Aufgaben

Berechne den Erwartungswert der Zufallsvariable.

Ein 6-seitiger Laplace-Würfel wird geworfen. Die Zufallsvariable gibt die Augenzahl eines Wurfes wieder.

Hier ist %%\Omega=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}%% und %%\mathrm X(\mathrm\omega)=\mathrm\omega%% .

Benutze die Formel für den Erwartungswert:

%%\mathrm{E(X) = \sum\limits_{k\in \Omega} k \cdot P(X=k)} = \\%%

Setze die Werte ein.

%%=1\cdot \frac16 + 2\cdot \frac16 + 3\cdot \frac16 + 4\cdot \frac16 + 5\cdot \frac16 + 6\cdot \frac16 =\\%%

Klammere aus und vereinfache.

%%=\frac16 \cdot (1+2+3+4+5+6) = \frac16 \cdot 21 \\%%

%%=3,5%%

Bei einem Glückspiel wird eine Münze einmal geworfen. Bei Zahl gewinnst du 5 Euro und bei Kopf verlierst du 6 Euro. Die Zufallsvariable gibt den Gewinn bei einem Münzwurf an.

Hier ist %%\Omega=\{K,Z\}%%, %%\displaystyle\text X(\omega)=\begin{cases}\begin{array} {l l} 5 & ,\text{für } \omega=K\\-6 & ,\text{für }\omega=Z\end{array}\end{cases}%% und %%\text P(\text X=\text k)%% jeweils %%\displaystyle\frac12%%.

Benutze die Formel für den Erwartungswert.

%%\displaystyle\mathrm{E(X)=\sum\limits_{k\in \Omega} k \cdot P(X=k)}%%

Setze die Werte ein.

%%\displaystyle= 5 \cdot \frac12 + (-6) \cdot \frac12%%

Klammere aus und vereinfache.

%%\displaystyle=\frac12 (5-6) = - \frac12%%

Du erwartest also einen Verlust von %%0,5%%€ pro Wurf.

Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Die Zufallsvariable gibt an, wie oft die Zahl 3 gefallen ist.

Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette beträgt %%n\cdot p%%. Hier ist n=20 und p die Wahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Wurf eine 3 zu werfen, also %%\frac16%%.

%%\Rightarrow \text E(\text X)=20\cdot\frac16=\frac{20}{6}\approx3,33%%

Alternative Rechnung

Bei diesem Experiment handelt es sich um eine Bernoulli-Kette, bei dem jeder Würfelwurf bernoulli-verteilt ist. Die "Trefferwahrscheinlichkeit" beträgt %%\frac16%% (also eine 3 zu würfeln), während man mit Wahrscheinlichkeit %%\frac56%% nicht "trifft". Bezeichne die Zufallsvariable der Bernoulli-Kette mit %%\mathrm X%% und die bernoulli-verteilten Würfe mit %%\mathrm{X_k}%% und berechne den Erwartungswert mithilfe der Formel für die Binomialverteilung:

%%\text E(\text X)=\sum\limits_{k=1}^{20}\text E(\text X_k)=\sum\limits_{k=1}^{20}\frac16=20\cdot\frac16\approx3,33%%

In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden.

Die Wahrscheinlichkeiten 2,3,4,5 oder 6 weiße Kugeln zu ziehen berechnest du mit dem Urnenmodell. Da sich nur 4 schwarze Kugeln in der Urne befinden, ist es nicht möglich 0 oder 1 weiße Kugel zu ziehen.

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten.

Du ziehst ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße %%\text X%% kombinatorisch berechnen.

  • %%\displaystyle\text P(\text X=2)=\frac{\binom82\cdot\binom44}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=3)=\frac{\binom83\cdot\binom43}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=4)=\frac{\binom84\cdot\binom42}{\binom{12}6}=\frac{15}{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=5)=\frac{\binom85\cdot\binom41}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=6)=\frac{\binom86\cdot\binom40}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.

Benutze nun die Formel für den Erwartungswert.

%%\displaystyle\text E(\text X)=\sum\limits_{k=2}^{6} k\cdot \text P(\text X=k)%%

Setze die Werte ein.

%%\displaystyle=2 \cdot \frac{1}{33} + 3 \cdot \frac{8}{33} + 4 \cdot \frac{15}{33} + 5 \cdot \frac{8}{33} + 6 \cdot \frac{1}{33}%%

Vereinfache.

%%\displaystyle=\frac{132}{33}=4%%

Beim Ziehen von 6 Kugeln erwartest du also 4 weiße Kugeln zu ziehen.

