Aufgaben zu Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion

Hier findest du Aufgaben zu Zufallsgrößen und deren Verteilungsfunktionen. Schaffst du sie alle?

1
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 15 Fragen, mit jeweils 5 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Aufgabe zufällig richtig zu beantworten, ist also 0,2. Die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion sind gegeben durch:
$k$
1
2
3
4
5
6
7
8
$P(X \leq k)$
0,167
0,398
0,648
0,836
0,939
0,982
0,996
0,999
Berechne:
1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 5 Aufgaben richtig sind.
2. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 6 Aufgaben richtig beantwortet sind.
3. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 15 Aufgaben richtig beantwortet sind.
4. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen 5 und 8 Aufgaben richtig beantwortet sind.
2
Es wird einmal mit zwei Würfeln geworfen, wobei angenommen wird, dass die Würfel beide fair sind. Die Augenzahl beider Würfel wird addiert. Bestimme die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable "Augensumme zweier Würfel"!
3
Einem Paket mit Gläsern werden 4 Gläser entnommen. Es soll geprüft werden wie viele Gläser schadhaft sind. Man weiß, dass 85% der Gläser eines Paketes in Ordnung sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X:"Anzahl der ganzen Gläser unter den entnommenen 4 Gläsern".
4
In einer Urne befinden sich 5 Kugeln, davon $x$ rote. Man zieht 5 Kugeln mit Zurücklegen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele rote Kugeln gezogen werden.
1. Berechne $P(X=3)$ in Abhängigkeit von $x$ .
2. Bestimme die Verteilungsfunktion $F_X(k)$ für $x=4$ .
3. Bei $x=4$ : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
  höchstens 3 rote Kugeln gezogen werden?
  mindestens 4 rote Kugeln gezogen werden?
  keine rote Kugel gezogen wird?
4. Bei $x=4$ : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
  mehr als 2 aber höchstens 4 rote Kugeln gezogen werden?
  mindestens 2 aber weniger als 5 rote Kugeln gezogen werden?
  höchstens 1 oder mehr als 3 rote Kugeln gezogen werden?
5
Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Haushaltsmitglieder bei einer Stichprobe und habe die Verteilung:
$k$
1
2
3
4
5
$P(X=k)$
0,4
0,2
0,2
0,1
0,1
1. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Mehrpersonenhaushalt zu erhalten.
2. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der mehr als 2 Mitglieder hat.
3. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der höchstens 4 Mitglieder hat.
4. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der 2 bis 4 Mitglieder hat.
6
Man wirft eine Münze dreimal. Die Zufallsgröße X gibt an, wie oft dabei "Zahl" geworfen wurde. Gib die Verteilungsfunktion an und berechne:
1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 mal Zahl geworfen wird.
2. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 1 mal Zahl geworfen wird.
3. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 mal Zahl geworfen wird.

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$P(X \leq k)$	0,167	0,398	0,648	0,836	0,939	0,982	0,996	0,999

$k$	1	2	3	4	5
$P(X=k)$	0,4	0,2	0,2	0,1	0,1

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