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Ergebnismenge

Die Ergebnismenge oder der Ergebnisraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments .

Bezeichnet wird die Ergebnismenge bzw. der Ergebnisraum zumeist mit dem griechischen Buchstaben Ω\sf \mathrm\Omega ("Omega").

Die Ereignismenge ist die Menge aller Ereignisse und nicht das selbe wie die Ergebnismenge!

Finden eines geeigneten Ergebnisraumes

Um zu einem Zufallsexperiment einen geeigneten Ergebnisraum zu finden, muss man sich überlegen, welche Ergebnisse bei diesem Experiment theoretisch herauskommen können.

Beispiele

  • Beim Würfeln mit einem Würfel lautet der Ergebnisraum normalerweise: Ω={1,2,3,4,5,6}\sf \Omega=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}

  • Beim einmaligen Werfen einer Münze lautet der (naheliegende) Ergebnisraum Ω={Kopf,  Zahl}\sf \Omega=\left\{Kopf,\;Zahl\right\} oder auch Ω={K,Z}\sf \Omega=\left\{K,Z\right\}, wenn man die Ergebnisse entsprechend abkürzen will.

  • Beim dreimaligen Werfen einer Münze ist ein sinnvoller Ergebnisraum Ω={(K,K,K);(K,K,Z);(K,Z,K);(K,Z,Z);(Z,K,K);(Z,K,Z);(Z,Z,K);(Z,Z,Z)}\sf \Omega=\left\{\left(K,K,K\right);\left(K,K,Z\right);(K,Z,K);\left(K,Z,Z\right);(Z,K,K);(Z,K,Z);(Z,Z,K);(Z,Z,Z)\right\} dieser Ergebnisraum lässt sich gut z. B. anhand eines Baumdiagramms ermitteln.

Verschiedene Möglichkeiten für die Wahl des Ergebnisraums bei einem Zufallsexperiment

Wenn man zu einem Zufallsexperiment einen Ergebnisraum sucht, muss man sich darüber klar werden, was alles bei diesem Experiment im Zusammenhang der Aufgabenstellung beachtet werden muss: Wenn z. B. mit zwei Würfeln gewürfelt wird, kommt es dann darauf an, welcher der beiden Würfel welche Zahl zeigt, oder nur darauf, welche beiden Zahlen aufliegen?

Mit anderen Worten: Einen Ergebnisraum "berechnet" man nicht, sondern man wählt ihn (passend zur Situation der Aufgabe).

(Trotzdem ist natürlich bei den meisten Aufgaben ein bestimmter Ergebnisraum naheliegend bzw. vernünftig, siehe obige Beispiele).

Beispiel

Man zieht aus einem Kartenspiel mit 32 Karten eine beliebige Karte.

  1. Wie können verschiedene Ergebnisräume aussehen?

  • Welche ist die größte Ergebnismenge?

Lösung:

  1. Man kann sich nur auf die Farbe konzentrieren, dann wäre der Ergebnisraum Ω1={rot,schwarz}\sf \Omega_1=\{rot, schwarz\}. Eine weitere Möglichkeit ist, sich die Farbenwerte anzusehen: Ω2={Herz,Pik,Karo,Kreuz}\sf \Omega_2=\{Herz, Pik, Karo, Kreuz\}, oder auch die Kartenwerte: Ω={7,8,9,10,Bube,Dame,Koenig,Ass}\sf \Omega=\{7,8,9,10,Bube, Dame, Koenig, Ass\}. Schließlich kann man alle Merkmale berücksichtigen: (Im Folgenden steht H\sf H für Herz, P\sf P für Pik, K\sf K für Karo und Kr\sf Kr für Kreuz.) Ω3={H7,H8,H9,H10,HBube,HDame,HKoenig,HAss,P7,P8,P9,P10,PBube,PDame,PKoenig,PAss,K7,K8,K9,K10,KBube,KDame,KKoenig,KAss,Kr7,Kr8,Kr9,Kr10,KrBube,KrDame,KrKoenig,KrAss}\sf \Omega_3=\{H7,H8,H9,H10,H Bube, H Dame, H Koenig, H Ass, P7,P8, P9, P10, P Bube, P Dame, P Koenig, P Ass, K7, K8, K9, K10, K Bube, K Dame, K Koenig, K Ass, Kr7, Kr8, Kr9, Kr10, Kr Bube, Kr Dame, Kr Koenig, Kr Ass\}

  2. Die größte Ergebnismenge ist immer die detaillierteste, also Ω3\sf \Omega_3 mit Ω3=32\sf |\Omega_3|=32.

Urnenmodell

Viele Zufallsexperimente können mit Hilfe eines Urnenmodells simuliert werden.

In der Urne befinden sich n\sf n Elemente ("Kugeln"), von denen k\sf k Elemente gezogen werden.

Die Urne kann als Ergebnisraum aufgefasst werden.

Beispiel

Ein Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl wird festgestellt.

In einer Urne befinden sich sechs von 1 bis 6 nummerierte Kugeln, es wird einmal gezogen.


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