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Aufgaben zu Hypothesentests

1

In einer Urne befinden sich entweder 4 blaue und 6 rote Kugeln oder 6 blaue und 4 rote. Dies soll durch Ziehen von 5 Kugeln ohne Zurücklegen herausgefunden werden.

  1. Welches Entscheidungsverfahren ist das vernünftigste?

  2. Wie hoch ist die Fehlerwahrscheinlichkeit in diesem Fall?

2

In einer Kleinstadt gibt es 2 Grundschulen. Der Schulleiter der Bismarckschule bestreitet, dass im kommenden Schuljahr wieder nur 35% aller Einschulungen an seine Schule kommen. Man habe die Schule schließlich durch viele Zusatzangebote attraktiver gemacht.

Eine Meinungsumfrage mit 200 Eltern soll zeigen, dass die Beliebtheit der Schule gestiegen ist.

Bestimme den Annahme- und Ablehnungbereich, sowie den tatsächlichen Fehler 1. Art. Skizziere grob die Verteilungsfunktion und kennzeichne die markanten Stellen.

Das Signifikanzniveau sei höchstens 5%.

3

Normalerweise ist jeder zehnte Gallier mit seinem bei Obelix bestellten Hinkelstein unzufrieden, weil er beschädigt ist. Um dies zu überprüfen, befragt Obelix seine letzten 50 belieferten Gallier (und lässt sich natürlich zu einem Wildschwein einladen).

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mehr als 2 aber weniger als 9 seiner Kunden unzufrieden?

Idefix ist inzwischen sicherer im Apportieren von Hinkelsteinen geworden und lässt nun beim Transport weniger Hinkelsteine fallen. Obelix vermutet deshalb, dass die Anzahl der unzufriedenen Kunden unter 10% gesunken ist.

b) Geben sie seine Nullhypothese an, sowie eine Entscheidungsregel für den Fehler 1. Art bei einem Signifikanzniveau von 5%

c) In der Tat sind nur 3 Gallier unzufrieden gewesen. Darf Obelix nun aufgrund dieses Resultats "Mehr als 90% zufriedene Kunden" über seinen Steinbruch schreiben?

4

Lehrer Maier glaubt, dass das Thema Hypothesentest sehr schwierig ist und noch nicht von allen verstanden worden ist. Insgesamt sind in seiner Klasse 50 Schüler. Den Anteil der Schüler, die das Thema noch nicht durchstiegen haben, schätzt er auf über 40%. Deshalb will er in der nächsten Stunde einen kurzen Test schreiben. Erreicht dabei ein Schüler mehr als die Hälfte der Punkte, so glaubt Lehrer Maier, dass der Schüler den Hypothesentest verstanden hat.

a) Gib die Nullhypothese von Lehrer Maier an, sowie die Entscheidungsregel für den Fehler 1. Art bei einem Signifikanzniveau von 10%.

b) Gib desweiteren die Entscheidungsregel für einen Fehler 2. Art für eine Klasse mit 50 Schülern an, ebenfalls bei einem Signifikanzniveau von 10%.

c) Im Test fallen 22 Schüler durch. Ist eine konsistente Aussage aus den Ergebnissen aus a) und b) ableitbar? Warum könnte Lehrer Maier seine Ausgangsvermutung bestätigt sehen? Die Klasse hingegen fand, dass das Thema Hypothesentest höchstens von einem Viertel nicht verstanden wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wären nach der Klasse mindestens 22 Schüler durchgefallen?

d) Mit dem Ergebnis aus c) gehen die Schüler zu Lehrer Maier und beschweren sich über den Test. Hältst du die Beschwerde aus Sicht der Klasse für berechtigt?

5

Eine Fernsehserie hatte im letzten Jahr eine mittlere Einschaltquote von 10%. Das Management des Senders vermutet, dass die Beliebtheit der Serie im letzten Quartal des Vorjahres sogar etwas zugenommen hat.

Weitere Serien sollen dazugekauft werden, wenn die Beliebtheit der Sendung tatsächlich zugenommen hat. Dazu sollen 200 Personen mittels einer Telefonaktion befragt werden.

Man ist sich auch der Zufälligkeit von Stichprobenergebnissen bewusst und gibt sich mit einer Sicherheit von mindestens 95% des Befragungsergebnisses zufrieden.

Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich, sowie den tatsächlichen Fehler 1.Art.

6

Nach einer Umfrage eines renommierten Umfrageinstitutes stimmten im Januar 80% der Deutschen für einen schnellen Ausstieg aus der Atomenergie. Aufgrund des steigenden Strompreises mehrten sich Stimmen, die gern bei der Atomenergie bleiben würden, um die Preise niedrig zu halten. Um zu überprüfen, ob sich die öffentliche Meinung geändert hat, wird eine zweite, repräsentative Umfrage mit 200 Personen durchgeführt.

a) Wie viele Bürger dürfen nun höchstens für einen Ausstieg stimmen, damit die Ergebnisse der ersten Studie auf einem Signifikanzniveau von 5% verworfen werden können?

b) Angenommen die aktuelle Zustimmung der Deutschen zur Atomkraft läge bei 25% und der Rest spricht sich für einen schnellen Atomausstieg aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen dennoch mehr als 160 Leute für einen schnellen Atomausstieg?

