Aufgaben zu Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion

Aufgaben
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 15 Fragen, mit jeweils 5 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Aufgabe richtig zu beantworten, ist also 0,2.Die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion sind gegeben durch:

%%k%%

8

9

10

11

12

13

14

15

%%P(X \leq k)%%

0,711

0,939

0,969

0,982

0,989

0,992

0,999

1
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Zu text-exercise-group 29921:
Nish 2019-08-04 18:25:45+0200
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Alle Lösungen sollten mal nach den aktuellen Qualitätsrichtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden. Zum Beispiel werden Überschriften nicht mehr verlinkt. Das wäre super!

LG,
Nish
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Zu text-exercise-group 29921: Angabe korrekter ausformulieren
Renate 2014-09-11 22:41:12+0200
In der Angabe wird von einer Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion gesprochen, und der Buchstabe X verwendet.
Ich finde, wir sollten nicht so schnell vorgehen, sondern X wirklich "sauber" einführen. Hier steht nämlich gar nicht da, dass es eine Zufallsgröße ist und was sie ausdrücken soll (wahrscheinlich: X ist die Anzahl der richtig beantworteten Fragen?).
Und soweit ich sehe, ist in der angegebenen Tabelle doch nur die Verteilungsfunktion angegeben, oder ist das ein anderer Sprachgebrauch, in dem die "Verteilungsfunktion" "Wahrscheinlichkeitsfunktion" genannt wird (ich weiß es aber nicht, ob es das gibt)?
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 10 Aufgaben richtig

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 10 Aufgaben richtig beantwortet sind:
P(X≥10)=1−P(X≤9)=1−0,939=0,061.\displaystyle P(X \geq 10)=1-P(X \leq 9)=1-0{,}939=0{,}061.
Mindestens 10 Aufgaben richtig zu haben, ist das Gegenereignis dazu, höchstens 9 richtig zu haben.
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 13 Aufgaben richtig beantwortet sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 13 Aufgaben richtig beantwortet sind, kann direkt aus der gegebenen Tabelle abgelesen werden:
P(X≤13)=0,992.\displaystyle P(X \leq 13)=0{,}992.
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 15 Aufgaben richtig beantwortet sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 15 Aufgaben richtig sind:
P(X=15)=P(X≤15)−P(X≤14)=1−0,999=0,001\displaystyle P(X=15)=P(X \leq 15)-P(X \leq 14)=1-0{,}999=0{,}001
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen 9 und 12 Aufgaben richtig beantwortet sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen 9 und 12 Aufgaben richtig sind:
P(9≤X≤12)=P(8<X≤12)=P(X≤12)−P(X≤8)=0,989−0,711=0,278.\displaystyle P(9 \leq X \leq 12)=P( 8 < X \leq 12)=P(X \leq12)-P(X \leq8)=0{,}989-0{,}711=0{,}278.

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Die Zufallsvariable %%X%% beschreibt die Anzahl der Haushaltsmitglieder bei einer Stichprobe und habe die Verteilung:

%%k%%

1

2

3

4

5

%%P(X=k)%%

0,4

0,2

0,2

0,1

0,1

a) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Mehrpersonenhaushalt zu erhalten.
b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der mehr als 2 Mitglieder hat.
c) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der höchstens 4 Mitglieder hat.
d) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der zwischen 2 und 4 Mitglieder hat.

Verteilungsfunktion bestimmen

Teilaufgabe a)

Wahrscheinlichkeit für einen Mehrpersonenhaushalt:

%%P(X>1)=1-P(X\leq1)=1-P(X=1)=1-0{,}4=0{,}6%%.

Da es mindestens eine Person in dem Haushalt gibt, gilt: %%P(X \leq 1)=P(X=1)%%.

Teilaufgabe b)

Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Haushalt mit mehr als 2 Personen:

%%P(X > 2) = 1-P(X \leq 2)=1- P(X=1)-P(X=2) =1- 0{,}4-0{,}2=0{,}4%%.

Teilaufgabe c)

Wahrscheinlichkeit für einen Haushalt mit höchstens 4 Personen:

%%P(X \leq 4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0{,}4+0{,}2+0{,}2+0{,}1=0{,}9%%.

Teilaufgabe d)

Wahrscheinlichkeit für einen Haushalt mit 2–4 Personen:

%%P(2 \leq X \leq 4)=P( 1 < X \leq 4)=P(X \leq 4) -P(X \leq 1)=0{,}9-0{,}4=0{,}5%%.

