Definition

Das Kartesische Produkt  %%A\;\times\; B%% zweier Mengen %%A%%, %%B%% ist definiert als Menge aller geordneten Paare %%(\mathrm a,\;\mathrm b)\;,\;\mathrm a\in\mathrm A,\;\mathrm b\in\mathrm B%% .

Es wird also jedes Element aus A mit jedem Element aus B kombiniert. 

Formal ist das Kartesische Produkt so definiert:

                 

%%\mathbf A\boldsymbol\times\mathbf B\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\left\{\boldsymbol\;\boldsymbol(\mathbf a\boldsymbol,\mathbf b\boldsymbol)\boldsymbol\;\boldsymbol\;\left|\boldsymbol\;\mathbf a\boldsymbol\in\mathbf A\boldsymbol,\boldsymbol\;\boldsymbol\;\mathbf b\boldsymbol\in\mathbf B\right.\boldsymbol\;\right\}%%

                        

Beispiel

  • Gegeben sind die Mengen %%A=\{2,6\}%% und %%B = \{4,5\}%%
    Das kartesische Produkt der beiden Mengen ist dann:
    %%A \times B = \{ (2,4),(2,5),(6,4),(6,5)\}%%

  • Gegeben sind die Mengen %%C=\{2,3,5\}%% und %%D=\{4,7,9\}%%
    Das kartesische Produkt der beiden Mengen ist dann:
    %%C \times D= \{(2,4),(3,4),(5;4),(2,7),(3,7),(5,7),(5,4),(5,7),(5,9)\}%%

            

Eigenschaften

Zahl der Elemente

Sei %%\left|\mathrm A\right|%% die Anzahl der Elemente in A und %%\left|\mathrm B\right|%% die Anzahl der Elemente in B, dann gilt:

               

%%\left|\mathbf A\boldsymbol\times\mathbf B\right|\boldsymbol=\boldsymbol\;\left|\mathbf A\right|\boldsymbol\cdot\left|\mathbf B\right|%%

Es gilt keine Kommutativität oder Assoziativität.

Leere Menge

Das kartesische Produkt einer Menge mit der leeren Menge ergibt wieder die leere Menge, da aus der leeren Menge kein Objekt ausgewählt werden kann, um dieses mit einem Element aus der Menge A zu kombinieren. Es gilt:

%%A\times B = \emptyset \Leftrightarrow A= \emptyset \vee B = \emptyset%%

Die Umkehrung gilt also genauso: Ist das kartesische Produkt die leere Menge, so muss mindestens eine der beiden Ausgangsmengen die leere Menge gewesen sein.

Hier gibt es Aufgaben zum Üben

Relationen

Seien %%M%% Mengen so ist jede Teilmenge %%R%% von %%M\times M%% eine Relation.

  • Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

  • Eine Relation heißt Ordnungsrelation, falls sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.

  • Eine Relation heißt Funktion, falls zu %%\mathrm{jedem} \;x\in M\; \mathrm{genau \; ein} \;y\in N%% gibt.

Kommentieren Kommentare