Aufgaben

Gib folgende römische Zahlen im Dezimalsystem an.

%%\mathrm{MMDXL}%%

Umwandlung von römischen Zahlen

Du weißt nicht mehr, wie das funktioniert?
Sieh im Artikel zu römischen Zahlen nach!

Das %%\mathrm M%% steht für %%1000%%, wir haben es zweimal.
Ein %%\mathrm D%% rechts neben dem %%\mathrm M%% bedeutet, dass du %%500%% addierst. Weil %%\mathrm X%% für eine kleinere Zahl steht als %%\mathrm L%% ziehst du hier wieder ab. %%\mathrm {XL}%% bedeutet, dass du von der %%50%% (%%\mathrm L%%) %%10%% (%%\mathrm X%%) abziehen musst .

%%\Rightarrow%% Die gesuchte Zahl ist also %%2\cdot 1000 + 500 + 50 - 10 = 2540%%

Sophie wurde am 13.06.2008 geboren. Sie möchte ihren Geburtstag gerne in römischen Zahlen und in der Form Tag/Monat/Jahr angeben. Hilf ihr dabei und trage ihren Geburtstag ohne Leerzeichen und getrennt durch "/" in das Feld ein!

Wandle vom Binär- ins Dezimalsystsem um und umgekehrt!

%%(1101)_2%% in eine Dezimalzahl

Von der Binärzahl zur Dezimalzahl

Informationen zur Umwandlung ins Binärsystem findest du im Artikel Zahlensysteme.

Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form %%2^n%%.

Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.
Dabei tauchen nur die Zweierpotenzen in der Summe auf, die in der Binärdarstellung auf 1 stehen.

Hier:
Die hinterste Ziffer ist mit einer 1 besetzt, liefert also %%1\cdot 2^{1-1}=1\cdot2^0%%.
Die vorletzte Ziffer ist mit 0 besetzt, liefert also %%0\cdot 2^{2-1}=0%%.
Die dritte Ziffer von hinten ist eine 1, liefert also %%1\cdot 2^{3-1}=1\cdot2^2%%.
Die vorderste Ziffer (4. von hinten) ist ebenfalls eine 1, also %%1\cdot 2^{4-1}=1\cdot2^3%%.

%%(1101)_2=2^3+2^2+2^1=8+ 4+ 1= 13%%

%%(1010101)_2%% ins Dezimalsystem

Von der Binärzahl zur Dezimalzahl

Informationen zur Umwandlung ins Binärsystem findest du im Artikel Zahlensysteme.

Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form %%2^n%%.

Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.

Aufsummiert wird die jeweilige Stelle nur, wenn an der Position eine 1 steht.

Hier:
Die hinterste Ziffer ist mit einer 1 besetzt, liefert also %%1\cdot 2^0%%.
Die vorletzte Ziffer ist mit 0 besetzt, liefert also wegen %%0\cdot 2^1%% keinen Beitrag.

Die vorderste Ziffer (7. von hinten) ist eine 1, also %%1\cdot 2^6%%.

Insgesamt: %%(1010101)_2= 2^6+2^4+2^2+2^0=64+16+4+1=87%%

%%(100)_{10}%% ins Binärsystem

Dezimalzahl zu Binärzahl

Informationen zur Umwandlung vom Binärsystem und zurück findest du im Artikel Zahlensysteme.

Zerlegen in ZweierPotenzen

Unser Ziel ist es, die Zahl 100 als Zweierpotenz darzustellen.
Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist. %%2^0=1%%, %%2^1=2%%, %%2^2=4%% %%2^3=8%%,%%2^4=16%%, %%2^5=32%%, %%2^6=64%%, %%2^7=128>100%%.

Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also %%2^6%%. Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:

%%100:2^6=100:64=1%% Rest: %%36%%.

Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:

%%36:2^5=36:32=1%% Rest: %%4%%

Wiederhole erneut für diesen Rest:

%%4:2^2=4:4=1%% Rest: %%0%%

%%\Rightarrow 100= 2^6+2^5+2^2%%

Umwandlung ins Binärsystem

Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6. und 7. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:

%%(100)_{10}=(1100100)_2%%

%%(228)_{10}%% in eine Binärzahl

Dezimalzahl zu Binärzahl

Informationen zur Umwandlung vom Binärsystem und zurück findest du im Artikel Zahlensysteme.

Zerlegen in Zweierpotenzen

Unser Ziel ist es, die Zahl 228 als Zweierpotenz darzustellen.
Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist. %%2^0=1%%, %%2^1=2%%, %%2^2=4%% %%2^3=8%%,%%2^4=16%%, %%2^5=32%%, %%2^6=64%%, %%2^7=128%%,%%2^8=256>228%%.

Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also %%2^7%%. Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:

%%228:2^7=228:128=1%% Rest: %%100%%.

Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:

%%100:2^6=1%% Rest: %%36%%

Wiederhole erneut für den Rest

%%36:2^5=36:32=1%% Rest: %%4%%

Wiederhole erneut für diesen Rest:

%%4:2^2=4:4=1%% Rest: %%0%%

%%\Rightarrow 228= 2^7+2^6+2^5+2^2%%

Umwandlung ins Binärsystem

Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6.,7. und 8. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:

%%(228)_{10}=(11100100)_2%%

Wie viele Ziffern benötigt man, um die Zahl 324 als Binärzahl darzustellen?

Leider falsch!

Leider falsch!

Leider falsch!

Richtig!

Größe von Dezimalzahlen

Informationen zur Umwandlung vom Binärsystem und zurück findest du im Artikel Zahlensysteme.

Die Anzahl der Ziffern, die für die Darstellung einer Dezimalzahl als Binärzahl benötigt wird, entspricht der größten Zweierpotenz, die noch kleiner ist, als die umzuwandelnde Zahl.

Es gilt %%2^8=256<324%% und %%2^9=512>324%%
%%\Rightarrow%% Man benötigt 9 Stellen.

Alternativ und einfacher kannst du die Aufgabe auch mit dem Logarithmus zur Basis 2 Lösen. Er liefert dir das Ergebnis der Exponentialgleichung %%2^x=324%%:

%%log_2(324)\approx 8,34%%

Da 8 Stellen noch nicht ausreichen, benötigt man also 9 Stellen zur Darstellung.

Wie viele Ziffern benötigt man um 1500 als Binärzahl darzustellen?

Leider falsch!

Leider falsch!

Leider falsch!

Sehr gut!

Größe von Binärzahlen

Informationen zur Umwandlung vom Binärsystem und zurück findest du im Artikel Zahlensysteme.

Die Anzahl der Ziffern, die für die Darstellung einer Dezimalzahl als Binärzahl benötigt wird, entspricht der ersten Zweierpotenz, die größer ist als die umzuwandelnde Zahl.

Es gilt %%2^{10}=1024<1500%% und %%2^{11}=2048>1500%%
%%\Rightarrow%% Man benötigt 11 Stellen.

Alternativ und einfacher kannst du die Aufgabe auch mit dem Logarithmus zur Basis 2 Lösen. Er liefert dir das Ergebnis der Exponentialgleichung %%2^x=324%%:

%%log_2(1500)\approx 10,55%%

Da 10 Stellen noch nicht ausreichen, benötigt man also 11 Stellen zur Darstellung.

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