Aufgaben

In einer Urne befinden sich entweder 4 blaue und 6 rote Kugeln oder 6 blaue und 4 rote. Dies soll durch Ziehen von 5 Kugeln ohne Zurücklegen herausgefunden werden. Welches Entscheidungsverfahren ist das vernünftigste und wie hoch ist die Fehlerwahrscheinlichkeit in diesem Fall?

Die beiden Möglichkeiten sind entweder 4 blaue und 6 rote oder 6 blaue und 4 rote Kugeln.

Formuliere eine logischen Entscheidungsregel: Die einzig sinnvolle Entscheidungsregel, um beide Fehler gleichzeitig klein zu halten, ist folgende: Die Farbe, die beim Ziehen am häufigsten auftritt, wird als die Farbe angenommen, die insgesamt öfter vorhanden ist. Da 5 eine ungerade Zahl ist, ist dies eindeutig.

Die Entscheidungsregel lautet:

0, 1 oder 2 blaue Kugeln: %%\Rightarrow%% 4 blaue und 6 rote Kugeln.

3, 4 oder 5 blaue Kugeln: %%\Rightarrow%% 4 rote und 6 blaue Kugeln.

Da beide Möglichkeiten symmetrisch sind, ist der Fehler 1. Art identisch mit dem Fehler 2. Art.

Formuliere, wann ein Fehler 1. oder 2. Art auftritt.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass von der selteneren Farbe mehr Kugeln gezogen werden, d.h. entweder 3 oder 4. Da es nur 4 Kugeln der selteneren Farbe gibt, sind 5 nicht möglich.

Berechne die Fehlerwahrscheinlichkeit.

%%\mathrm{P(Fehler) = P(4 \;seltene \;Kugeln \;gezogen) + P(3 \;seltene \;Kugeln \;gezogen)}%%

%%=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=%%

%%=\frac{4\cdot15\;+\;1\;\cdot\;6}{252}=%%

Rechne den Bruch aus.

%%=\;\frac{11}{42}\;=\;0,261905...\;\approx26,19\;\% %%

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 26,2 %.

In einer Kleinstadt gibt es 2 Grundschulen. Der Schulleiter der Bismarckschule bestreitet, dass im kommenden Schuljahr wieder nur 35% aller Einschulungen an seine Schule kommen. Man habe die Schule schließlich durch viele Zusatzangebote attraktiver gemacht.

Eine Meinungsumfrage mit 200 Eltern soll zeigen, dass die Beliebtheit der Schule gestiegen ist.

Bestimme den Annahme- und Ablehnungbereich, sowie den tatsächlichen Fehler 1. Art. Skizziere grob die Verteilungsfunktion und kennzeichne die markanten Stellen.

Das Signifikanzniveau sei höchstens 5%.

Stelle die Testparameter auf.

Lies dazu zuerst die nötigen Werte aus dem Text.

n = 200, p = 0, 35

Stelle jetzt die Null-Hypothese %%H_0%% auf

Die Null-Hypothese ist die Aussage, die schon vorher gilt und jetzt widerlegt werden soll.

%%H_0%% ist also: Es kommen 35% der Schüler zur Bismarckschule.
p = 0,35

Stelle als nächstes die Gegenhypothese %%H_1%% auf.

Die Gegenhypothese ist die Aussage, die gezeigt werden soll.

%%H_1%% ist also: Es kommen mehr als 35% der Schüler an die Bismarckschule.

Bestimme den Fehler 1. Art.

Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn nach wie vor 35% zur Bismarckschule kommen, diese Hypothese (%%H_0%%) aber trotzdem verworfen wird, weil mehr der befragten Eltern die Bismarckschule wählen.

Stelle die zugehörige Formel auf und setze sie kleiner gleich dem Signifikanzniveau von 5%.

%%\Rightarrow P^{200}_{0,35}(X\ge k)\le 0,05%%

Betrachte die Gegenwahrscheinlichkeit, um die Formel im Tafelwerk zu finden.

%%\Leftrightarrow 1- P^{200}_{0,35}(X< k)\le 0,05%%

%%\Leftrightarrow P^{200}_{0,35}(X\le k-1)\ge 1-0,05%%

%%\Leftrightarrow P^{200}_{0,35}(X\le k-1)\ge 0,95%%

Suche im Tafelwerk das kleinste k, das diese Bedingung noch erfüllt.

%%\Rightarrow \;k - 1 = 81%%, also %%k = 82%%

Der Annahmebereich ist also %%A =\{0,1,...,81\}%%, der Ablehnungsbereich ist %%\bar A=\{82, 83,...,200\}%%, jeweils für die Nullhypothese %%H_0%%.

Benutze für der Fehler 1. Art die exakten Werte aus dem Tafelwerk.

%%1- P^{200}_{0,35}(X\le 81)=1- 0,95437=0,04523\approx 4,5 \% %% ist also die Chance, den Fehler 1. Art zu begehen.

Normalerweise ist jeder zehnte Gallier mit seinem bei Obelix bestellten Hinkelstein unzufrieden, weil er beschädigt ist. Um dies zu überprüfen, befragt Obelix seine letzten 50 belieferten Gallier (und lässt sich natürlich zu einem Wildschwein einladen).

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mehr als 2 aber weniger als 9 seiner Kunden unzufrieden?

