Aufgaben

Stefans kleiner Bruder spielt mit seinen Bauklötzen. Er hat drei rote, einen grünen und einen blauen Bauklotz. Wie viele verschiedene Türme aus drei Klötzen kann er bauen?
Zeichne ein Baumdiagramm.

sooo

Beachte, dass es nur jeweils einen blauen und grünen Bauklotz gibt!

Es gibt 13 Möglichkeiten, wie Stefans kleiner Bruder einen dreistöckigen Bauklotzturm bauen kann.

Lucia feiert ihren 11. Geburtstag. Sie hat Angelika (A), Boris (B) und Christoph (C) eingeladen. Sie kommen nacheinander. Bestimme anhand eines Baumdiagramms, wie viele und welche Möglichkeiten ihres Eintreffens es gibt.

baum

Als erstes kann jeder kommen, es gibt also 3 mögliche erste Besucher.

Anschließend können nur noch diejenigen, die nicht zuerst da waren, eintreffen, also 2 mögliche zweite Besucher.

Für den zuletzt Eintreffenden gibt es nur noch eine Möglichkeit.

%%\Rightarrow%% Es gibt 6 Möglichkeiten:
{A,B,C}, {A,C,B}, {B,A,C}, {B,C,A}, {C,A,B}, {C,B,A}.

Wie viele gerade zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 0, 1, 2, 3 bilden?

 

Mithilfe des Baumdiagramms  verdeutlichen.

 Baumdiagramm

%%L=\left\{10,12,20,22,30,32\right\}%%

 

%%3\cdot2=6%%

0 wird ausgeschlossen, da 0 an der 1. Stelle keine zweistellige Zahl bilden kann. Somit bleiben noch 3 Zahlen für die 1. Stelle. An 2. Stelle können nur noch 2 der 4 Zahlen stehen, da nur 2 gerade sind. Also hat man noch 3 Ziffern für die 1. Stelle und 2 für die 2. Stelle, das heißt, dass es ingesamt 6 Lösungen gibt.

Es lassen sich insgesamt 6 2-stellige, gerade Zahlen bilden.

Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden, wenn keine Ziffer doppelt vorkommen darf?

Mithilfe des Baumdiagramms verdeutlichen.

 Baumdiagramm 

%%L=\left\{12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43\right\}%%

 

%%4\cdot3=12%%

Da es 4 Zahlen sind und jede dieser 4 Zahlen weitere 3 Möglichkeiten für die 2. Stelle hat (die 4. Stelle fällt weg, da es keine doppelten Stellen geben darf), ergibt es sich, dass die Lösung 12 ist. 

Es lassen sich insgesamt 12 zweistellige Zahlen, die nicht doppelt-ziffrig sind, bilden.

Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden?

Mithilfe des Baumdiagramms verdeutlichen.

 

Baumdiagramm

%%L=\left\{11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44\right\}%%

 

%%4\cdot4=16%%

Da es 4 Zahlen sind und jede dieser 4 Zahlen wiederum 4 Möglichkeiten für die 2. Stelle hat, ergibt es sich, dass die Lösung 16 ist.

Es lassen sich insgesamt 16 zweistellige Zahlen bilden.

In einer Urne befinden sich eine weiße, eine schwarze, eine rote und eine blaue Kugel. Es werden nacheinander (und ohne Zurücklegen) zwei Kugeln entnommen.

Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Keine der gezogenen Kugeln ist rot.
B: Unter den gezogenen Kugeln ist eine rote.
C: Es werden zwei rote Kugeln gezogen.
D: Die gezogenen Kugeln sind weiß und schwarz.

Mächtigkeit des Ergebnisraumes: %%|X|=12%%

%%A=\{ws; wb; sw; sb; bw; bs\}%%

%%P(A)=\frac{|A|}{|X|}=\frac6{12}=0,5% %%

$$0,5\cong50\%$$

 Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten, dafür, dass keine der gezogenen Kugeln rot ist.

%%B=\{wr, sr; rw; rs; rb; br\}%%

%%P(B)=\frac{|B|}{|X|}=\frac6{12}=0,5% %%

$$0,5\cong50\%$$

Es gibt 6 Möglichkeiten dafür, dass eine rote unter den gezogenen Kugeln ist.

%%C=\{\}%%

%%P(C)=\frac{|C|}{|X|}=\frac0{12}=0% %%

Nicht möglich, weil keine zwei roten Kugeln in der Urne sind

%%D=\{ws; sw\}%%

%%P(D)=\frac{|D|}{|X|}=\frac2{12}\approx0,167% %%

$$0,167\cong16,7\%$$

Es gibt zwei Möglichkeiten dafür, dass eine Kugel weiß und eine Kugel schwarz ist.

Gib in Worten ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit P(E) = 25 % und ein Ereignis F mit der Wahrscheinlichkeit P(F) = %%\frac13%% an.