7

Herr G, Gemeinderat und engagierter Lokalpolitiker, verfolgt mit Besorgnis, dass am anderen Ufer des Sees, an den seine Gemeinde grenzt, eine große Fabrik geplant und gebaut wird. Als seine Proteste gegen das Bauvorhaben erfolglos bleiben, beschließt er, in der kommenden Zeit genau zu beobachten, ob der Betrieb der Fabrik negative Auswirkungen auf die Umwelt hat, und gegebenenfalls Klage einzureichen. Vom örtlichen Anglerverein erfährt er auf Anfrage, dass der Anteil krankhaft veränderter Fische in dem See bislang stets bei rund 2% gelegen hat. Er bittet nun den Verein, in der kommenden Saison darauf zu achten, ob sich dieser Anteil erhöht hat. Es wird vereinbart, dass die Angler über die nächsten 100 gefangenen Fische genaue Notizen machen und Herrn G das Ergebnis mitteilen. Wenn dabei mehr als 4 krankhaft veränderte Fische sind, will Herr G Klage einreichen. 

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht er bei dieser Entscheidungsregel die Klage ein, obwohl sich der Anteil krankhaft veränderter Fische in Wirklichkeit nicht erhöht hat?

  2. Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf 5% angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt das vom Anglerverein mitgeteilte Ergebnis dennoch so aus, dass Herr G keine Klage einreicht? 

  3. Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf 10% angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht Herr G dennoch keine Klage ein? Was fällt im Vergleich mit dem Ergebnis von Teilaufgabe 2 auf?

  4. Wie muss die Entscheidungsregel lauten, wenn G seine Behauptung auf dem Signifikanzniveau von 5%  belegen will? Stelle dazu den entsprechenden Hypothesentest mit Nullhypothese und Gegenhypothese (=Alternativhypothese) auf.

  5. In der Tat finden sich unter den 100 gefangenen Fischen 4 krankhaft veränderte. Während Herr G angesichts des zu wenig deutlichen Ergebnisses trotz seiner nach wie vor bestehenden Zweifel bereits resignieren will, schlägt sein Parteifreund F eine Vergrößerung der Stichprobe vor: Es soll weiter beobachtet werden, bis insgesamt 200 Fische gefangen seien. Wie muss nun die Entscheidungsregel lauten, wenn das Signifikanzniveau weiterhin 5% sein soll? Kann die Vermutung von Herr G, der Anteil krankhaft veränderter Fische habe sich auf über 2% erhöht, auf dem Signifikanzniveau von 5% angenommen werden, wenn sich unter den 200 Fischen insgesamt 8 finden, die krankhaft verändert sind?

8

Ein Pharmainstitut behauptet, ein bestimmtes Medikament wirke mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80%. Daraufhin wird das Medikament an 50 Personen verabreicht.

  1. In der ersten Testreihe zeigt das Mittel bei 45 der 50 Personen Wirkung. Ist damit die Behauptung des Pharmainstituts auf dem Signifikanzniveau von 5% bewiesen?

  2. Einige Zeit, nachdem das neue Medikament zugelassen ist, bekommt der angesehene Medizinprofessor Dr. Zweifel den Verdacht, das Pharmainstitut habe die Studie gefälscht und das Mittel wirke doch nicht so gut wie behauptet. Er lässt daraufhin erneut einen Test an 50 Personen durchführen. Formuliere für Professor Zweifels Test Nullhypothese und Gegenhypothese. Wie muss seine Entscheidungsregel lauten, wenn er seine Vermutung auf dem Signifikanzniveau von 5 % belegen will? 

9

Der Hersteller eines Glücksspielautomaten behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Gewinnkombination p=0,3\sf p=0{,}3 beträgt. In 200 Spielstunden soll diese Angabe überprüft werden.

  1. Gib die Entscheidungsregel für das Signifikanzniveau α10%\sf \mathrm\alpha\leq10\,\% an und berechne den Fehler 1. Art. Skizziere grob die Verteilungsfunktion und markiere die markanten Werte.

  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, falls die tatsächliche Wahrscheinlichkeit dieser Gewinnkombination nur p=0,2\sf p=0{,}2 beträgt. Skizziere grob die Verteilungsfunktion und markiere die markanten Werte.

10

Im vergangenen Jahr wechselten 75% aller Grundschüler eines Schulbezirkes nach der 4. Klasse zur Realschule. Das Schulamt vermutet, dass der Anteil der Schüler, die zur Realschule wechseln auch in diesem Jahr unverändert bleibt. Diese Annahme soll durch eine Befragung von 100 Eltern überprüft werden.

  1. Wie lautet die Entscheidungsregel für α5%\sf \mathrm\alpha\leq5\% ? Berechne und beschreibe den Fehler 1.Art.

  2. Beschreibe und berechne den Fehler 2.Art, wenn dem Zufallsversuch tatsächlich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,7\sf \mathrm p=0,7 zugrunde liegt.

11

Es wird vermutet, dass der Anteil der Befürworter des Rauchverbots in der Bevölkerung gegenwärtig bei höchstens 60%\sf 60 \% liegt. Um diese Vermutung zu testen, wird eine Befragung von 100\sf 100 zufällig ausgewählten Personen durchgeführt.

a

Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5%\sf 5\% irrtümlich abgelehnt werden soll?

b

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel die Vermutung angenommen, obwohl der Anteil der Rauchverbot-Befürworter tatsächlich 70%\sf 70\% beträgt?


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