(Aus dem Leistungskurs-Abitur Bayern 2008/IV)
In einem Molkereibetrieb wird Fruchtjoghurt hergestellt und in Becher abgefüllt. In dem Betrieb werden täglich gleich viele Becher der Sorten Erdbeere, Kirsche, Heidelbeere und Ananas abgefüllt. Bei einer Tagesproduktion, bei der 4 % der Becher einen defekten Deckel aufweisen, fällt auf, dass unter den Erdbeerjoghurtbechern sogar jeder zehnte Deckel fehlerhaft ist.

Bestimmen Sie den Anteil der Becher mit defektem Deckel unter allen Bechern, die keinen Erdbeerjoghurt enthalten.
Klären Sie, ob es durch Absenken des Ausschussanteils allein beim Erdbeerjoghurt gelingen kann, den angestrebten Qualitätsstandard von insgesamt höchstens 1 % Ausschussanteil einzuhalten.

[Bestimme bedingte Wahrscheinlichkeit]()

Definiere Ereignisse

Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.

  • Ereignis %%A%%: In dem Becher ist Erdbeerjoghurt
  • Ereignis %%B%%: Der Becher hat einen defekten Deckel

Definiere Wahrscheinlichkeiten

Gebe aus der Aufgabenstellung jeweils die Wahrscheinlichkeit an, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.

%%P(A) = \frac{1}{4} = 0,25%%
%%P(\overline A) = \frac{3}{4} = 0,75%%

In dem Betrieb werden täglich gleich viele Becher der Sorten Erdbeere, Kirsche, Heidelbeere und Ananas abgefüllt.

%%P(B) = 0,04%%
%%P(\overline B) = 0,96%%

Bei einer Tagesproduktion, bei der 4 % der Becher einen defekten Deckel aufweisen, …

%%P_A(B) = \frac{1}{10} = 0,1%%
%%P_A(\overline B) = \frac{9}{10} = 0,9%%

…, dass unter den Erdbeerjoghurtbechern sogar jeder zehnte Deckel fehlerhaft ist.

Bestimme den Anteil der Becher mit defektem Deckel unter allen Bechern, die keinen Erdbeerjoghurt enthalten

Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit %%P_{\overline A} (B)%%. Zeichne dazu ein Baumdiagramm mit den Ereignissen %%A%%, %%B%%, %%\overline A%% und %%\overline B%%.

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Schreibe die Wahrscheinlichkeit %%P(B)%% als Summe aus %%P_{A}(B)%% und %%P_{\overline A}(B)%%.

%%P(B) = P_{A}(B) + P_{\overline A}(B)%%

Setze für die Wahrscheinlichkeiten die Werte aus dem Baumdiagramm ein.

%%0,04 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{10} + \frac{3}{4} \cdot x%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x = 0,02%%

Ergebnis

Der Anteil der Becher mit defektem Deckel unter allen Bechern, die keinen Erdbeerjoghurt enthalten, ist 2 %.

Kläre, ob es durch Absenken des Ausschussanteils allein beim Erdbeerjoghurt gelingen kann, höchstens 1% Ausschussanteil gesamt zu produzieren

Es soll insgesamt höchstens 1% Ausschussanteil produziert werden. Es soll also gelten %%P(B) \leq 0,01%%. Gebe den bestmöglichen Fall an, der durch Absenken des Ausschussanteils allein beim Erdbeerjoghurt erreicht werden kann.

%%P_A (B) = 0%%

Das bestmögliche Ergebnis für die Erdbeerjoghurtbecher ist , wenn alle Erdbeerjoghurtbecher intakte Deckel haben.

Schreibe die Wahrscheinlichkeit %%P(B)%% wieder als Summe aus %%P_{A}(B)%% und %%P_{\overline A}(B)%%.

%%P(B) = P_{A}(B) + P_{\overline A}(B)%%

Setze die Werte für die Wahrscheinlichkeiten des bestmöglichen Falls mit ausschließlich intakten Erdbeerjoghurtdeckeln ein.

%%P(B) = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0,02 = 0,015%%

Prüfe, ob %%P(B)%% kleiner als 0,01 ist.

%%0,015 > 0,01%%

Ergebnis

Es ist nicht möglich, durch Absenken des Ausschussanteils allein beim Erdbeerjoghurt höchstens 1% Ausschussanteil gesamt zu produzieren.
Selbst beim Absenken des Ausschussanteils bei Erdbeer auf 0 % hätte insgesamt noch 1,5 % der anderen Becher einen defekten Deckel.

Alle Becher mit defektem Deckel dieser Tagesproduktion werden aussortiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein Becher, der zufällig aus den verbleibenden Bechern ausgewählt wird, Erdbeerjoghurt?

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Becher Erdbeerjoghurt enthält (%%A%%), wenn bekannt ist, dass dieser Becher einen intakten Deckel (%%\overline B%%) hat.

Schreibe als erstes die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit auf.

$$P_{\overline B}(A) = \frac{P(A \cap \overline B)}{P(\overline B)}$$

Gebe die Wahrscheinlichkeit %%P(\overline B)%% an.

%%P(\overline B) = 1 - 0,04 = 0,96%%

Gebe die Wahrscheinlichkeit %%P(A \cap \overline B)%% an.

$$P(A \cap \overline B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{10} = 0,225$$

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit.

$$P_{\overline B}(A) = \frac{P(A \cap \overline B)}{P(\overline B)} = \frac{0,225}{0,96} = 0,234375$$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Becher Erdbeerjoghurt enthält (%%A%%), wenn bekannt ist, dass dieser Becher einen intakten Deckel (%%\overline B%%) hat, beträgt 23,44 %.