Wähle zum Beispiel:

%%E%%: "Die zweite gezogene Kugel ist weiß."

%%E=\{sw; rw; bw\}%%

%%P(E)=\frac{|E|}{|X|}=\frac3{12}=25% %%

 

%%F%%: "Zuerst wird entweder weiß oder schwarz gezogen, danach entweder rot oder blau."

%%F=\{wr; wb; sr; sb\}%%

%%P(F)=\frac{|F|}{|X|}=\frac4{12}=\frac13%%

Eine Münze wird dreimal geworfen. Zeichne für folgende Ereignisse die Baumdiagramme und stelle sie in Mengenschreibweise dar.

(Z steht für Zahl, W für Wappen)

Eine 1-Euro-Münze, von der wir annehmen, dass sie eine L-Münze ist, wird 3mal geworfen.

Liegt die Eins oben, so werten wir den Wurf als 1, andernfalls als 0.

a) Zeichne einen Baum zu diesem Experiment.

b) Ein mögliches Ergebnis ist 100; ihm ordnen wir die Summe 1+0+0 =1 zu. Welche möglichen Summen treten auf?

 

In einer Urne befinden sich 1 weiße, 2 rote und 3 schwarze Kugeln. Man zieht nacheinander zwei Kugeln einmal ohne Zurücklegen und einmal mit Zurücklegen der Kugel nach jedem Zug. Zeichne jeweils ein Baumdiagramm und gib einen Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an.

1.Ohne Zurücklegen

 

Baumdiagramm

%%\Omega%%= {(w,r), (w,s), (r,r), (r,w), (r,s), (s,s), (s,w), (s,r)}

|%%\Omega%%|= 8

Ereignisse aufschreiben und die Mächtigkeit aufstellen.

 

 

2.Mit Zurücklegen

 

Baumdiagramm

%%\Omega%%= {(w,w), (w,s), (w,r), (r,r), (r,s), (r,w), (s,s), (s,r), (s,w)}

|%%\Omega%%|= 9

Ereignisse aufschreiben und die Mächtigkeit aufstellen.

Max und Tim laden ihren Opa zum Kaffeetrinken ein. Sie haben zwei Stühle und drei Hocker. Ihr Opa muss auf jeden Fall auf einem Stuhl sitzen. Damit es gerecht wird, setzt sich keiner der beiden Jungen auf den Stuhl.

Wie viele Sitzmöglichkeiten gibt es?

Abzählen mit dem Baumdiagramm

Am besten legst du dazu ein Baumdiagramm an:

fehlt noch

Für den Opa gibt es 2 Möglichkeiten (nämlich die beiden Stühle).

Für Max gibt es 3 Möglichkeiten (die drei Hocker).

Für Tim gibt es 2 Möglichkeiten (die beiden Hocker, auf denen Max nicht sitzt).

Diese Möglichkeiten musst du multiplizieren.

Ergebnis: Es gibt 12 Möglichkeiten.

Oma hat in einer Schublade 18 blaue und 12 andersfarbige Kugelschreiber. Bei sieben blauen Kugelschreibern und bei fünf der anderen ist die Mine eingetrocknet.

a. Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.

b. Erstelle ein Baumdiagramm, mit dem die Fragen c) und d) beantwortet werden können.

(b=blau ; bn=nicht blau ; s=schreibt ; sn=schreibt nicht)

c. Oma greift ohne hinzusehen in die Schublade und nimmt einen Kugelschreiber heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist seine Mine nicht eingetrocknet?

d. Oma hat einen blauen Kugelschreiber aus der Schublade genommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit „schreibt“ er?

Teilaufgabe a

Trage die gegeben Werte in die entsprechenden Felder ein!

%%b%%

%%bn%%

Summe

%%sn%%

7

5

12

%%s%%

18

12

Berechne nun die fehlenden Werte:
%%|S \cap B|=|B|- | \overline{S} \cap B|= 18-7=11%%
Absolute Häufigkeit der Kulis: %%18+12=30%%
%%|S|=30-\overline{S}|=30-12=18%%
%%| S \cap \overline{B}|=|\overline{B}|-|\overline{S}-\overline{B}|=12-5=7%%

So sieht die fertige Vierfeldertafel dann aus :

%%b%%

%%bn%%

Summe

%%sn%%

7

5

12

%%s%%

11

7

18

18

12

30

Teilaufgabe b

 Baumdiagramm

 

Teilaufgabe c

Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagramm von b) ablesen.

%%P(s)= P(s|b)+P(s|bn)=\frac7{30}+\frac{11}{30}=\frac{18}{30}=\frac35=0,6%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 60% Wahrscheinlichkeit ist der Stift nicht eingetrocknet.

Teilaufgabe d

Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagramm von b) ablesen

%%P(s|b)=\frac{11}{18}\approx0,61%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der blaue Stift schreibt zu ca. 61%.

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