Auf einem Jahrmarkt gibt es einen Stand mit Losen. In einer Lostrommel befinden sich 10 Lose, unter denen 6 Gewinnlose und 4 Nieten sind.
Berechne für 5-maliges Ziehen eines Loses, wobei die Lose nicht zurückgelegt werden, den Erwartungswert für

  1. die Zufallsgröße %%X%%: "Anzahl der Gewinnlose"
  2. die Zufallsgröße %%Y%%: "Anzahl der Nieten"

Teilaufgabe 1

%%X%%: Anzahl der Gewinnlose unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert %%E(X)%%

Für den Erwartungswert einer (diskreten) Zufallgröße gibt es eine Formel, bei der

  • alle vorkommenden Werte von %%X%% jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden,
  • und dann alle diese Produkte addiert werden.

Das heißt: Du brauchst jetzt als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße %%X%%.

Überlege dir dazu zunächst das richtige Modell für diese Aufgabe, d. h.:

  • mit oder ohne Zurücklegen?
  • mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?

Urnenmodell für diese Aufgabe:

  • Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
  • aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).

Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen:

Für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung: $$P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$$ für die Wahrscheinlichkeit, genau k schwarze Kugeln zu erhalten.

Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten

$$P(X=0)=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{1\cdot 0}{252} =0$$

$$P(X=1)=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252} =\frac{1}{42} $$

$$P(X=2)=\frac{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{15\cdot 4}{252} =\frac{60}{252} =\frac{5}{21} $$

$$P(X=3)=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{20\cdot 6}{252}=\frac{120}{252} =\frac{10}{21} $$

$$P(X=4)=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{15\cdot 4}{252}=\frac{60}{252} =\frac{5}{21} $$

$$P(X=5)=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252} =\frac{1}{42} $$

Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

k

0

1

2

3

4

5

P(X=k)

0

%%\frac{6}{252}%%

%%\frac{60}{252}%%

%%\frac{120}{252}%%

%%\frac{60}{252}%%

%%\frac{6}{252}%%

Der Erwartungswert ist also: %%E(X)=0+1 \cdot\frac{6}{252}+ 2 \cdot \frac{60}{252} + 3\cdot\frac{120}{252}+ 4 \cdot \frac{60}{252}+ 5\cdot \frac{6}{252}=\frac{756}{252}= 3 %%

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.

Teilaufgabe 2

%%Y%%: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert %%E(Y)%%

Möglichkeit 1:

Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert %%E(Y)%% sehr schnell so bestimmen:

%%E(Y)=?%%

Da %%X%% die Anzahl der Gewinnlose und %%Y%% die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss %%X+Y%% stets gleich 5 sein.

Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.

%%E(X)+E(Y) =5%%

Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach %%E(Y)%% umstellen,

%%E(Y) =5-E(X)%%

und dann %%E(X)= 3%% einsetzen.

%%E(Y) =5-3=2%%

Möglichkeit 2:

Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen.
Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:

%%Y%%: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert %%E(Y)%%

Damit hast du festgelegt, was %%Y%% ist,

und brauchst für die Berechnung des Erwartungswertes von %%Y%% jetzt wiederum die Formel für den Erwartungswert

%%E(Z)= \sum^{n}_{i=1} z_i \cdot P(Z=z_i)%%

und dazu die Wahrscheinlichkeitsverteilung von %%Y%%.

Überlege dir dazu wieder das geeignete Modell.

Urnenmodell für diese Aufgabe:

  • Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
  • aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind).

Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1.

Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell
"Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln"

die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt: $$P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$$

Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten

$$P(Y=0)=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252} =\frac{1}{42} $$

$$P(Y=1)=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252} =\frac{5}{21} $$

$$P(Y=2)=\frac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{6\cdot 20}{252}=\frac{120}{252} =\frac{10}{21} $$

$$P(Y=3)=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{4\cdot 15}{252} =\frac{60}{252} =\frac{5}{21} $$

$$P(Y=4)=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252} =\frac{1}{42} $$

$$P(Y=5)=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} =\frac{0\cdot 1}{252}=0 $$

Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

k

0

1

2

3

4

5

P(Y=k)

%%\frac{6}{252}%%

%%\frac{60}{252}%%

%%\frac{120}{252}%%

%%\frac{60}{252}%%

%%\frac{6}{252}%%

0

Der Erwartungswert ist also: %%E(Y)=0+1 \cdot\frac{60}{252}+ 2 \cdot \frac{120}{252} + 3\cdot\frac{60}{252}+ 4 \cdot \frac{6}{252}+ 5\cdot 0=2 %%

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.

