Löse die quadratische Gleichung  tx2+tx+t=0tx^2+tx+t=0  in Abhängigkeit vom Parameter tt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameter in quadratischen Gleichungen

tx2+tx+t=0\displaystyle tx^2+tx+t=0
In der Gleichung steht bereits auf einer Seite die Null. Hier kannst du nichts mehr zusammenfassen. Jetzt kannst du a,b und c ablesen.
a=t,  b=t,  c=t\displaystyle a=t,\;b=t,\;c=t
Berechne die Diskriminante D=b24acD=b^2-4ac der Gleichung.
D=t24tt=3t2\displaystyle D=t^2-4\cdot t\cdot t=-3t^2
Betrachte das Vorzeichen der Diskriminante in Abhängigkeit vom Parameter tt und leite daraus die Anzahl der Lösungen her. Beachte dabei, dass im Fall t=0t=0 die allgemeingültige Gleichung 0=00=0 entsteht und du somit jedes xx einsetzen kannst.
t0:  3t2<0\displaystyle t\neq0:\;-3t^2<0 \Rightarrow
t=0:  0=0richtige Aussage fu¨r jedes x\displaystyle t=0:\;0=0\Rightarrow \text{richtige Aussage für jedes x}