Löse die quadratische Gleichung  %%3x^2+2x+1=(m+1)x+4%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%m%%

Mitternachtsformel mit Parametern

3x2+2x+1=(m+1)x+43x^2+2x+1=(m+1)x+4
Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse zusammen.
3x2+2x(m+1)x3=03x^2+2x-(m+1)x-3=0
Fasse die Terme mit xx zusammen indem du den Faktor x ausklammerst.
3x2+(1m)x3=03x^2+(1-m)x-3=0
Lies aa, bb und cc ab.
a=3,  b=1m,  c=3a=3,\;b=1-m,\;c=-3
Berechne die Diskriminante D=b24acD=b^2-4ac der Gleichung.
D=(1m)243(3)=(1m)2+36\begin{array}{l}D=(1-m)^2-4\cdot3\cdot(-3)=(1-m)^2+36\\\end{array}
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von mm auf ihr Vorzeichen, indem du beachtest, dass ein Quadrat immer größer oder gleich als Null ist, und leite daraus die Anzahl der Lösungen her.
D=(1m)2+36>0D=(1-m)^2+36>0
\Rightarrow zwei Lösungen für alle m
Wende nun die Mitternachtsformel an.
x1,2=1+m±(1m)2+366x_{1,2}=\frac{-1+m\pm\sqrt{(1-m)^2+36}}6