Die Ergebnismenge oder der Ergebnisraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments .

Bezeichnet wird die Ergebnismenge bzw. der Ergebnisraum zumeist mit dem griechischen Buchstaben %%\mathrm\Omega%% ("Omega").

Die Ereignismenge ist die Menge aller Ereignisse und nicht das selbe wie die Ergebnismenge!

Finden eines geeigneten Ergebnisraumes

Um zu einem Zufallsexperiment einen geeigneten Ergebnisraum zu finden, muss man sich überlegen, welche Ergebnisse bei diesem Experiment theoretisch herauskommen können.

Beispiele

  • Beim Würfeln mit einem Würfel lautet der Ergebnisraum normalerweise: %%\Omega=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}%%

  • Beim einmaligen Werfen einer Münze lautet der (naheliegende) Ergebnisraum %%\Omega=\left\{Kopf,\;Zahl\right\}%% oder auch %%\Omega=\left\{K,Z\right\}%%, wenn man die Ergebnisse entsprechend abkürzen will.

Ist %%\{K, Z\}%% das Gleiche wie %%\{Z, K\}%%?

Ja, da in einer Menge die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt!

  • Beim dreimaligen Werfen einer Münze ist ein sinnvoller Ergebnisraum %%\Omega=\left\{\left(K,K,K\right);\left(K,K,Z\right);(K,Z,K);\left(K,Z,Z\right);(Z,K,K);(Z,K,Z);(Z,Z,K);(Z,Z,Z)\right\}%%
    dieser Ergebnisraum lässt sich gut z. B. anhand eines Baumdiagramms ermitteln.
Baumdiagramm zum dreimaligen Werfen einer Münze

3fach Muenzwurf

Der Ergebnisraum, %%\Omega%%, ist hier also: %%\Omega=\left\{\left(K,K,K\right);\left(K,K,Z\right);\left(K,Z,K\right);\left(K,Z,Z\right);\left(Z,K,K\right);(Z,K,Z);(Z,Z,K);(Z,Z,Z)\right\}%%

Verschiedene Möglichkeiten für die Wahl des Ergebnisraums bei einem Zufallsexperiment

Wenn man zu einem Zufallsexperiment einen Ergebnisraum sucht, muss man sich darüber klar werden, was alles bei diesem Experiment im Zusammenhang der Aufgabenstellung beachtet werden muss: Wenn z. B. mit zwei Würfeln gewürfelt wird, kommt es dann darauf an, welcher der beiden Würfel welche Zahl zeigt, oder nur darauf, welche beiden Zahlen aufliegen?

Mit anderen Worten: Einen Ergebnisraum "berechnet" man nicht, sondern man wählt ihn (passend zur Situation der Aufgabe).

(Trotzdem ist natürlich bei den meisten Aufgaben ein bestimmter Ergebnisraum naheliegend bzw. vernünftig, siehe obige Beispiele).

Beispiel

Man zieht aus einem Kartenspiel mit 32 Karten eine beliebige Karte.

  1. Wie können verschiedene Ergebnisräume aussehen?
  • Welche ist die größte Ergebnismenge?

Lösung:

  1. Man kann sich nur auf die Farbe konzentrieren, dann wäre der Ergebnisraum %%\Omega_1=\{rot, schwarz\}%%.
    Eine weitere Möglichkeit ist, sich die Farbenwerte anzusehen: %%\Omega_2=\{Herz, Pik, Karo, Kreuz\}%%, oder auch die Kartenwerte: %%\Omega=\{7,8,9,10,Bube, Dame, Koenig, Ass\}%%.
    Schließlich kann man alle Merkmale berücksichtigen:
    (Im Folgenden steht %%H%% für Herz, %%P%% für Pik, %%K%% für Karo und %%Kr%% für Kreuz.)
    %%\Omega_3=\{H7,H8,H9,H10,H Bube, H Dame, H Koenig, H Ass, P7,P8, P9, P10, P Bube, P Dame, P Koenig, P Ass, K7, K8, K9, K10, K Bube, K Dame, K Koenig, K Ass, Kr7, Kr8, Kr9, Kr10, Kr Bube, Kr Dame, Kr Koenig, Kr Ass\}%%

  2. Die größte Ergebnismenge ist immer die detaillierteste, also %%\Omega_3%% mit %%|\Omega_3|=32%%.

Beispielaufgaben

 

Urnenmodell

Viele Zufallsexperimente können mit Hilfe eines Urnenmodells simuliert werden. 

In der Urne befinden sich %%n%% Elemente ("Kugeln"), von denen %%k%% Elemente gezogen werden.

Die Urne kann als Ergebnisraum aufgefasst werden.

Beispiel

Ein Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl wird festgestellt.

%%\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}%%

In einer Urne befinden sich sechs von 1 bis 6 nummerierte Kugeln, es wird einmal gezogen.

%%\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}%%

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Zu article Ergebnismenge: Verbesserungsvorschläge
SebSoGa 2016-03-26 13:25:36
Hallo!
Ich hätte da einige Vorschläge zur Verbesserung dieses Artikels:

Die Einführung der Definition von Ereignismenge ist sehr stark. Sie taucht noch in der Einleitung zur Ergebnismenge auf (ohne Andeutung auf den Unterschied) und ist viel stärker hervorgehoben als die Definition von Ergebnismenge, um die es im Artikel geht.

Verlinkung zum Mengenbegriff fehlt (bzw. kommt in einem Spoiler vor, und ist sehr versteckt!).

Ich würde direkt nach dem ersten Satz im Abschnitt “Finden eines geeigneten Ergebnisraumes” klar machen, dass es für jedes Zufallsexperiment mehrere Ergebnisräume geben kann und dies auch an den Beispielen verdeutlichen! Dort wird bis jetzt nur die “beste” Wahl angegeben, aber alternative Wahlen werden nicht diskutiert (daher auch nicht klar, warum die angegebene Wahl die naheliegendere ist).
Auch sinnlose/falsche Beispiele wären hilfreich.

Mehrere Ergebnisräume sind für das gleiche Experiment möglich. Auch Gegenbeispiele sollten hier vorkommen! Es ist nicht sinnvoll nur die “beste” Wahl von Ergebnismengen anzugeben.
“naheliegende Wahl” WARUM ist sie naheliegend?? was wären andere Wahlen?
Im Spoiler zum dreifachen Münzwurf kommt der Satz “der Ergebnisraum ist hier…” vor. Dieser deutet auf Eindeutigkeit einer Lösung hin, was nicht der Fall ist.

“Die größte Ergebnismenge ist immer die detaillierteste“ Diese Aussage ist falsch. Ich kann immer eine größere Ergebnismenge angeben, indem ich irgendwelche Elemente hinzufüge. Diesen Satz würde ich lieber weglassen / komplett umändern.

Bei den Aufgaben: Verlinkung zum Mächtigkeitsbegriff fehlt.

Verlinkung in der Überschrift “Urnenmodell”. Für mich sieht es dann so aus, als wäre der Begriff ein zentraler Bestandteil des Artikels.

Sorry, wenn die ein bisschen viel sind, wenn ich mehr Zeit hätte würde ich mich selbst daran setzen :)
LG
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