Idefix ist inzwischen sicherer im Apportieren von Hinkelsteinen geworden und lässt nun beim Transport weniger Hinkelsteine fallen. Obelix vermutet deshalb, dass die Anzahl der unzufriedenen Kunden unter 10% gesunken ist.

b) Geben sie seine Nullhypothese an, sowie eine Entscheidungsregel für den Fehler 1. Art bei einem Signifikanzniveau von 5%

c) In der Tat sind nur 3 Gallier unzufrieden gewesen. Darf Obelix nun aufgrund dieses Resultats "Mehr als 90% zufriedene Kunden" über seinen Steinbruch schreiben?

Teilaufgabe a)

Bezeichne mit X die Anzahl der Kunden, die unzufrieden sind. Dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 und höchstens 8 Kunden unzufrieden sind, als:

%%\mathrm{P("mindestens \;3 \;und \;höchstens \;8 \;Kunden \;unzufrieden")}%%

%%=\mathrm{P(3\leq X \leq 8)=P(X \leq 8) - P(X\leq 2)}%%

Lese die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten aus dem Tafelwerk ab, wobei n=50 und p=0,1, da jeder zehnte Gallier unzufrieden ist.

%%=0,94213-0,11173=0,8304\approx 83\%%%

Also sind mit 83%-tiger Wahrscheinlichkeit mindestens 3 und höchstens 8 Kunden unzufrieden.

Teilaufgabe b)

Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%\mathrm{H_0}%%. Was ist die Nullhypothese?

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Obelix will zeigen, dass die Anzahl der unzufrieden Kunden auf unter 10% gesunken ist. Die Nullhypothese ist daher das Gegenteil:
%%\mathrm{H_0}: p\geq 0,1%%, d.h. das mindestens 10% der Kunden unzufrieden sind.

Formuliere nun die Gegenhypothese %%H_1%%.

Die Gegenhypothese ist %%\mathrm{H_1}:p<0,1%%, d.h. das weniger als 10% der Kunden unzufrieden sind.

Formuliere den Fehler erster Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Galliern bei einer Wahrscheinlichkeit von 10%, das ein Gallier unzufrieden ist, mehr Gallier unzufrieden sind als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens 5% betragen)

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Angaben:

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;&k+1 \dots 50 & 0 \dots k \\ \hline H_0:p\geq0,1& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0,05}\\ \hline H_1:p<0,1 \; & \; & \\ \hline \end{array}%%

%%\mathrm P_{0,1}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05%%

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50 p=0,1) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,05 ist.

Tabellenwerk liefert:

%%\mathrm P_{0,1}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 1)=0,03379%%; %%\mathrm P_{0,1}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 2)=0,11173%%;

%%\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;1%%

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

Die Nullhypothese wird bei 1 oder keinem unzufriedenem Kunden verworfen und demnach bei 2 oder mehr unzufriedenen Kunden angenommen.

Teilaufgabe c)

Zwar sind nach dem Testergebnis nur 3 von 50 Galliern unzufrieden, d.h. %%\frac{3}{50}=0,06=6\% %%, jedoch ist das Testergebnis nicht signifikant, da nach der Entscheidungsregel aus Teilaufgabe b) die Nullhypothese ab 2 unzufriedenen Kunden angenommen werden müsste, insbesondere also bei 3 unzufriedenen Kunden. Dementsprechend kann Obelix nicht ohne weitere Tests durchzuführen die Behauptung "mehr als 90% zufriedene Kunden" aufstellen.

Lehrer Maier glaubt, dass das Thema Hypothesentest sehr schwierig ist und noch nicht von allen verstanden worden ist. Insgesamt sind in seiner Klasse 50 Schüler. Den Anteil der Schüler, die das Thema noch nicht durchstiegen haben, schätzt er auf über 40%. Deshalb will er in der nächsten Stunde einen kurzen Test schreiben. Erreicht dabei ein Schüler mehr als die Hälfte der Punkte, so glaubt Lehrer Maier, dass der Schüler den Hypothesentest verstanden hat.

a) Gib die Nullhypothese von Lehrer Maier an, sowie die Entscheidungsregel für den Fehler 1. Art bei einem Signifikanzniveau von 10%.

b) Gib desweiteren die Entscheidungsregel für einen Fehler 2. Art für eine Klasse mit 50 Schülern an, ebenfalls bei einem Signifikanzniveau von 10%.

c) Im Test fallen 22 Schüler durch. Ist eine konsistente Aussage aus den Ergebnissen aus a) und b) ableitbar? Warum könnte Lehrer Maier seine Ausgangsvermutung bestätigt sehen? Die Klasse hingegen fand, dass das Thema Hypothesentest höchstens von einem Viertel nicht verstanden wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wären nach der Klasse mindestens 22 Schüler durchgefallen?

d) Mit dem Ergebnis aus c) gehen die Schüler zu Lehrer Maier und beschweren sich über den Test. Hältst du die Beschwerde aus Sicht der Klasse für berechtigt?

Hypothesentest

Zur Berechnung der Teilaufgaben kann der Artikel zum Hypothesentest hilfreich sein.

Teilaufgabe a)

Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%{\mathrm H}_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Lehrer Maier glaubt, dass mehr als 40% der Schüler das Thema Hypothesentest noch nicht verstanden haben.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil:
%%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}_0\leq0,4%%; d.h. weniger als 40% der Schüler haben das Thema noch nicht verstanden.

Stelle nun die Gegenhypothese %%H_1%% auf.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p>0,4%% ; d.h. mehr als 40% der Schüler haben das Thema noch nicht verstanden.

Als Übersicht über die Angaben kann die folgende Tabelle benutzt werden:

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;&0 \dots k & k+1 \dots 50 \\ \hline H_0:p\leq0,4& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art \leq 0,1}\\ \hline H_1:p> 0,4 \; & \; & \\ \hline \end{array}%%

Formuliere den Fehler 1. Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler den Test besteht betrage 40%. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Schülern mehr Schüler den Test bestehen als die Entscheidungsregel angibt, soll höchstens 10% betragen.)