Bei einem Spiel mit einem Einsatz von 1 Euro wird ein Würfel zweimal geworfen. Der Spieler gewinnt 2 Euro, falls beide Würfel die gleiche Augenzahl zeigen. Berechne den erwartenden Gewinn/Verlust des Spielers.

Um den Erwartungswert zu berechnen, wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung benötigt: Die Zufallsvariable X beschreibt den Gewinn des Spielers.

%%k%%

%%-1%%

%%1%%

%%P(X=k)%%

%%\frac{5}{6}%%

%%\frac16%%

Der Erwartungswert wird dann wie folgt berechnet: %%E(X)= -1 \cdot \frac{5}{6}+ 1 \cdot \frac{1}{6}= -\frac{2}{3}\approx -0,67%%

Der durchschnittliche Verlust eines Spielers beträgt also ca. 67 Cent.

Ein Marmeladenbrot fällt in 60% aller Fälle auf die geschmierte Seite. Berechne die zu erwartende Anzahl an Butterbroten, die auf die belegte Seite fallen, wenn man 3 Brote fallen lässt.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Brote, die auf die belegte Seite fallen. X ist binomialverteilt.

k

0

1

2

3

P(X=k)

0,064

0,288

0,432

0,216

Der Erwartungswert berechnet sich wie folgt:

%%E(X)= 0 \cdot 0,064+1 \cdot 0,288+ 2 \cdot 0,432+ 3 \cdot 0,216=1,8%%

In einem Freizeitpark wird folgendes Glücksspiel angeboten. In einer Urne befinden sich 10 Lose, wobei sich auf 5 Losen der Aufdruck "Niete" und auf dem Rest der Aufdruck "Gewinn" befindet. Gegen einen Einsatz von 2€ kann ein Spieler an folgendem Gewinnspiel teilnehmen: Der Spieler zieht aus der Urne ein Los, zieht er "Gewinn", darf er erneut ziehen, zieht er Niete, hat er sofort verloren. Um zu gewinnen muss er insgesamt dreimal "Gewinn" ziehen. Den Gewinn in Höhe von 8€ erhält er, wenn seine drei Gewinnerlose an der Kasse des Freizeitparks abgibt.

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

  2. Wie hoch muss der Gewinn sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt?

Teilaufgabe 1

Der Spieler gewinnt nur, falls er dreimal hintereinander "Gewinn" zieht. Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen, da der Spieler am Ende des Spieles seine drei Gewinnerlose vorzeigen muss. Daher ist die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug einen "Gewinn" zu ziehen %%\frac{5}{10}%%, beim zweiten Zug %%\frac{4}{9}%% und beim dritten Zug %%\frac3{8}%%. Um die Gewinnwahrscheinlichkeit auszurechnen, musst du diese Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

%%\mathrm{P("Gewinn")}=\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720}=\frac{1}{12}\approx 8,3\% %%

Alternative Rechnung

Der Spieler muss aus den 5 Gewinn-Losen 3 ziehen. Dafür gibt es %%\binom53%% Möglichkeiten. Teile diese durch die Gesamtanzahl an Möglichlkeiten 3 Lose aus 10 zu ziehen und du erhälst die Wahrscheinlichkeit für 3 Gewinn-Lose.

%%\displaystyle\frac{\binom53}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{12}\approx8,3\% %%

Teilaufgabe 2

Das Spiel ist dann fair, wenn der erwartete Gewinn des Spielers 2€ ist. Denn in diesem Fall erhält der Spieler seinen Einsatz von 2€ zurück und macht keinen Verlust, genauso wie der Anbieter des Spieles.

Um den Erwartungswert auszurechnen, braucht man nur den Fall betrachten, dass der Spieler dreimal "Gewinn" zieht, denn nur hier hat er einen Gewinn. In den anderen Fällen ist der Gewinn 0 und dementsprechend muss die Wahrscheinlichkeit hier nicht berechnet werden, da sie bei Berechnung des Erwartungswertes mit 0 multipliziert werden würde. Bezeichne mit %%\text X%% die Zufallsgröße, die den Gewinn des Spieles angibt, d.h. entweder 0 (kein Gewinn) oder y (Gewinn). Nach der Formel für den Erwartungswertes gilt dann:

%%E(X)= 0 \cdot P(X=0) + y \cdot P(X=y)%%

%%P(X=y)%% ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn, sie wurde in Teilaufgabe 1 berechnet.

%%= y \cdot \frac 1{12}%%

Setze den Erwartungswert gleich 2 und löse nach y auf.

%%2= y \cdot \frac 1{12}%%

%%\Rightarrow y=24%%

Also müsste der Gewinn 24€ betragen, um ein faires Spiel zu erhalten.

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