Aufgaben

Löse die Bruchgleichung:

%%\frac{2+x}{1-x}=\frac{3x}{2-3x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Bei jeder Bruchgleichung muss man zu Beginn die Definitionsmenge bestimmen.

%%\dfrac{2+x}{1-x}=\dfrac{3x}{2-3x}%%

Kein Nenner darf %%0%% werden.

%%1-x=0 \Leftrightarrow x=1%%

%%2-3x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac23%%

Damit lautet die Definitionsmenge: %%D=\mathbb{Q}\backslash\left\{\dfrac23,1\right\}%%

Bruchgleichung lösen

Bei dieser Bruchgleichung bietet sich das Verfahren Über Kreuz multiplizieren an.

%%\dfrac{2+x}{ \color{red}{1-x}}=\dfrac{3x}{\color{blue}{2-3x}}%%

%%|\cdot (1-x)%% %%|\cdot (2-3x)%%

Zwischenschritt

%%\dfrac{(2+x)\cdot (1-x)\cdot (2-3x)}{1-x}=\dfrac{3x\cdot (1-x)\cdot (2-3x)}{2-3x}%%

Jetzt kann gekürzt werden

%%(2+x)\cdot (2-3x)=3x\cdot (1-x)%%

%%(2+x)\cdot \color{blue}{(2-3x)}=3x\cdot \color{red}{(1-x)}%%

Ausmultiplizieren

%%4-6x+2x-3x^2=3x-3x^2%%

%%\begin{align} 4-6x+2x-3x^2&=3x-3x^2 \\ 4-4x&=3x \\ 4&=7x \\ x&=\dfrac47 \end{align}%%

%%|+3x^2 \\ |+4x \\ |:7%%

Da %%\dfrac47%% in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

%%\mathbb{L}=\left\{\dfrac47\right\}%%

Beim Lösen einer Gleichung der Form %%\displaystyle\frac ab=\frac cd%% muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt %%\displaystyle\frac ab=\frac cd%% ist äquivalent zu %%\displaystyle a\cdot d=b\cdot c%% . Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.

%%\displaystyle\frac3{2x+1}=\frac2{2-x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

%%\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}%%

Keiner der beiden Nenner darf %%0%% werden.

Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die %%0%% in einem der Nenner ergeben würde.

Verboten sind hier also:

  • %%2x+1=0%%
  • %%2-x=0%%

Erste Gleichung lösen!

%%2x+1=0%%

%%|-1%%

%%2x=-1%%

%%|:2%%

%%x=-\dfrac12%%

Zweite Gleichung lösen!

%%2-x=0%%

%%|-2%%

%%-x=-2%%

%%|:(-1)%%

%%x=2%%

Daher müssen die Zahlen %%-\dfrac{1}{2}%% und %%2%% aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist %%D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-0,5;\ 2\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Kennst du schon %%\mathbb R%% ?

Die Defintionsmenge ist %%D=ℝ\backslash\left\{-0,5;\ 2\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

%%\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}\quad%%

Über-Kreuz-Multiplizieren! %%\dfrac ab=\dfrac cd \Leftrightarrow a\cdot d=c\cdot b%%

%%6-3x=4x+2%%

Löse dann die Gleichung durch Umformen nach %%x%% auf.

%%6-3x=4x+2%%

%%|-2+3x%%

%%4=7x%%

%%|:7%%

%%\dfrac{4}7=x%%

Überprüfe jetzt noch, ob %%x=\frac{4}{7}%% in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt %%x=\dfrac{4}{7} \in D%%, also ist die Lösungsmenge %%\mathbb L= \left\{ \dfrac{4}{7}\right\}%%.

%%\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}%%

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

%%\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}%%

Keiner der beiden Nenner darf %%0%% werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner %%0%% ergeben würde.

Verboten sind hier also:

  • %%3+x=0%%
  • %%2x-3=0%%

Löse die erste Gleichung!

%%3+x=0%%

%%|-3%%

%%x=-3%%

Löse die zweite Gleichung!

%%2x-3=0%%

%%|+3%%

%%2x=3%%

%%|:2%%

%%x=\dfrac 32%%

Daher müssen die Zahlen %%-3%% und %%\dfrac{3}{2}%% aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist %%D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-3,\dfrac{3}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Kennst du schon %%\mathbb R%% ?

Die Defintionsmenge ist %%D=ℝ\backslash\left\{-3,\dfrac{3}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

Über-Kreuz-Multiplizieren!

