Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 15 Fragen, mit jeweils 5 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Aufgabe richtig zu beantworten, ist also 0,2. Die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion sind gegeben durch:
%%k%% |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
%%P(X \leq k)%% |
0,711 |
0,939 |
0,969 |
0,982 |
0,989 |
0,992 |
0,999 |
1 |
Berechne:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 10 Aufgaben richtig
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 10 Aufgaben richtig beantwortet sind:
%%P(X \geq 10)=1-P(X \leq 9)=1-0{,}939=0{,}061.%%
Mindestens 10 Aufgaben richtig zu haben, ist das Gegenereignis dazu, höchstens 9 richtig zu haben.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 13 Aufgaben richtig beantwortet sind.
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 13 Aufgaben richtig beantwortet sind, kann direkt aus der gegebenen Tabelle abgelesen werden:
%%P(X \leq 13)=0{,}992%%.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 15 Aufgaben richtig beantwortet sind.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 15 Aufgaben richtig sind:
%%P(X=15)=P(X \leq 15)-P(X \leq 14)=1-0{,}999=0{,}001%%
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen 9 und 12 Aufgaben richtig beantwortet sind.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen 9 und 12 Aufgaben richtig sind:
%%P(9 \leq X \leq 12)=P( 8 < X \leq 12)=P(X \leq12)-P(X \leq8)=0{,}989-0{,}711=0{,}278%%.
Die Zufallsvariable %%X%% beschreibt die Anzahl der Haushaltsmitglieder bei einer Stichprobe und habe die Verteilung:
%%k%% |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
%%P(X=k)%% |
0,4 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
a) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Mehrpersonenhaushalt zu erhalten.
b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der mehr als 2 Mitglieder hat.
c) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der höchstens 4 Mitglieder hat.
d) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der zwischen 2 und 4 Mitglieder hat.
Wahrscheinlichkeit für einen Mehrpersonenhaushalt:
%%P(X>1)=1-P(X\leq1)=1-P(X=1)=1-0{,}4=0{,}6%%.
Da es mindestens eine Person in dem Haushalt gibt, gilt: %%P(X \leq 1)=P(X=1)%%.
Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Haushalt mit mehr als 2 Personen:
%%P(X > 2) = 1-P(X \leq 2)=1- P(X=1)-P(X=2) =1- 0{,}4-0{,}2=0{,}4%%.
Wahrscheinlichkeit für einen Haushalt mit höchstens 4 Personen:
%%P(X \leq 4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0{,}4+0{,}2+0{,}2+0{,}1=0{,}9%%.
Wahrscheinlichkeit für einen Haushalt mit 2–4 Personen:
%%P(2 \leq X \leq 4)=P( 1 < X \leq 4)=P(X \leq 4) -P(X \leq 1)=0{,}9-0{,}4=0{,}5%%.
Es wird einmal mit zwei Würfeln geworfen, wobei angenommen wird, dass die Würfel beide fair sind. Die Augenzahl beider Würfel wird addiert. Bestimme die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable "Augensumme zweier Würfel"!
Um die Verteilungsfunktion %%F_X%% zu berechnen, berechne zuerst den Ergebnisraum des Zufallsexperimentes und die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Augenzahlen!
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
P(X=k) |
%%\frac{1}{36}%% |
%%\frac{2}{36}%% |
%%\frac{3}{36}%% |
%%\frac{4}{36}%% |
%%\frac{5}{36}%% |
%%\frac{6}{36}%% |
%%\frac{5}{36}%% |
%%\frac{4}{36}%% |
%%\frac{3}{36}%% |
%%\frac{2}{36}%% |
%%\frac{1}{36}%% |
Berechne daraus die Verteilungsfunktion durch Addition der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
%%F_X(2)= P(X \leq 2)= P(X=2)=\frac{1}{36}%%
%%F_X(3)=P(X \leq 3)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{12}%%
%%F_X(4)=P(X \leq 4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=\frac{1}{6}%%
%%F_X(5)=P(X \leq 5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=\frac{10}{36}%%