%%\mathrm P_{0,4}^{50}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k)\;\leq\;0,1%%

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

%%1- \mathrm P_{0,4}^{50}(\mathrm X\;<\;\mathrm k)\;\leq\;0,1%%

%%\left|-1\right.%% und schreibe %%\mathrm{X< k}%% als %%\mathrm{X\leq k-1}%%.

%%-\mathrm P_{0,4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\leq\;-0,9%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%% auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

%%\mathrm P_{0,4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\geq\;0,9%%

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50; p=0,4) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,1 ist.

Tabellenwerk liefert:

%%\mathrm P_{0,4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 23)=0,8438%%;

%%\mathrm P_{0,4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 24)=0,9022%%;

%%\Rightarrow\mathrm k-1\;\geq\;24%%

Die Nullhypothese wird also angenommen, falls 24 oder weniger Schüler den Test bestanden haben, bei 25 oder mehr Schülern wird sie verworfen.

Teilaufgabe b)

Formuliere den Fehler 2. Art als Gleichung. Beachte dazu, dass wir annehmen, dass 40% der Schüler das Thema Hypthesentest noch nicht verstanden haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Schülern weniger Schüler den Test bestehen als die Entscheidungsregel angibt, soll höchstens 10% betragen (siehe die folgende Tabelle).

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;&0 \dots k & k+1 \dots 50 \\ \hline H_0:p\leq0,4& \; & \\ \hline H_1:p> 0,4 \; & \; \mathrm{Fehler \;2.Art < 0,1}& \\ \hline \end{array}%%

%%\mathrm P_{0,4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,1%%

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50; p=0,4) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,1 ist.

Tabellenwerk liefert:

%%\mathrm P_{0,4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 15)=0,0955%%; %%\mathrm P_{0,4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 16)=0,1561%%;

%%\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;15%%

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

Die Nullhypothese wird also angenommen, falls 15 oder weniger Schüler den Test bestehen und verworfen, falls 16 oder mehr Schüler bestehen.

Teilaufgabe c)

Da 22 Schüler den Test nicht bestanden haben, kann nach den Entscheidungsregeln aus a) oder b) keine eindeutige Entscheidung getroffen werden.

Da %%\frac{22}{50}>40 \%%% sieht Lehrer Maier jedoch seine Vermutung bestätigt.

Nimmt man die Vermutung der Klasse an, dass 25% der Schüler das Thema Hypothesentest nicht verstanden haben, ergibt sich folgende Rechnung (wähle X als Anzahl der Schüler, die im Test durchfallen):

%%\mathrm{P("mindestens \;22 \;Schüler \;fallen \;durch")}%% %%=P^{50}_{0,25}(X \geq 22)=%% %%1-P^{50}_{0,25}(X<22)=%% %%1-P(X\leq 21)%%

Bestimme den Wert mit Hilfe des Tafelwerks.

%%=1-0,99738=0,00262\approx 0,2\% %%

Teilaufgabe d)

Aus Sicht der Klasse ist die Beschwerde berechtigt, da es nach Aufgabe c) noch relativ unwahrscheinlich ist, dass 22 oder sogar mehr Schüler den Test nicht bestehen, wenn man die Annahme zugrunde legt, dass nur 25% der Schüler das Thema Hypothesentest nicht beherschen.

Bemerkung: Objektiv kann keine Aussage getroffen werden, da die Angabe von 25% ein willkürlicher Wert der Klasse ist.

Eine Fernsehserie hatte im letzten Jahr eine mittlere Einschaltquote von 10%. Das Management des Senders vermutet, dass die Beliebtheit der Serie im letzten Quartal des Vorjahres sogar etwas zugenommen hat.

Weitere Serien sollen dazugekauft werden, wenn die Beliebtheit der Sendung tatsächlich zugenommen hat. Dazu sollen 200 Personen mittels einer Telefonaktion befragt werden.

Man ist sich auch der Zufälligkeit von Stichprobenergebnissen bewusst und gibt sich mit einer Sicherheit von mindestens 95% des Befragungsergebnisses zufrieden.

Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich, sowie den tatsächlichen Fehler 1.Art.

Sei %%X%% die Anzahl der Zuschauer. Es werden %%n = 200%% Personen befragt werden. Die Nullypothese lautet:

%%H_0: p = 0,1%%

die Gegenhypothese

%%H_1: p > 0,1%%

Führe einen einseitigen Signifikanztest mit dem Signifikanzniveau 5% durch.

%%P^{200}_{0,1}(X > k) \leq 0,05%%

Verwende die Gegenwahrscheinlickkeit, um eine Wahrscheinlichkeit der Form %%X \leq k%% zu erhalten, die man im Tafelwerk nachschauen kann.

%%1 - P^{200}_{0,1}(X \leq k) \leq 0,05%%

%%P^{200}_{0,1}(X \leq k) \geq 0,95%%

Aus dem Tafelwerk ergibt sich %%k=27%% als erste Zahl, bei der diese Bedingung erfüllt ist.

Damit ist der Annahmebereich %%[0;27]%%, der Ablehnungsbereich %%[28;200]%%. Der tatsächliche Fehler 1. Art beträgt dann ca. 4,34% (präziser Wert aus Tafelwerk).