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Es wird einmal mit zwei Würfeln geworfen, wobei angenommen wird, dass die Würfel beide fair sind. Die Augenzahl beider Würfel wird addiert.Bestimme die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable "Augensumme zweier Würfel"!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion

Um die Verteilungsfunktion FXF_X zu berechnen, berechne zuerst den Ergebnisraum des Zufallsexperimentes und die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Augenzahlen!

k

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P(X=k)

%%\frac{1}{36}%%

%%\frac{2}{36}%%

%%\frac{3}{36}%%

%%\frac{4}{36}%%

%%\frac{5}{36}%%

%%\frac{6}{36}%%

%%\frac{5}{36}%%

%%\frac{4}{36}%%

%%\frac{3}{36}%%

%%\frac{2}{36}%%

%%\frac{1}{36}%%
Berechne daraus die Verteilungsfunktion durch Addition der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
FX(2)=P(X≤2)=P(X=2)=136F_X(2)= P(X \leq 2)= P(X=2)=\frac{1}{36} FX(3)=P(X≤3)=P(X=2)+P(X=3)=112F_X(3)=P(X \leq 3)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{12} FX(4)=P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=16F_X(4)=P(X \leq 4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=\frac{1}{6} FX(5)=P(X≤5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1036F_X(5)=P(X \leq 5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=\frac{10}{36} FX(6)=P(X≤6)=P(X=2)+..+P(X=6)=1536F_X(6)=P(X \leq 6)=P(X=2)+..+P(X=6)=\frac{15}{36} FX(7)=P(X≤7)=P(X=2)+..+P(X=7)=712F_X(7)=P(X \leq 7)=P(X=2)+..+P(X=7)=\frac{7}{12} FX(8)=P(X≤8)=P(X=2)+..+P(X=8)=2636F_X(8)=P(X \leq 8)=P(X=2)+..+P(X=8)=\frac{26}{36} FX(9)=P(X≤9)=P(X=2)+..P(X=9)=56F_X(9)=P(X \leq 9)=P(X=2)+..P(X=9)=\frac{5}{6} FX(10)=P(X≤10)=P(X=2)+..+P(X=10)=1112F_X(10)=P( X \leq 10 )=P(X=2)+..+P(X=10)=\frac{11}{12} FX(11)=P(X≤11)=P(X=2)+..+P(X=11)=3536F_X(11)=P(X \leq 11)=P(X=2)+..+P(X=11)=\frac{35}{36} FX(12)=P(X≤12)=P(X=2)+..+P(X=12)=1F_X(12)=P(X\leq 12)=P(X=2)+..+P(X=12)=1
Formal schreibt man die Verteilungsfunktion folgendermaßen:
$${\mathrm F}_\mathrm X\left(\mathrm k\right)=\begin{cases} 0 \text{ für }\mathrm 2>k \\ \frac{1}{36} \text{ für }\mathrm 2 \leq k < 3 \\ \frac{1}{12} \text{ für } 3 \leq k < 4 \\ \frac{1}{6} \ \text{ für } 4 \leq k <5 \\ \frac{10}{36} \text{ für } 5 \leq k <6 \\ \frac{15}{36} \text{ für } 6 \leq k <7 \\ \frac{7}{12} \text{ für } 7 \leq k <8 \\ \frac{26}{36} \text{ für } 8 \leq k < 9 \\ \frac{5}{6} \text { für } 9 \leq k < 10 \\\frac{11}{12} \text{ für } 10 \leq k <11 \\ \frac{35}{36} \text{ für } 11 \leq k <12 \\ 1 \text { für } k \leq 12\end{cases}$$
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Man wirft eine Münze dreimal. Die Zufallsgröße X gibt an, wie oft dabei "Zahl" geworfen wurde. Gib die Verteilungsfunktion an und berechne:

a) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 mal Zahl geworfen wird.
b) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 1 mal Zahl geworfen wird.
c) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 mal Zahl geworfen wird.

Verteilungsfunktion und Zufallsgröße

Der Ergebnisraum ist hier

%%\Omega=\{\{\text K,\text K, \text K\},\{\text K,\text K, \text Z\},\{\text K,\text Z, \text Z\},\{\text Z,\text Z, \text Z\}\}%% .

Die Zufallsgröße %%\text X%% ordne jedem Ergebnis die Anzahl an "Zahl-Würfen" zu, also

%%\text X(\{\text K,\text K, \text K\})=0%%,

%%\text X(\{\text K,\text K, \text Z\})=1%%,

%%\text X(\{\text K,\text Z, \text Z\})=2%% und

%%\text X(\{\text Z,\text Z, \text Z\})=3%%.

Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Werte sind

%%\text P(\text X=0)=\frac18%%,

%%\text P(\text X=1)=\frac38%%,

%%\text P(\text X=2)=\frac38%% und

%%\text P(\text X=3)=\frac18%% .

Teilaufgabe a)

Mindestens zwei mal Zahl zu werfen ist das Gegenereignis zu höchstens einmal Zahl zu werfen. Also ist die Wahrscheinlichkeit

%%\text P(\text X\geq2)=1-\text P(\text X\leq1)=1-P(\text X=1)-P(\text X=0)=1-\frac38-\frac18=\frac12%% .

Teilaufgabe b)

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens einmal Zahl ist

%%\text P(\text X\leq1)=\text P(\text X=1)+\text P(\text X=0)=\frac38+\frac18=\frac12%%

Teilaufgabe c)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei mal Zahl ist

%%\text P(\text X=2)=\frac38%% .

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In einer Urne befinden sich 5 Kugeln, davon %%x%% rote. Man zieht 5 Kugeln mit Zurücklegen. Die Zufallsgröße %%X%% gibt an, wieviele rote Kugeln gezogen werden.

  1. Berechne %%P(X=3)%% in Abhängigkeit von %%x%%.
  2. Bestimme die Verteilungsfunktion %%F_X(k)%% für %%x=4%%.
  3. Bei %%x=4%%: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
    • höchstens 3 rote Kugeln gezogen werden?
    • mindestens 4 rote Kugeln gezogen werden?
    • keine rote Kugel gezogen wird?
  • Bei %%x=4%%: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
    • mehr als 2 aber höchstens 4 rote Kugeln gezogen werden?
    • mindestens 2 aber weniger als 5 rote Kugeln gezogen werden?
    • höchstens 1 oder mehr als 3 rote Kugeln gezogen werden?

Teilaufgabe 1: Wahrscheinlichkeit bestimmen

gesucht: %%P(X=3) = \dots?%%

Weil man mit Zurücklegen zieht, ist die Zufallsgröße %%X%% binomialverteilt.

%%P(X=3)=B(5,\frac{x}{5},3)%%
%%\hphantom{P(X=3)}=\binom{5}{3}\cdot\left( \frac{x}{5} \right) ^3\cdot\left(\frac{5-x}{5}\right)^2%%
%%\hphantom{P(X=5)}=…=2\cdot\displaystyle\frac{x^3\cdot(5-x)^2}{625}%%

Teilaufgabe 2: Verteilungsfunktion bestimmen

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Ziehen eine rote Kugel zu ziehen.

Bei %%x=4%% folgt %%p=\frac45=0,8%%.

Bestimme nun die einzelnen Funktionswerte der Verteilungsfunktion.

%%F_X(0)=P(X\leq0)=B(5,\frac45,0)%%
%%\hphantom{F_X(0)}=\binom50\cdot\left(\frac45\right)^0\cdot\left(\frac15\right)^5=\left(\frac15\right)^5%%
%%\hphantom{F_X(0)}=0,00032%%

%%F_X(1)=P(X\leq1)=B(5,\frac45,1)+B(5,\frac45,0)%%
%%\hphantom{F_X(1)}=\binom51\cdot\left(\frac45\right)^1\cdot\left(\frac15\right)^4+0,00032%%
%%\hphantom{F_X(1)}=5\cdot\frac45\cdot\frac1{5^4}+0,00032=%%
%%\hphantom{F_X(1)}=\frac{4}{5^4}+0,00032=0,00672%%

…

%%F_X(5)=P(X\leq5)%%
%%\hphantom{F_X(1)}=B(5,\frac45,5)+B(5,\frac45,4)+B(5,\frac45,3)%% %%\hphantom{F_X(1)}+B(5,\frac45,2)+B(5,\frac45,1)+B(5,\frac45,0)%% %%\hphantom{F_X(1)}=1%%

Fasse die Fälle zusammen.

%%F_X(k)= \begin{cases} 0,&\text{wenn}&k<0\\ 0,00032,&\text{wenn}&0\leq k<1\\ 0,00672,&\text{wenn}&1\leq k<2\\ 0,05792,&\text{wenn}&2\leq k<3\\ 0,26272,&\text{wenn}&3\leq k<4\\ 0,67232,&\text{wenn}&4\leq k<5\\ 1,&\text{wenn}&k\geq 5 \end{cases}%%

Teilaufgabe 3

  • "höchstens 3"

Du hast bereits die Verteilungsfunktion aufgestellt. Lies daraus das Ergebnis ab.