%%F_X(6)=P(X \leq 6)=P(X=2)+..+P(X=6)=\frac{15}{36}%%
%%F_X(7)=P(X \leq 7)=P(X=2)+..+P(X=7)=\frac{7}{12}%%
%%F_X(8)=P(X \leq 8)=P(X=2)+..+P(X=8)=\frac{26}{36}%%
%%F_X(9)=P(X \leq 9)=P(X=2)+..P(X=9)=\frac{5}{6}%%
%%F_X(10)=P( X \leq 10 )=P(X=2)+..+P(X=10)=\frac{11}{12}%%
%%F_X(11)=P(X \leq 11)=P(X=2)+..+P(X=11)=\frac{35}{36}%%
%%F_X(12)=P(X\leq 12)=P(X=2)+..+P(X=12)=1%%
Formal schreibt man die Verteilungsfunktion folgendermaßen:
$${\mathrm F}_\mathrm X\left(\mathrm k\right)=\begin{cases} 0 \text{ für }\mathrm 2>k \\ \frac{1}{36} \text{ für }\mathrm 2 \leq k < 3 \\ \frac{1}{12} \text{ für } 3 \leq k < 4 \\ \frac{1}{6} \ \text{ für } 4 \leq k <5 \\ \frac{10}{36} \text{ für } 5 \leq k <6 \\ \frac{15}{36} \text{ für } 6 \leq k <7 \\ \frac{7}{12} \text{ für } 7 \leq k <8 \\ \frac{26}{36} \text{ für } 8 \leq k < 9 \\ \frac{5}{6} \text { für } 9 \leq k < 10 \\\frac{11}{12} \text{ für } 10 \leq k <11 \\ \frac{35}{36} \text{ für } 11 \leq k <12 \\ 1 \text { für } k \leq 12\end{cases}$$
Man wirft eine Münze dreimal. Die Zufallsgröße X gibt an, wie oft dabei "Zahl" geworfen wurde. Gib die Verteilungsfunktion an und berechne:
a) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 mal Zahl geworfen wird.
b) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 1 mal Zahl geworfen wird.
c) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 mal Zahl geworfen wird.
Der Ergebnisraum ist hier
%%\Omega=\{\{\text K,\text K, \text K\},\{\text K,\text K, \text Z\},\{\text K,\text Z, \text Z\},\{\text Z,\text Z, \text Z\}\}%% .
Die Zufallsgröße %%\text X%% ordne jedem Ergebnis die Anzahl an "Zahl-Würfen" zu, also
%%\text X(\{\text K,\text K, \text K\})=0%%,
%%\text X(\{\text K,\text K, \text Z\})=1%%,
%%\text X(\{\text K,\text Z, \text Z\})=2%% und
%%\text X(\{\text Z,\text Z, \text Z\})=3%%.
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Werte sind
%%\text P(\text X=0)=\frac18%%,
%%\text P(\text X=1)=\frac38%%,
%%\text P(\text X=2)=\frac38%% und
%%\text P(\text X=3)=\frac18%% .
Mindestens zwei mal Zahl zu werfen ist das Gegenereignis zu höchstens einmal Zahl zu werfen. Also ist die Wahrscheinlichkeit
%%\text P(\text X\geq2)=1-\text P(\text X\leq1)=1-P(\text X=1)-P(\text X=0)=1-\frac38-\frac18=\frac12%% .
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens einmal Zahl ist
%%\text P(\text X\leq1)=\text P(\text X=1)+\text P(\text X=0)=\frac38+\frac18=\frac12%%
Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei mal Zahl ist
%%\text P(\text X=2)=\frac38%% .
In einer Urne befinden sich 5 Kugeln, davon %%x%% rote. Man zieht 5 Kugeln mit Zurücklegen. Die Zufallsgröße %%X%% gibt an, wieviele rote Kugeln gezogen werden.
gesucht: %%P(X=3) = \dots?%%
Weil man mit Zurücklegen zieht, ist die Zufallsgröße %%X%% binomialverteilt.
%%P(X=3)=B(5,\frac{x}{5},3)%%
%%\hphantom{P(X=3)}=\binom{5}{3}\cdot\left( \frac{x}{5} \right) ^3\cdot\left(\frac{5-x}{5}\right)^2%%
%%\hphantom{P(X=5)}=…=2\cdot\displaystyle\frac{x^3\cdot(5-x)^2}{625}%%
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Ziehen eine rote Kugel zu ziehen.
Bei %%x=4%% folgt %%p=\frac45=0,8%%.
Bestimme nun die einzelnen Funktionswerte der Verteilungsfunktion.
%%F_X(0)=P(X\leq0)=B(5,\frac45,0)%%
%%\hphantom{F_X(0)}=\binom50\cdot\left(\frac45\right)^0\cdot\left(\frac15\right)^5=\left(\frac15\right)^5%%
%%\hphantom{F_X(0)}=0,00032%%
%%F_X(1)=P(X\leq1)=B(5,\frac45,1)+B(5,\frac45,0)%%
%%\hphantom{F_X(1)}=\binom51\cdot\left(\frac45\right)^1\cdot\left(\frac15\right)^4+0,00032%%
%%\hphantom{F_X(1)}=5\cdot\frac45\cdot\frac1{5^4}+0,00032=%%
%%\hphantom{F_X(1)}=\frac{4}{5^4}+0,00032=0,00672%%
…
%%F_X(5)=P(X\leq5)%%
%%\hphantom{F_X(1)}=B(5,\frac45,5)+B(5,\frac45,4)+B(5,\frac45,3)%% %%\hphantom{F_X(1)}+B(5,\frac45,2)+B(5,\frac45,1)+B(5,\frac45,0)%%
%%\hphantom{F_X(1)}=1%%
Fasse die Fälle zusammen.
