Bestimme die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Werfen eines Würfels eine Augensumme von mindestens 8 zu erhalten, unter der Bedingung, dass beim ersten Wurf eine 4 gefallen ist.

%%A%%: Augensumme ist mindestens 8

Das gesuchte Ereignis ohne Bedingung.

%%B%%: Beim ersten Wurf fällt eine 4

Die Bedingung als eigenes Ereignis.

Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit angeben

Gebe die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit an, die hier gesucht ist.

%%\displaystyle P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}%%

Benötigte Wahrscheinlichkeiten herausfinden

Ermittle die benötigten Wahrscheinlichkeiten.

%%P(B)=?%%

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf eine 4 zu bekommen, ist %%\frac16%% .

%%P(B)=\dfrac16%%

%%P(A\cap B)=?%%

Überlege dir zuerst, welche Zahlenkombinationen in der Menge %%A\cap B%% sind.

Das sind alle Zahlenpaare, die zuerst eine 4 haben und mit der zweiten Zahl zusammen mindestens 8 ergeben. Also (4,4), (4,5), (4,6). Das heißt, es gibt 3 Möglichkeiten in %%A\cap B%%.

Insgesamt gibt es 36 Möglichkeiten, wenn man zweimal würfelt; daher steht im Nenner eine 36.

%%P(A\cap B)=\dfrac3{36}%%

Setze die Werte in die Definition ein und berechne das Ergebnis.

$$P(A\left|B)\right.=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\displaystyle\frac3{36}}{\displaystyle\frac16}=\frac3{36}\cdot\frac61=\frac36=\frac12=50\%$$