Normalerweise ist jeder zehnte Gallier mit seinem bei Obelix bestellten Hinkelstein unzufrieden, weil er beschädigt ist. Um dies zu überprüfen, befragt Obelix seine letzten 50 belieferten Gallier (und lässt sich natürlich zu einem Wildschwein einladen).

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mehr als 2 aber weniger als 9 seiner Kunden unzufrieden?

Idefix ist inzwischen sicherer im Apportieren von Hinkelsteinen geworden und lässt nun beim Transport weniger Hinkelsteine fallen. Obelix vermutet deshalb, dass die Anzahl der unzufriedenen Kunden unter 10% gesunken ist.

b) Geben sie seine Nullhypothese an, sowie eine Entscheidungsregel für den Fehler 1. Art bei einem Signifikanzniveau von 5%

c) In der Tat sind nur 3 Gallier unzufrieden gewesen. Darf Obelix nun aufgrund dieses Resultats "Mehr als 90% zufriedene Kunden" über seinen Steinbruch schreiben?

Teilaufgabe a)

Bezeichne mit X die Anzahl der Kunden, die unzufrieden sind. Dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 und höchstens 8 Kunden unzufrieden sind, als:
P("mindestens  3  und  ho¨chstens  8  Kunden  unzufrieden")\mathrm{P("mindestens \;3 \;und \;höchstens \;8 \;Kunden \;unzufrieden")}
=P(3X8)=P(X8)P(X2)=\mathrm{P(3\leq X \leq 8)=P(X \leq 8) - P(X\leq 2)}
Lese die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten aus dem Tafelwerk ab, wobei n=50 und p=0,1, da jeder zehnte Gallier unzufrieden ist.
=0,942130,11173=0,830483%=0,94213-0,11173=0,8304\approx 83\%

Also sind mit 83%-tiger Wahrscheinlichkeit mindestens 3 und höchstens 8 Kunden unzufrieden.

Teilaufgabe b)

Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.
Formuliere dazu die Nullhypothese H0\mathrm{H_0}. Was ist die Nullhypothese?
Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Obelix will zeigen, dass die Anzahl der unzufrieden Kunden auf unter 10% gesunken ist. Die Nullhypothese ist daher das Gegenteil: H0:p0,1\mathrm{H_0}: p\geq 0,1, d.h. das mindestens 10% der Kunden unzufrieden sind.
Formuliere nun die Gegenhypothese H1H_1.
Die Gegenhypothese ist H1:p<0,1\mathrm{H_1}:p<0,1, d.h. das weniger als 10% der Kunden unzufrieden sind.
Formuliere den Fehler erster Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Galliern bei einer Wahrscheinlichkeit von 10%, das ein Gallier unzufrieden ist, mehr Gallier unzufrieden sind als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens 5% betragen)
Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Angaben:
%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;&k+1 \dots 50 & 0 \dots k \\\hline H_0:p\geq0,1& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0,05}\\\hline H_1:p<0,1 \; & \; & \\ \hline\end{array}%%
P0,150(X    k)    0,05\mathrm P_{0,1}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05
Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50 p=0,1) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,05 ist.
Tabellenwerk liefert:
P0,150(X    1)=0,03379\mathrm P_{0,1}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 1)=0,03379;P0,150(X    2)=0,11173\mathrm P_{0,1}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 2)=0,11173;
k    1\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;1
Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.
Die Nullhypothese wird bei 1 oder keinem unzufriedenem Kunden verworfen und demnach bei 2 oder mehr unzufriedenen Kunden angenommen.


Teilaufgabe c)

Zwar sind nach dem Testergebnis nur 3 von 50 Galliern unzufrieden, d.h. 350=0,06=6%\frac{3}{50}=0,06=6\% , jedoch ist das Testergebnis nicht signifikant, da nach der Entscheidungsregel aus Teilaufgabe b) die Nullhypothese ab 2 unzufriedenen Kunden angenommen werden müsste, insbesondere also bei 3 unzufriedenen Kunden. Dementsprechend kann Obelix nicht ohne weitere Tests durchzuführen die Behauptung "mehr als 90% zufriedene Kunden" aufstellen.