Nach einer Umfrage eines renommierten Umfrageinstitutes stimmten im Januar 80% der Deutschen für einen schnellen Ausstieg aus der Atomenergie. Aufgrund des steigenden Strompreises mehrten sich Stimmen, die gern bei der Atomenergie bleiben würden, um die Preise niedrig zu halten. Um zu überprüfen, ob sich die öffentliche Meinung geändert hat, wird eine zweite, repräsentative Umfrage mit 200 Personen durchgeführt.

a) Wie viele Bürger dürfen nun höchstens für einen Ausstieg stimmen, damit die Ergebnisse der ersten Studie auf einem Signifikanzniveau von 5% verworfen werden können?

b) Angenommen die aktuelle Zustimmung der Deutschen zur Atomkraft läge bei 25% und der Rest spricht sich für einen schnellen Atomausstieg aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen dennoch mehr als 160 Leute für einen schnellen Atomausstieg?

Teilaufgabe a)

Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%{\mathrm H}_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Es wird vermutet, dass die Zustimmung zum Austritt aus der Atomenergie abgenommen hat.

Die Nullhypothese geht daher von einer Konstanz des Zustimmungsverhaltens aus:
%%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}=0,8%%.

Formuliere nun die Gegenhypothese %%{\mathrm H}_1%%.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p<0,8%% ,d.h. weniger als 80% stimmen dem Austrit aus der Atomenergie zu.

Als Übersicht über die Angaben, kann die folgende Tabelle benutzt werden.

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;&k+1 \dots 200 & 0 \dots k \\ \hline H_0:p=0,8& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0,05}\\ \hline H_1:p<0,8 \; & \; & \\ \hline \end{array}%%

Formuliere den Fehler erster Art als Gleichung. (Wir nehmen an, dass sich 80% der Befragten für einen Ausstieg aus der Atomenergie ausssprechen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich von 200 Personen weniger für einen Ausstieg aussprechen als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens 5% betragen.)

%%\mathrm P_{0,8}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05%%

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=200; p=0,8) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,05 ist.

Tabellenwerk liefert:

%%\mathrm P_{0,8}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 150)=0,04935%%;

%%\mathrm P_{0,8}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 151)=0,06903%%;

%%\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;150%%

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

Es dürfen also höchstens 150 Personen für einen Ausstieg stimmen, damit die Nullhypothese verworfen wird und sie wird angenommen, falls 151 oder mehr Personen zustimmen.

Teilaufgabe b)

Nach der Annahme liegt die Zustimmung zur Atomkraft unter den Deutschen bei 25% und der Rest, also 75% der Deutschen sprechen sich für einen schnellen Ausstieg aus der Atomenergie aus. Sei X die Anzahl der befragten Personen, die sich für einen schnellen Ausstieg aus der Atomenergie aussprechen. Dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit als:

%%\mathrm{P_{0,75}^{200}(X>160)= }%%

Drücke die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Gegenereignisses aus.

%%=1-\mathrm{P_{0,75}^{200}(X\leq160)= }%%

Finde den Wert im Tafelwerk.

%%= 1-0,95950=0,0405\approx 4\% %%

Unter den gegebenen Angaben ist die Wahrscheinlichkeit also nur 4% hoch, dass sich mehr als 160 Personen für einen schnellen Ausstieg aus der Atomenergie aussprechen.

Herr G, Gemeinderat und engagierter Lokalpolitiker, verfolgt mit Besorgnis, dass am anderen Ufer des Sees, an den seine Gemeinde grenzt, eine große Fabrik geplant und gebaut wird. Als seine Proteste gegen das Bauvorhaben erfolglos bleiben, beschließt er, in der kommenden Zeit genau zu beobachten, ob der Betrieb der Fabrik negative Auswirkungen auf die Umwelt hat, und gegebenenfalls Klage einzureichen.
Vom örtlichen Anglerverein erfährt er auf Anfrage, dass der Anteil krankhaft veränderter Fische in dem See bislang stets bei rund 2% gelegen hat. Er bittet nun den Verein, in der kommenden Saison darauf zu achten, ob sich dieser Anteil erhöht hat. Es wird vereinbart, dass die Angler über die nächsten 100 gefangenen Fische genaue Notizen machen und Herrn G das Ergebnis mitteilen. Wenn dabei mehr als 4 krankhaft veränderte Fische sind, will Herr G Klage einreichen. 

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht er bei dieser Entscheidungsregel die Klage ein, obwohl sich der Anteil krankhaft veränderter Fische in Wirklichkeit nicht erhöht hat?

  2. Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf 5% angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt das vom Anglerverein mitgeteilte Ergebnis dennoch so aus, dass Herr G keine Klage einreicht? 

  3. Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf 10% angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht Herr G dennoch keine Klage ein? Was fällt im Vergleich mit dem Ergebnis von Teilaufgabe 2 auf?

  4. Wie muss die Entscheidungsregel lauten, wenn G seine Behauptung auf dem Signifikanzniveau von 5%  belegen will? Stelle dazu den entsprechenden Hypothesentest mit Nullhypothese und Gegenhypothese (=Alternativhypothese) auf.

  5. In der Tat finden sich unter den 100 gefangenen Fischen 4 krankhaft veränderte. Während Herr G angesichts des zu wenig deutlichen Ergebnisses trotz seiner nach wie vor bestehenden Zweifel bereits resignieren will, schlägt sein Parteifreund F eine Vergrößerung der Stichprobe vor: Es soll weiter beobachtet werden, bis insgesamt 200 Fische gefangen seien. Wie muss nun die Entscheidungsregel lauten, wenn das Signifikanzniveau weiterhin 5% sein soll? Kann die Vermutung von Herr G, der Anteil krankhaft veränderter Fische habe sich auf über 2% erhöht, auf dem Signifikanzniveau von 5% angenommen werden, wenn sich unter den 200 Fischen insgesamt 8 finden, die krankhaft verändert sind?