%%P(X\leq 3)=F_X(3)=0,26272%%

  • "mindestens 4"

Forme um zu Rechnungen mit %%P(X \leq \dots)%%: "Mindestens 4" ist das Gegenteil von "höchstens 3", daher folgt:

%%P(X\geq 4)=1-P(X\leq3)%%

Setze nun das Ergebnis aus der Verteilungsfunktion ein.

%%\hphantom{P(X\geq 4)}=1-0,26272=0,73728%%

  • "keine"

Lies den Wert %%F_X(0)%% aus der Verteilungsfunktion ab.

%%P(X=0)=P(X\leq 0)=0,00032%%

Teilaufgabe 4

  • "mehr als 2 und höchstens 4"

Forme um zu Rechnungen mit %%P(X\leq \dots)%%: "mehr als 2" ist das Gegenteil von "höchstens 2". Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.

%%\begin{array}{rl}P(2<X\leq 4)&=P(X\leq 4)-P(X\leq 2)\\ &=F_X(4)-F_X(2)\\ &=0,67232-0,0579\\ &=0,6144 \end{array}%%

  • "mindestens 2 und weniger als 5"

Forme um zu Rechnungen mit %%P(X\leq \dots)%%: , "weniger als 5" entspricht "höchstens 4".

"Mindestens 2" entspricht "mehr als 1", was das Gegenteil von "höchstens 1" ist.

%%\begin{array}{rl} P(2\leq X<5)&=P(2\leq X \leq 4)= P(1<X\leq4)\\ &=P(X\leq 4)-P(X\leq 1)\\ \end{array}%%

Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.

%%\begin{array}{rl}\hphantom{P(2\leqX<5)}&=F_X(4)-F_X(1)\\ &=0,67232-0,00672\\ &=0,6656 \end{array}%%

  • "höchstens 1 oder mehr als 3"

Berechne die Wahrscheinlichkeit der Fälle höchstens 1 und mehr als 3. Wegen "oder" musst du diese Wahrscheinlichkeiten dann addieren.

%%P(X\leq 1) + P(X>3)%%

Forme um zu Rechnungen mit %%P(X\leq \dots)%%: "mehr als 3" ist das Gegenteil von "höchstens 3". Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.

%%=P(X\leq 1)+ (1-P(X\leq 3))%%
%%=0,00672+(1-0,26272)=0,744%%

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Einem Paket mit Gläsern werden 4 Gläser entnommen. Es soll geprüft werden wieviele Gläser schadhaft sind. Man weiß, dass 85% der Gläser eines Paketes in Ordnung sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X:"Anzahl der ganzen Gläser unter den entnommenen 4 Gläsern".

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße XX beschreibt die Anzahl der ganzen Gläser unter den 4 gezogenen Gläsern, XX kann also den Wert 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Die Gläser werden nicht unterschieden. Ein Glas ist mit der Wahrscheinlichkeit p=0,85p=0{,}85 ganz. Die Wahrscheinlichkeit P(X=k)P(X=k) berechnet sich mit der Formel: pk(1−p)4−kp^k(1-p)^{4-k}. Diese Zahl muss noch mit der Anzahl der Möglichkeiten multipliziert werden. Z. B. kann ein defektes Glas als 1. Glas, als 2. Glas, als 3. Glas oder als 4. Glas gezogen werden, es gibt also hier 4 Möglichkeiten, somit ist:
P(X=4)=4⋅0,854⋅0,150=0,522P(X=4)=4\cdot0,85^4\cdot0,15^0=0,522
P(X=3)=4⋅0,853⋅0,151=0,368474P(X=3)=4\cdot 0,85^3\cdot 0,15^1=0,368474
P(X=2)=4⋅0,852⋅0,152=0,0975P(X=2)=4\cdot0,85^2\cdot0,15^2=0,0975
P(X=1)=4⋅0,851⋅0,153=0,011475P(X=1)=4\cdot0,85^1\cdot0,15^3=0,011475
P(X=0)=4⋅0,850⋅0,154=0,0005P(X=0)=4\cdot0,85^0\cdot0,15^4=0,0005
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable XX sieht also so aus:

%%k%%

0

1

2

3

4

%%P(X=k)%%

0,0005

0,011475

0,0975

0,3685

0,522
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