\} und D={x2x5}={2,3,4,5}D=\{x|2 \leq x \leq 5\}=\{2,3,4,5\}.
Man kann das geschlossene Intervall
[2,5][2,5] auch schreiben als {x2x5}\{x|2 \leq x \leq 5\}.
Ist BA\text B\subset\text A?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilmengen

Prüfe ob alle Elemente in B auch in A enthalten sind.
Das ist nicht der Fall, denn in B ist zum Beispiel die Zahl 2,5 enthalten, die nicht in A enthalten ist.
\Rightarrow Die aussage ist falsch. B⊄A\text B\not\subset\text A
Berechne alle möglichen Partitionen der Menge A={4,5,8}A=\{4,5,8\}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partition einer Menge

Die Menge A hat 5 verschiedene Partitionen:
  • A1={{4},{5},{8}}A_1= \{ \{4\},\{5\},\{8\}\}
  • A2={{4},{5,8}}A_2=\{ \{4\},\{5,8\}\}
  • A3={{4,5},{8}}A_3= \{\{4,5\},\{8\}\}
  • A4={{4,8},{5}}A_4 = \{ \{4,8\},\{5\}\}
  • A5={{4,5,8}}A_5 = \{ \{4,5,8\}\}

Entscheide ob die folgende Menge eine Partition der Menge A={7,10,40,67}A=\{7,10,40,67 \} ist!
a) {{7,10},{40,67}}\{\{7,10\},\{40,67\}\}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partition einer Menge

Die Menge {{7,10},{40,67}}\{\{7,10\},\{40,67\}\} ist eine Partition der ursprünglichen Menge, da jedes Element dieser Menge in der Partition einmal enthalten ist und in jeder Teilmenge der Partition auch nur einmal vorkommt.
b) {{7,10,40},{40,67}}\{ \{7,10,40 \} ,\{ 40,67 \} \}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partition einer Menge

Die Menge {{7,10,40},{40,67}}\{ \{7,10,40 \} ,\{ 40,67 \} \} ist keine Partition der ursprünglichen Menge, da die die 40 in zwei Teilmengen der gegebenen Menge enthalten ist und das bei einer Partition nicht erlaubt ist.
c){{7},{10},{40},{67}}\{ \{7 \},\{10\},\{40\},\{67\}\}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partition einer Menge

Die Menge {{7},{10},{40},{67}}\{ \{7 \},\{10\},\{40\},\{67\}\} ist eine Partition der ursprünglichen Menge, da jedes Element genau in einer Menge enthalten ist und jedes Element in der Partition vorkommt.
Die Menge {{7},{40},{67}}\{ \{7\},\{40\},\{67\}\} ist keine Partition der ursprünglichen Menge, da nicht alle Elemente der ursprünglichen Menge hier enthalten sind.
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