Teilaufgabe 1:

Berachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%H_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Herr G glaubt, dass mehr als 2% der Fische krankhaft verändert sind.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil:
%%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}_0=0,02%%

Stelle nun die Gegenhypothese %%H_1%% auf.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p_1>0,02%% ; d.h. mehr als 2% der Fische sind geschädigt.

Betrachte den Fehler 1. Art auf.

Dazu müssen mindestens vier veränderte Fische gefangen werden, obwohl nach wie vor nur 2% der Fische geschädigt sind.

Gib die Wahrscheinlichkeit für den Fehler an:

%%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;>4)%%

Wahrscheinlichkeit = 1 - Gegenwahrscheinlichkeit.

%%=\;1\;-\;\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)%%

Lese den Wert für die kumulative Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab.

%%\approx\;1\;-\;0,94917=\;0,05083\;\approx\;5,1\;\% %%

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 5,1%.

Teilaufgabe 2:

Berachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%H_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Herr G glaubt, dass mehr als 2% der Fische krankhaft verändert sind.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil:
%%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}_0=0,02%%

Stelle nun die Gegenhypothese %%H_1%% auf.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p_1=0,05%%. Es handelt sich also um einen Alternativtest.

Bestimme den Fehler 2. Art.

%%\mathrm P_{0,05}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)%%

Lese den Wert für die kumulative Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab.

%%\approx\;0,43598\;\approx\;43,6\% %%

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 43,6%.

Teilaufgabe 3:

Baue den Test wie in Teilaufgabe 2 auf, bloß mit %%p_1=0,1%%.

Bestimme den Fehler 2. Art.

%%\mathrm P_{0,1}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)%%

Lese den Wert für die kumulative Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab.

%%\approx\;0,02371\;\approx\;2,4\% %%

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 2,4%. Die Wahrscheinlichkeit ist im Vergleich zu Teilaufgabe 2 stark gesunken auf weniger als ein Zehntel. Dies ergibt sich dadurch, dass nun doppelt so viele Fische krank sind, d.h. die Wahrscheinlichkeit einen Fehler zu machen, ist unwahrscheinlicher. 

Teilaufgabe 4:

Bestimme den Testaufbau

Formuliere dazu die Null- und die Gegenhypothese %%H_0, H_1%%.

Die Nullhypothese wird in der Regel so gewählt, dass man seine eigene Hypothese als Gegenhypothese setzt, um diese dann signifikant zu beweisen.
Demnach ist die Nullhypothese %%H_0%%: %%p\;=\;2\% %% . Die Gegenhypothese ist demnach %%H_1%%: %%p\;>\;2\% %% .

Setze den Fehler 1. Art kleinergleich dem dem angegebenen Signifikanzniveau von 5%.

Betrachte dazu die folgende Tabelle:

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;& 0, \dots ,k& k+1, \dots ,100 \\ \hline H_0:p=0,02& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0,05}\\ \hline H_1:p>0,02 \; & \; & \\ \hline \end{array}%%

Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.

%%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k+1)\;\leq0,05%%

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

%%\Leftrightarrow\;1-%% %%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05%%

%%\left|-1\right.%%  auf beiden Seiten

%%\Leftrightarrow -\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;-0,95%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%% auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

%%\Leftrightarrow\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\geq\;0,95%%

Suche in der kumulativen Tabelle den kleinsten Wert (k-1) mit n=100 p=0,2 für den der Wert gerade größer als 0,95 ist.

%%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)\;\approx\;0,94917\;%%

%%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;5)\;\approx\;0,98452\;%%

%%\Rightarrow k= 5%%

Damit ist die Entscheidungsregel:

Nehme die Nullhypothese bei 5 oder weniger Treffern an und lehne die Nullhypothese bei 6 oder mehr Treffern ab.

Herr G sollte also bei sechs oder mehr veränderten Fischen Klage einreichen.

Teilaufgabe 5:

Es sind nun nicht mehr 100 sondern 200 betrachtete Fische.

Passe den Test den neuen Gegebenheiten an.

%%\Leftrightarrow n=200%%

Setze den Fehler 1. Art kleinergleich dem angegebenen Signifikanzniveau von 5%.

Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.

%%\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k+1)\;\leq0,05%%

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

%%\Leftrightarrow\;1-%% %%\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05%%

%%\left|-1\right.%%  auf beiden Seiten

%%\Leftrightarrow-\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;-0,95%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%% auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

%%\Leftrightarrow\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\geq\;0,95%%

Suche in der kumulativen Tabelle den kleinsten Wert (k-1) mit n=200, p=0,2 für den der Wert gerade größer als 0,95 ist.

%%\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;6)\;\approx\;0,89144\;%%

%%\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;7)\;\approx\;0,95066\;%%

%%\Rightarrow k=7%%

Damit ist die Entscheidungsregel:

Nehme die Nullhypothese bei 7 oder weniger Treffern an und lehne die Nullhypothese bei 8 oder mehr Treffern ab.

Teste ob die genannte Anzahl von 8 Treffern im Ablehnungsbereich liegt.

Nach der Entscheidungsregel bedeuten 8 kranke Fische, dass die Nullhypothese verworfen werden muss und damit kann signifikant angenommen werden, dass sich die Anzahl auf über 2% erhöht hat.

