Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X ordnet jeder rellen Zahl k die Wahrscheinlichkeit zu, mit der X höchstens den Wert k annimmt.

Man schreibt für die Verteilungsfunktion zur Zufallsgröße %%X%%:

%%F_X(k):= P\left( X\leq k\right)%%

Eigenschaften

  • %%P(X>k)=1-P(X \leq k)%%
  • %%P(a<X \leq b)=P(X \leq b)-P(X \leq a)%%
  • %%F_X%% ist monoton wachsend
  • %%F_X%% ist rechtsseitig stetig

Rechtsseitig stetig bedeutet, dass der rechtsseitige Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist:

%%\displaystyle \lim_{x \rightarrow k}{F_X(x)}=F_X(k)%%

Beispiele

1.Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augenzahl kleiner als 4 ist? Zeichne ein Säulendiagramm für %%P(X=k)%% und %%F_X(k)=P(X\leq k)%%.

Lösung

Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen:

k

1

2

3

4

5

6

P(X=k)

%%\frac{1}{6}%%

%%\frac{1}{6}%%

%%\frac{1}{6}%%

%%\frac{1}{6}%%

%%\frac{1}{6}%%

%%\frac{1}{6}%%

%%P(X \leq 4) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=\frac23%%

Blau = %%P(X=k)%%

Orange = %%P(X\leq k)%%


2.Ein Spieler einer Fussballmannschaft wird verletzt. Normalerweise dauert die Genesung zwischen 5 und 10 Tagen. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der benötigten Tage für die Heilung. Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch:

k

<5

5

6

7

8

9

10

>10

P(X=k)

0

0,1

0,25

0,31

0,23

0,08

0,03

0

Die Presse möchte wissen, ob der Spieler für das Spiel in 8 Tagen wieder spielfähig ist.

Lösung:

%%P(X \leq 8)= P(X <5) +P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0+0,1+0,25+0,31+0,23=0,89%%


3.Ein Dartspieler trifft das Bullseye mit einer Wahrscheinlichkeit von 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei 5 Würfen mehr als 1 Treffer? Gib außerdem die Verteilungsfunktion an.

Darts

Lösung

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Treffer mit der Binomialverteilung:

k

0

1

2

3

4

5

P(X=k)

0,07776

0,2592

0,3456

0,2304

0,0768

0,01024

%%P(X>1)=1-P(X \leq 1)=1- ( P(X=0)+P(X=1)) =1-P(X=0)-P(X=1) =1-0,07776-0,2592=0,66304%%

Die Verteilungsfunktion %%F_X%% ist gegeben durch:

$${\mathrm F}_\mathrm X\left(\mathrm k\right)=\begin{cases}0 &\text{ für }& k<0 \\ 0,07776 &\text{ für }&\mathrm 0 \leq k <1 \\ 0,33696 &\text{ für }&\mathrm 1\leq k <2 \\ 0,68256 &\text{ für } &\mathrm 2 \leq k <3 \\ 0,91296 &\text{ für }& \mathrm 3 \leq k <4 \\ 0,98976 &\text { für }& \mathrm 4 \leq k < 5 \\ 1 &\text{ für }& k \geq 5 \end{cases}$$

Aufgaben

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Zu article Verteilungsfunktion: Verständnissproblem bei Dart Beispiel
rubiktubik 2016-01-20 19:12:30
Warum wird aus 1−P(X≤1) --> 1−P(X=0)−P(X=1) ? Verstehe ich nicht ganz?
Knorrke 2016-01-21 01:35:32
Hallo rubiktubik,
X≤1bedeutet: Entweder man trifft gar keinen Dart (X=0) oder einen (X=1). Deswegen ist 1-P(X≤1) = 1 - ( P(X=0) + P(X=1) ) und das ist nach dem Auflösen der Klammer 1 - P(X=0) - P(X=1)

Ist das so klarer? Wenn nicht frag einfach nochmal nach! Wir könnten den Zwischenschritt noch einbauen, wenn das dadurch verständlicher wird.

Vielen Dank jedenfalls für die Frage! So sehen wir direkt was verbessert werden muss.

Viele Grüße,
Benni
rubiktubik 2016-01-21 12:11:47
Ok, jetzt ist es klarer! Danke!
Ich glaube zum besseren Verständnis ist es besser den Zwischenschritt noch einzubauen.

Gruß
Michael