%%F_X(k)= \begin{cases} 0,&\text{wenn}&k<0\\ 0,00032,&\text{wenn}&0\leq k<1\\ 0,00672,&\text{wenn}&1\leq k<2\\ 0,05792,&\text{wenn}&2\leq k<3\\ 0,26272,&\text{wenn}&3\leq k<4\\ 0,67232,&\text{wenn}&4\leq k<5\\ 1,&\text{wenn}&k\geq 5 \end{cases}%%
Du hast bereits die Verteilungsfunktion aufgestellt. Lies daraus das Ergebnis ab.
%%P(X\leq 3)=F_X(3)=0,26272%%
Forme um zu Rechnungen mit %%P(X \leq \dots)%%: "Mindestens 4" ist das Gegenteil von "höchstens 3", daher folgt:
%%P(X\geq 4)=1-P(X\leq3)%%
Setze nun das Ergebnis aus der Verteilungsfunktion ein.
%%\hphantom{P(X\geq 4)}=1-0,26272=0,73728%%
Lies den Wert %%F_X(0)%% aus der Verteilungsfunktion ab.
%%P(X=0)=P(X\leq 0)=0,00032%%
Forme um zu Rechnungen mit %%P(X\leq \dots)%%: "mehr als 2" ist das Gegenteil von "höchstens 2". Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.
%%\begin{array}{rl}P(2<X\leq 4)&=P(X\leq 4)-P(X\leq 2)\\ &=F_X(4)-F_X(2)\\ &=0,67232-0,0579\\ &=0,6144 \end{array}%%
Forme um zu Rechnungen mit %%P(X\leq \dots)%%: , "weniger als 5" entspricht "höchstens 4".
"Mindestens 2" entspricht "mehr als 1", was das Gegenteil von "höchstens 1" ist.
%%\begin{array}{rl} P(2\leq X<5)&=P(2\leq X \leq 4)= P(1<X\leq4)\\ &=P(X\leq 4)-P(X\leq 1)\\ \end{array}%%
Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.
%%\begin{array}{rl}\hphantom{P(2\leqX<5)}&=F_X(4)-F_X(1)\\ &=0,67232-0,00672\\ &=0,6656 \end{array}%%
Berechne die Wahrscheinlichkeit der Fälle höchstens 1 und mehr als 3. Wegen "oder" musst du diese Wahrscheinlichkeiten dann addieren.
%%P(X\leq 1) + P(X>3)%%
Forme um zu Rechnungen mit %%P(X\leq \dots)%%: "mehr als 3" ist das Gegenteil von "höchstens 3". Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.
%%=P(X\leq 1)+ (1-P(X\leq 3))%%
%%=0,00672+(1-0,26272)=0,744%%
Einem Paket mit Gläsern werden 4 Gläser entnommen. Es soll geprüft werden wieviele Gläser schadhaft sind. Man weiß, dass 85% der Gläser eines Paketes in Ordnung sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X:"Anzahl der ganzen Gläser unter den entnommenen 4 Gläsern".
Die Zufallsgröße %%X%% beschreibt die Anzahl der ganzen Gläser unter den 4 gezogenen Gläsern, %%X%% kann also den Wert 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Die Gläser werden nicht unterschieden. Ein Glas ist mit der Wahrscheinlichkeit %%p=0{,}85%% ganz. Die Wahrscheinlichkeit %%P(X=k)%% berechnet sich mit der Formel: %%p^k(1-p)^{4-k}%%. Diese Zahl muss noch mit der Anzahl der Möglichkeiten multipliziert werden. Z. B. kann ein defektes Glas als 1. Glas, als 2. Glas, als 3. Glas oder als 4. Glas gezogen werden, es gibt also hier 4 Möglichkeiten, somit ist: %%P(X=3)=4\cdot0{,}85^3\cdot0{,}15^1=0{,}368474%%. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable %%X%% sieht also so aus:
%%k%% |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
%%P(X=k)%% |
0,0005 |
0,011475 |
0,0975 |
0,3685 |
0,522 |