Bemerkung: An dieser Teilaufgabe erkennt man, wie stark eine größere Stichprobe einen Test verbessern kann. Man hätte ja vermuten können, dass es egal ist, ob man 4 von 100 Fischen betrachtet, oder 8 von 200. Diese Aufgabe zeigt, dass eine größere Stichprobe bei gleichem Anteil von Treffern sogar einmal signifikant und einmal nicht signifikant sein kann.

Ein Pharmainstitut behauptet, ein bestimmtes Medikament wirke mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80%. Daraufhin wird das Medikament an 50 Personen verabreicht.

  1. In der ersten Testreihe zeigt das Mittel bei 45 der 50 Personen Wirkung. Ist damit die Behauptung des Pharmainstituts auf dem Signifikanzniveau von 5% bewiesen?

  2. Einige Zeit, nachdem das neue Medikament zugelassen ist, bekommt der angesehene Medizinprofessor Dr. Zweifel den Verdacht, das Pharmainstitut habe die Studie gefälscht und das Mittel wirke doch nicht so gut wie behauptet. Er lässt daraufhin erneut einen Test an 50 Personen durchführen.
    Formuliere für Professor Zweifels Test Nullhypothese und Gegenhypothese.
    Wie muss seine Entscheidungsregel lauten, wenn er seine Vermutung auf dem Signifikanzniveau von 5 % belegen will? 

Teilaufgabe 1:

Berachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%{\mathrm H}_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Das Pharmainstitut versucht natürlich zu beweisen, dass das Medikament gut ist.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil:
%%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}<0,8%%, was bedeutet, dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als 0,8 wirkt.

Formuliere nun die Gegenhypothese %%{\mathrm H}_1%%.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p\geq0,8%% , also dass das Medikament mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % wirkt.

Formuliere den Fehler 1. Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei 50 Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von 80% bei mehr Personen wirkt als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens 5% betragen)

Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;&0 \dots k & k+1 \dots 50 \\ \hline H_0:p<0,8& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0,05}\\ \hline H_1:p\geq 0,8 \; & \; & \\ \hline \end{array}%%

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05^{}%%

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

%%1- \mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\leq\;0,05%%

%%\left|-1\right.%%

%%-\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\leq\;-0,95%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%% auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\geq\;0,95%%

Suche in den Tabellen den kleinsten Wert k-1 bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50 p=0,8) für den der Wert gerade noch größer als 0,95 ist.

Tabellenwerk liefert:

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 43)=0,89660%%;

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 44)=0,95197%%;

%%\Rightarrow\mathrm k-1\;\geq\;44%%

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes.

Die Nullhypothese wird also bei 44 oder wenigern Treffern im Test, also Personen bei denen das Medikament wirkt, angenommen und bei 45 oder mehr abgelehnt.

Im Test wirkte das Medikament bei 45 Personen, das liegt im für das Pharmainstitut günstigen Ablehnungsbereich.

Das Ergebnis der Testreihe ist damit signifikant bewiesen.

Teilaufgabe 2:

Formuliere die Nullhypothese %%{\mathrm H}_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das was man selbst beweisen will in der Gegenhypothese steht. Hier wird versucht zu überprüfen, ob das Medikament nicht doch schlechter wirkt, als behauptet.

Die Nullhypothese ist %%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}\;\geq\;0,8%%, also dass das Medikament mit 80% Wahrscheinlichkeit oder mehr wirkt.

Formuliere die Gegenhypothese %%{\mathrm H}_1%%.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p <0,8%%, also dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als 80% wirkt.

Formuliere den Fehler erster Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei 50 Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von 80% bei weniger Personen wirkt, als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens 5% betragen)

Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;&k+1 \dots 50 & 0 \dots k \\ \hline H_0:p\geq0,8& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0,05}\\ \hline H_1:p<0,8 \; & \; & \\ \hline \end{array}%%

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05%%

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50 p=0,8) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,05 ist.

Tabellenwerk liefert: %%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 34)=0,03080%%; %%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 35)=0,06072%%;

%%\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;34%%

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

Die Nullhypothese wird bei 34 oder weniger Patienten, bei denen das Medikament wirkt, abgelehnt und demnach bei 35 oder mehr Patienten angenommen.

Der Hersteller eines Glücksspielautomaten behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Gewinnkombination %%\mathrm p=0,3%% beträgt. In 200 Spielstunden soll diese Angabe überprüft werden.

  1. Gib die Entscheidungsregel für das Signifikanzniveau %%\mathrm\alpha\leq10\% %% an und berechne den Fehler 1.Art.
    Skizziere grob die Verteilungsfunktion und markiere die markanten Werte.

  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.Art, falls die tatsächliche Wahrscheinlichkeit dieser Gewinnkombination nur %%\mathrm p=0,2%% beträgt.
    Skizziere grob die Verteilungsfunktion und markiere die markanten Werte

Hypothesentest

In dieser Aufgabe setzt du dich mit dem statistischen Hypothesentest und den dabei auftretenden Fehlern 1. und 2. Art auseinander.

Teilaufgabe 1:

Stelle die Testparameter auf.

Lies dazu zuerst die nötigen Werte aus dem Text.

Du verwendest den Binomialtest mit %%n = 200%% und %%p = 0{,}3%%. Die Wahl von %%p%% wird klarer, wenn du die Null-Hypothese formuliert hast.

Stelle jetzt die Null-Hypothese %%H_0%% auf.

Die Null-Hypothese ist die Aussage, die widerlegt werden soll.

%%H_0%% ist also: Der Gewinn hat Wahrscheinlichkeit %%30\% %%.
%%\Rightarrow p = 0{,}3%%

Stelle als nächstes die Gegenhypothese %%H_1%% auf.