%%(x-2)\cdot(2x-3)=2\cdot x\cdot(3+x)%%

%%2x^2-3x-4x+6=6x+2x^2%%

Löse nun die Gleichung nach %%x%% auf!

%%2x^2-3x-4x+6=6x+2x^2%%

Subtrahiere.

%%2x^2-7x+6=6x+2x^2%%

%%|-2x^2+7x%%

%%6=13x%%

%%|:13%%

%%\dfrac 6{13}=x%%

Überprüfe jetzt noch, ob %%x=\dfrac{6}{13}%% in der Definitionsmenge enthalten ist. %%x=\dfrac{6}{13} \in D%% also ist die Lösungsmenge %%\mathbb L= \left\{ \dfrac{6}{13}\right\}%%.

%%\displaystyle 1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

%%\displaystyle1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Keiner der beiden Nenner darf %%0%% werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner %%0%% ergeben würde.

Verboten ist hier:

  • %%2x-1=0%%
  • %%x+2=0%%

Löse die erste Gleichung.

%%2x-1=0%%

%%|+1%%

%%2x=1%%

%%|:2%%

%%x=\dfrac 12%%

Löse die zweite Gleichung.

%%x+2=0%%

%%-2%%

%%x=-2%%

Daher müssen die Zahlen %%-2%% und %%\dfrac{1}{2}%% aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist %%D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-2,\dfrac{1}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Kennst du schon %%\mathbb R%%

Die Defintionsmenge ist %%D=ℝ\backslash\left\{-2,\dfrac{1}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens.:

Zunächst musst du die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Bruch bringen.

%%\displaystyle 1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Den Summanden %%1%% mit %%2x-1%% erweitern.

%%\displaystyle\frac{2x-1}{2x-1}+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Brüche auf der linken Seite addieren.

%%\displaystyle\frac{2x-1+2}{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.

%%\displaystyle\frac{2x-1+2}{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Über-Kreuz-Multiplizieren.

%%(2x-1+2)(x+2)=x(2x-1)%%

%%2x^2-x+2x+4x-2+4=2x^2-x%%

%%|-2x^2+x%%

%%6x+2=0%%

%%|-2%%

%%6x=-2%%

%%|:6%%

%%x=-\dfrac26%%

Kürzen.

%%x=-\dfrac13%%

Überprüfe jetzt noch, ob %%x=-\dfrac{1}{3}%% in der Definitionsmenge enthalten ist. Wegen %%x=-\dfrac{1}{3} \in D%% ist die Lösungsmenge %%\mathbb L= \left\{ -\dfrac{1}{3}\right\}%%.

Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der Bruchgleichung.
xx1=1x1\frac {\displaystyle x} {\displaystyle {x-1}}=\frac {\displaystyle 1} {\displaystyle x-1}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge

Tipp: Liegt deine Lösung wirklich in der Definitionsmenge?

Definitionsmenge bestimmen

Beide Nenner nehmen für x=1x=1 den Wert 00 an. Das darf nicht passieren. Deshalb muss man die 11 aus der Definitionsmenge ausschließen.
Für die Definitionsmenge dieser Gleichung folgt:
D=Q\{1}D=\mathbb Q \backslash \{1\}.

Bruchgleichung lösen

Es bietet sich hier die Strategie "Über Kreuz multiplizieren" an. Hier sind beide Nenner sogar identisch.

xx1=1x1\frac {\displaystyle x} {\displaystyle {x-1}}=\frac {\displaystyle 1} {\displaystyle x-1}.
(x1)|\cdot(x-1)
x(x1)x1=1(x1)x1\frac {\displaystyle x(x-1)} {\displaystyle {x-1}}=\frac {\displaystyle 1(x-1)} {\displaystyle x-1}.
Kürzen.
x=1x=1
11 ist nicht in der Definitionsmenge enthalten und somit auch nicht in der Lösungsmenge.
Also ist 11 keine Lösung der Gleichung.
An den zwei Graphen kann man erkennen, dass die Gleichung gar keine Lösung hat. Also gilt für die Lösungsmenge L=\mathbb L=\emptyset.
Graph keineLösung pollstelle
  • f(x)=xx1\color{#cc0000}{f(x)}=\frac {\displaystyle x} {\displaystyle {x-1}}
  • g(x)=1x1\color{#ff6600}{g(x)}=\frac {\displaystyle 1} {\displaystyle x-1}.
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