Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.

Zu text-exercise-group 15253:
Nish 2018-10-04 12:52:41
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LG,
Nish
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%%x^2+6x-16=0%%

Quadratische Ergänzung

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%%x^2+6x-16=0%%

Quadratisch ergänzen mit %%3^2%%.

%%x^2+6x+3^2-3^2-16=0%%

Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.

%%(x+3)^2-9-16=0%%

Zusammenfassen.

%%(x+3)^2-25=0%%

%%\left|+25\right.%%

%%(x+3)^2=25%%

%%\left|\sqrt{\;\;}\right.%%

%%x+3=\pm5%%

%%|-3%%

%%x=\pm5-3%%

=> %%x_1=-8%% und %%x_2=2%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\{-8;2\}%%

%%x^2+10x+9=0%%

%%x^2+10x+9=0%%

Ergänze quadratisch mit %%5^2%%.

%%x^2+\underset{}{2\cdot5}x+5^2-5^2+9=0%%

Fasse zusammen.

%%\left(x^2+2\cdot5x+5^2\;\right)-16=0%%

Fasse als 1. binomische Formel zusammen.

%%\left(x+5\;\right)^2-16=0%%

Addiere auf beiden Seiten 16.

%%\left(x+5\;\right)^2=16%%

Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.

%%x+5=±4%%

Forme weiter um.

%%x_1=4-5=-1%%

%%x_2=-4-5=-9%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{-1\;;\;-9\right\}%%

%%0,5x^2-1,5x-14=0%%

%%0,5x^2-1,5x-14=0%%

%%0,5%% ausklammern.

%%0,5\left(x^2-3x\right)-14=0%%

%%0,5\left(x^2-3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2\right)-14=0%%

Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.

%%0,5\left(\left(x-\frac32\right)^2-\frac94\right)-14=0%%

%%0,5\left(x-\frac32\right)^2-\frac98-14=0%%

Gleichung umformen.

%%\begin{array}{rclc}0,5\left(x-\frac32\right)^2-\frac98-14&=&0&\end{array}%%

%%\left|+14+\frac98\right.%%

%%\begin{array}{rcl}0,5\left(x-\frac32\right)^2&=&14+\frac98\end{array}%%

$$\left|\cdot2\right.$$

%%\begin{array}{rcl}\left(x-\frac32\right)^2&=&28+\frac94\end{array}%%

$$\left|\sqrt\;\right.$$

%%\begin{array}{rcl}x-\frac32&=&\pm\sqrt{\frac{121}4}\end{array}%%

%%\left|+\frac32\right.%%

%%\begin{array}{rcl}x&=&\frac32\pm\frac{11}2\end{array}%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{-4;\;7\right\}%%

%%-\frac12x^2+7x+7,5=0%%

%%-\frac12x^2+7x+7,5=0%%

Klammere %%-\frac12%% vor den x-Termen aus.

%%-\frac12\left(x^2-14x\right)+7,5=0%%

%%-\frac12\left(x^2-2\cdot7x+7^2\;-7^2\right)+7,5=0%%

Fasse als 2. binomische Formel zusammen.

%%-\frac12\left(\left(x-7\right)^2-49\right)+7,5=0%%

%%-\frac12\left(\left(x-7\right)^2\right)+24,5+7,5=0%%

Fasse zusammen.

%%-\frac12\left(x-7\right)^2+32=0%%

%%\left|-32\right.%%

%%-\frac12\left(x-7\;\right)^2=-32%%

%%\left|-2\right.%%

%%\left(x-7\;\right)^2=64%%

Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.

%%x-7=\pm8%%

Forme weiter um.

%%x_1=8+7=15%%

%%x_2=-8+7=-1%%

Gib die Lösungsmenge an.

%%L=\left\{-1\;;\;15\right\}%%

%%2x^2+2x-\frac89=0%%

%%2x^2+2x-\frac89=0%%

Klammere den Faktor %%2%% vor den x-Termen aus.

%%2\left(x^2+x\right)-\frac89=0%%

Ergänze quadratisch mit %%\left(\frac12\right)^2%%.

%%2\left(x^2+2\cdot\frac12x+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2\right)-\frac89=0%%

Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.

%%2\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14\right)-\frac89=0%%

%%2\left(x+\frac12\right)^2-\frac12-\frac{16}{18}=0%%

Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.

%%2\left(x+\frac12\right)^2-\frac9{18}-\frac{16}{18}=0%%

Fasse zusammen.

%%2\left(x+\frac12\right)^2-\frac{25}{18}=0%%

%%|+\frac{25}{18}%%

%%2\left(x+\frac12\right)^2=\frac{25}{18}%%

%%\vert\cdot\frac12%%

%%\left(x+\frac12\right)^2=\frac{25}{36}%%

%%\left|\sqrt{\;\;}\right.%%

%%x+\frac12=\pm\frac56%%

Forme weiter um.

%%x_1=\frac56-\frac12=\frac56-\frac36=\frac26\;=\frac13%%

%%x_2=-\frac56-\frac12=-\frac56-\frac36=-\frac86\;=-\frac43%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{-\frac43\;;\;\frac13\right\}%%

%%2x^2=x+1%%

%%2x^2=x+1%%

%%\left|-x+1\right.%%

Alles Summanden auf eine Seite bringen.

%%2x^2-x-1=0%%

Den Faktor 2 ausklammern.

%%2\left(x^2-\frac12x\right)-1=0%%

%%2\left(x^2-\frac12x+\left(\frac14\right)^2-\left(\frac14\right)^2\right)-1=0%%

Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.

%%2\left(\left(x-\frac14\right)^2-\frac1{16}\right)-1=0%%

%%2\left(x-\frac14\right)^2-\frac18-1=0%%

Die Gleichung nach x auflösen.

%%\begin{array}{rcl}2\left(x-\frac14\right)^2-\frac18-1&=&0\end{array}%%

%%\left|+1+\frac18\right.%%

%%\begin{array}{rcl}2\left(x-\frac14\right)^2&=&\frac18+1\end{array}%%

%%|:2%%

%%\begin{array}{rcl}\left(x-\frac14\right)^2&=&\frac9{16}\end{array}%%

%%\left|\sqrt{\;\;}\right.%%

%%\begin{array}{rcl}x-\frac14&=&\pm\frac34\end{array}%%

%%\left|+\frac14\right.%%

%%\begin{array}{rcl}x&=&\frac14\pm\frac34\end{array}%%

Lösungsmenge angeben.

%%L=\left\{-\frac12;\;1\right\}%%