Die Gegenhypothese ist die Aussage, die gezeigt werden soll.

%%H_1%% ist also: Der Gewinn hat nicht Wahrscheinlichkeit 30%.
%%\Rightarrow p\ne 0,3%%

Es handelt sich um einen zweiseitigen Test.

Bestimme den Fehler 1. Art.

Das ist die Wahrscheinlichkeit für unerwartet viele bzw. wenige Gewinne, obwohl die Gewinnchance unverändert %%30\% %% ist.

Stelle die Formel auf und setze sie kleiner dem Signifikanzniveau von %%10\% %%.

In einem zweiseitigen Test teilt sich die Formel auf:

i) %%P^{200}_{0,3}(X\le k_1)\le \frac{\alpha}{2}=0{,}05%%

ii) %%P^{200}_{0,3}(X \ge k_2)\le \frac{\alpha}{2}=0{,}05%%

%%\Leftrightarrow 1 - P^{200}_{0,3}(X< k_2)\le 0{,}05%% %%\Leftrightarrow 1-0{,}05 \le P^{200}_{0,3}(X< k_2)%% %%\Leftrightarrow 0{,}95 \le P^{200}_{0,3}(X \le k_2-1)%%

Suche im Tafelwerk jeweils die kleinsten %%k_1, k_2%%, die diese Bedingungen noch erfüllen.

%%\Rightarrow k_1=48,k_2-1=71 \Rightarrow k_2=72%%

Die Entscheidungsregel besteht also aus:
Annahmebereich %%A=\{49,...,71\}%% und

Ablehnungsbereich %%\bar A=\{0,1,...,48,72,73,...,200\}%%.

Bestimme den Fehler 1. Art mit den exakten Werten.

%%P^{200}_{0,3}(X\le 48)+P^{200}_{0,3}(X\ge 72)%%

%%=0{,}03595+(1-P^{200}_{0,3}(X< 72))%%

%%=0{,}03595+1-P^{200}_{0,3}(X\le 71)%%

%%=1{,}03595-0{,}96037=0{,}07558\approx 7,6\% %%

Der Fehler 1. Art tritt mit Wahrscheinlichkeit %%7{,}6\% %% ein.

Teilaufgabe 2:

Durch die Angabe einer zweiten Wahrscheinlichkeit handelt es sich nun um einen Alternativtest. Hier berechnet sich der Fehler 2. Art genau wie der 1. Art, bloß für die andere Hypothese.

Bestimme also die Wahrscheinlichkeit, dass für %%X\in A%% genau %%X%% viele Gewinne verteilt werden, obwohl sich die Trefferwahrscheinlichkeit auf %%0{,}2%% reduziert hat.

%%P^{200}_{0,2}(X\in A) =%%

%%= P^{200}_{0,2}(X\le 71)-P^{200}_{0,2}(X\le 48)%%

Da %%X%% zwischen %%49%% und %%71%% liegen muss.

Lies die Werte aus dem Tafelwerk ab.

%%=1-0{,}93097=0{,}06903\approx 7\% %%

Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, liegt also bei %%7\% %%.

Im vergangenen Jahr wechselten 75% aller Grundschüler eines Schulbezirkes nach der 4. Klasse zur Realschule. Das Schulamt vermutet, dass der Anteil der Schüler, die zur Realschule wechseln auch in diesem Jahr unverändert bleibt. Diese Annahme soll durch eine Befragung von 100 Eltern überprüft werden.

  1. Wie lautet die Entscheidungsregel für %%\mathrm\alpha\leq5\% %% ?
    Berechne und beschreibe den Fehler 1.Art.

  2. Beschreibe und berechne den Fehler 2.Art, wenn dem Zufallsversuch tatsächlich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von %%\mathrm p=0,7%% zugrunde liegt.

Teilaufgabe1:

Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%{\mathrm H}_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Es wird vermutet, dass 75% der Schüler zur Realschule.

Die Nullhypothese geht daher von einer Konstanz des Zustimmungsverhaltens aus:
%%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}=0,75%%.

Formuliere nun die Gegenhypothese %%{\mathrm H}_1%%.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p\ne 0,75%% ,d.h. es wechseln nicht 75% der Schüler auf die Realschule.

Es handelt sich also um einen zweiseitigen Signifikanztest.

Bestimme die Entscheidungsregel.

%%\alpha \le 0,05%%

Der Fehler 1. Art ist also kleiner gleich 5%.

Bestimme also %%k_1,k_2%%, so dass

%%P^{100}_{0,75}(k_2\le X\le k_1)\le 0,05%%

D.h., dass die Anzahl der Schüler X unter dem kritischen Wert %%k_1%% bzw. über dem zweiten kritischen Wert %%k_2%% liegt, obwohl die Wahrscheinlichkeit nach wie vor 75% ist.

%%\Leftrightarrow P^{100}_{0,75}(X\le k_1)+P^{100}_{0,75}(k_2\le X)\le 0,05%%

Teile in zwei Formel auf.

i) %%P^{100}_{0,75}(X\le k_1)\le \frac{\alpha}{2}%%

ii) %%P^{100}_{0,75}(k_2\le X)\le \frac{\alpha}{2}%%

Löse die Gleichungen einzeln.

i) %%P^{100}_{0,75}(X\le k_1)\le 0,025%%

Lässt sich direkt aus dem Tafelwerk ablesen.

%%\Rightarrow k_1=65%%

ii) %%P^{100}_{0,75}(k_2\le X)\le 0,025%%

Formuliere zur Gegenwahrscheinlichkeit um.

%%1- P^{100}_{0,75}(X\le k_2-1)\le 1- 0,975%%

Forme um.

