Aufgaben
Gib folgende römische Zahlen im Dezimalsystem an.
IX\mathrm{IX}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: römische Zahlen

Das X\mathrm X steht für 1010. Ein I\mathrm I links neben dem X\mathrm X bedeutet 10110-1.

\Rightarrow Die gesuchte Zahl ist 99.
LV\mathrm{LV}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: römische Zahlen

Das L\mathrm L steht für 5050. Ein V\mathrm V rechts neben dem L\mathrm L bedeutet, dass du 55 addierst.

\Rightarrow Die gesuchte Zahl ist 50+5=5550+5=55.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: römische Zahlen

Das M\mathrm M steht für 10001000, wir haben es zweimal. Ein D\mathrm D rechts neben dem M\mathrm M bedeutet, dass du 500500 addierst.Weil X\mathrm X für eine kleinere Zahl steht als L\mathrm L ziehst du hier wieder ab.XL\mathrm {XL} bedeutet, dass du von der 5050 (L\mathrm L) 1010 (X\mathrm X) abziehen musst.

\Rightarrow Die gesuchte Zahl ist also 21000+500+5010=25402\cdot 1000 + 500 + 50 - 10 = 2540
MDIIX\mathrm{MDIIX}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: römische Zahlen

Das M\mathrm M steht für 10001000. Ein D\mathrm D rechts neben dem M\mathrm M bedeutet, dass du 500500 addierst. Weil I\mathrm{I} für eine kleinere Zahl steht als X\mathrm{X} und zweimal vorkommt ziehst du hier wieder ab, alo rechnest 10210-2.

\Rightarrow Die gesuchte Zahl ist also 1000+500+102=15081000+500+10-2 = 1508
Wandle vom Binär- ins Dezimalsystsem um und umgekehrt!
(1101)2(1101)_2 in eine Dezimalzahl

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme

Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form 2n2^n.
Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.
Dabei tauchen nur die Zweierpotenzen in der Summe auf, die in der Binärdarstellung auf 1 stehen.

Hier:
Die hinterste Ziffer ist mit einer 1 besetzt, liefert also 1211=1201\cdot 2^{1-1}=1\cdot2^0. Die vorletzte Ziffer ist mit 0 besetzt, liefert also 0221=00\cdot 2^{2-1}=0. Die dritte Ziffer von hinten ist eine 1, liefert also 1231=1221\cdot 2^{3-1}=1\cdot2^2. Die vorderste Ziffer (4. von hinten) ist ebenfalls eine 1, also 1241=1231\cdot 2^{4-1}=1\cdot2^3.
(1101)2=23+22+21=8+4+1=13(1101)_2=2^3+2^2+2^1=8+ 4+ 1= 13
(1010101)2(1010101)_2 ins Dezimalsystem

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme

Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form 2n2^n.
Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.

Aufsummiert wird die jeweilige Stelle nur, wenn an der Position eine 1 steht.

Hier:
(1010101)2_2: Die 1. Ziffer von rechts ist mit einer 1 besetzt, liefert also 1201\cdot 2^0=1. (1010101)2_2: Die 2. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen 0210\cdot 2^1 keinen Beitrag.
(1010101)2_2: Die 3. Ziffer von rechts ist mit 1 besetzt, liefert also 122=41\cdot2^2=4.
(1010101)2_2: Die 4. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen 0230\cdot2^3 keinen Beitrag.
(1010101)2_2: Die 5. Ziffer von rechts ist mit 1 besetzt, liefert also 124=161\cdot2^4=16.
(1010101)2_2: Die 6. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen 0210\cdot 2^1 keinen Beitrag.
(1010101)2_2: Die 7. Ziffer von rechts ist eine 1, also 126=641\cdot2^6=64.

Insgesamt:(1010101)2=26+24+22+20=64+16+4+1=85(1010101)_2=2^6+2^4+2^2+2^0=64+16+4+1=85
(100)10(100)_{10} ins Binärsystem

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme

Zerlegen in ZweierPotenzen

Unser Ziel ist es, die Zahl 100 als Zweierpotenz darzustellen. Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist.20=12^0=1, 21=22^1=2, 22=42^2=4 23=82^3=8,24=162^4=16, 25=322^5=32, 26=642^6=64, 27=128>1002^7=128>100.
Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also 262^6. Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:
100:26=100:64=1100:2^6=100:64=1 Rest: 3636.
Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:
36:25=36:32=136:2^5=36:32=1 Rest: 44
Wiederhole erneut für diesen Rest:
4:22=4:4=14:2^2=4:4=1 Rest: 00
100=26+25+22\Rightarrow 100= 2^6+2^5+2^2

Umwandlung ins Binärsystem

Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6. und 7. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:
(100)10=(1100100)2(100)_{10}=(1100100)_2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme

Zerlegen in Zweierpotenzen

Unser Ziel ist es, die Zahl 228 als Zweierpotenz darzustellen. Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist.20=12^0=1, 21=22^1=2, 22=42^2=4 23=82^3=8,24=162^4=16, 25=322^5=32, 26=642^6=64, 27=1282^7=128,28=256>2282^8=256>228.
Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also 272^7. Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:
228:27=228:128=1228:2^7=228:128=1 Rest: 100100.
Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:
100:26=1100:2^6=1 Rest: 3636
Wiederhole erneut für den Rest
36:25=36:32=136:2^5=36:32=1 Rest: 44
Wiederhole erneut für diesen Rest:
4:22=4:4=14:2^2=4:4=1 Rest: 00
228=27+26+25+22\Rightarrow 228= 2^7+2^6+2^5+2^2

Umwandlung ins Binärsystem

Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6.,7. und 8. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:
(228)10=(11100100)2(228)_{10}=(11100100)_2
Wie viele Ziffern benötigt man, um die Zahl 324 als Binärzahl darzustellen?
9 Ziffern
3 Ziffern
5 Ziffern
10 Ziffern

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme

Die Anzahl der Ziffern, die für die Darstellung einer Dezimalzahl als Binärzahl benötigt wird, entspricht der größten Zweierpotenz, die noch kleiner ist, als die umzuwandelnde Zahl.
Es gilt 28=256<3242^8=256<324 und 29=512>3242^9=512>324 \Rightarrow Man benötigt 9 Stellen.
Alternativ und einfacher kannst du die Aufgabe auch mit dem Logarithmus zur Basis 2 Lösen.Er liefert dir das Ergebnis der Exponentialgleichung 2x=3242^x=324:
log2(324)8,34log_2(324)\approx 8,34
Da 8 Stellen noch nicht ausreichen, benötigt man also 9 Stellen zur Darstellung.
Wie viele Ziffern benötigt man um 1500 als Binärzahl darzustellen?
11 Ziffern
13 Ziffern
8 Ziffern
7 Ziffern

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme

Die Anzahl der Ziffern, die für die Darstellung einer Dezimalzahl als Binärzahl benötigt wird, entspricht der ersten Zweierpotenz, die größer ist als die umzuwandelnde Zahl.
Es gilt 210=1024<15002^{10}=1024<1500 und 211=2048>15002^{11}=2048>1500 \Rightarrow Man benötigt 11 Stellen.
Alternativ und einfacher kannst du die Aufgabe auch mit dem Logarithmus zur Basis 2 Lösen.Er liefert dir das Ergebnis der Exponentialgleichung 2x=3242^x=324:
log2(1500)10,55log_2(1500)\approx 10,55
Da 10 Stellen noch nicht ausreichen, benötigt man also 11 Stellen zur Darstellung.
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