%%P^{100}_{0,75}(X\le k_2-1)\ge 0,975%%

Lässt sich direkt aus dem Tafelwerk ablesen.

%%\Rightarrow k_2-1=83%% %%\Rightarrow k_2=84%%

Der Annahmebereich ist also %%A = \{66,67, ... , 82, 83\}%%, der Ablehnungsbereich ist %%\bar A =\{0,1,2,...,65,84,85,...,100\}.%%

Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn nach wie vor 75% der Schüler auf die Realschule wechseln, aber die Hypothese trotzdem abgelehnt wird.

Verwende die exakten Werte aus dem Tafelwerk um ihn zu berechnen

i) %%P^{100}_{0,75}(X\le 65)=0,01643%%

ii) %%1- P^{100}_{0,75}(X\le 83)=1-0,97889=0,02111%%

Addiere die Teilfehler zusammen.

%%\Rightarrow 0,01643+0,02111= 0,03754\approx 3,8\% %% ist die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen.

Teilaufgabe 2:

Durch die Angabe einer zweiten Wahrscheinlichkeit handelt es sich nun um einen Alternativtest. Hier berechnet sich der Fehler 2. Art genau wie der 1. Art, bloß für die andere Hypothese.

Bestimme also die Wahrscheinlichkeit, dass %%X\in A%% viele Schüler auf die Realschule wechseln, obwohl sich die Trefferwahrscheinlichkeit auf 0,7 reduziert hat.

%%P^{100}_{0,7}(X\in A)=P^{100}_{0,7}(X\le 83)-P^{100}_{0,7}(X\le 65)%%

Da X zwischen 66 und 83 liegen muss.

Lies die Werte aus dem Tafelwerk ab.

%%=0,99903-0,16286=0,83617\approx 83,6\% %%

%%\Rightarrow%% Die Chance einen Fehler 2. Art zu begehen ist in diesem Fall ca. 83,6%

Diese Fehlerwahrscheinlichkeit ist so hoch, weil sich p nur sehr wenig verändert hat. Um das sicher festzustellen müsste man einen sehr viel längeren Test machen.

Es wird vermutet, dass der Anteil der Befürworter des Rauchverbots in der Bevölkerung gegenwärtig bei höchstens %%60 \% %% liegt. Um diese Vermutung zu testen, wird eine Befragung von %%100%% zufällig ausgewählten Personen durchgeführt.

Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens %%5\% %% irrtümlich abgelehnt werden soll?

Formulieren der Nullhypothese

Der Anteil der Befürworter des Rauchverbots in der Bevölkerung soll mit %%p%% bezeichnet werden.

Formuliere die Nullhypothese %%H_0%%!

$$H_0: p \le 0,6$$

Festlegen der Testgröße und des Stichprobenumfangs

Es werden %%100%% Personen zufällig ausgewählt und befragt.

Gib den Stichprobenumfang %%n%% an!

$$n = 100$$

Wähle eine sinnvolle Testgröße %%Z%%!

%%Z%%: "Anzahl der Rauchverbot-Befürworter unter den befragten Personen"

Überlege dir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von %%Z%%!

%%Z%% ist (in guter Näherung) binomialverteilt nach %%B(100;0,6)%%

Bestimmen der Entscheidungsregel

Man wird sich für %%H_0%% entscheiden, wenn nur sehr wenige der %%100%% befragten Personen das Rauchverbot befürworten.

Gib auf der Grundlage dieser Überlegung die Form des kritischen Bereichs %%K%% an!

$$K = \{k;\ldots;100\}$$ $$\overline{K} = \{0;1;\ldots;k-1\}$$

Verwende nun das Signifikanzniveau %%\alpha%%, um eine Bedingung anzugeben, mit der %%k%% bestimmt werden kann!

%%k%% ist die kleinste ganze Zahl, für die %%P_{0,6}^{100}(Z\ge k) \le 0,05%% gilt

Gehe zum Gegenereignis über, um das Tafelwerk nutzen zu können!

$$1-P_{0,6}^{100}(Z\le k-1) \le 0,05$$ $$P_{0,6}^{100}(Z\le k-1) \ge 0,95$$

$$F_{0,6}^{100}(k-1) \ge 0,95$$

Ermittle mithilfe eines geeigneten Tafelwerks den Wert von %%k%%!

$$k = 69$$

Gib den Annahme- und Ablehnungsbereich an!

$$\overline{K} = \{0;1;\ldots;68\}$$ $$K = \{69;\ldots;100\}$$

Formuliere einen Antwortsatz!

Somit lautet die Entscheidungsregel: Wenn mindestens %%69%% der befragten Personen das Rauchverbot befürworten, wird die Vermutung abgelehnt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel die Vermutung angenommen, obwohl der Anteil der Rauchverbot-Befürworter tatsächlich %%70\% %% beträgt?

Berechnen des Fehlers 2. Art

%%H_0%% angenommen: %%Z\in\overline{K}%%, also %%Z\le 68%%

Befürworter-Anteil %%70\% %%: %%p=0,7%%

Gib zunächst die zu berechnende Wahrscheinlichkeit an!

$$P_{0,7}^{100}(Z\le 68) = F_{0,7}^{100}(68) = ?$$

Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe eines geeigneten Tafelwerks!

$$F_{0,7}^{100}(68) = 0,3668\ldots$$

$$F_{0,7}^{100}(68) \approx 36,7\,\%$$

Formuliere einen Antwortsatz!

Die Nullhypothese wird mit einer Wahrscheinlichkeit von %%36,7\,\% %% irrtümlich angenommen.

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