Aufgaben

Löse die Gleichung  %%\sin(2x)=0,5%% nach %%x%% zwischen %%0°%% und %%360°%% auf. Verwende dabei die Umkehrfunktion des Sinus (arcsin).

Nach x auflösen

 

%%sin(2x)=0,5%%

%%| arsin( )%%

Wende den %%arcsin( )%% auf beide Seiten an, um das %%x%% aus der Sinusfunktion zu lösen.

%%2x=arcsin(0,5)%%

%%\vert\cdot\frac12%%

Isoliere %%x%%.

%%x=\frac{arc\sin(0,5)}2%%

%%x=\frac{30^\circ}2\;\cup\;\frac{150^\circ}2%%

%%x=15^\circ\;,\;75^\circ%%

Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.

%%\left(\sin(x)\right)^2=\frac34%%

Nach x auflösen

 

%%\begin{array}{ccc}\left(\sin(x)\right)^2&=&\frac34\end{array}%%

%%\begin{array}{cc}\vert\;&\sqrt{}\end{array}%%

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.

%%\begin{array}{ccccc}&&&&\\\sin\left(x\right)&=&\pm\sqrt{\frac34}&&\end{array}%%

Wende die Wurzelgesetze an.

%%\begin{array}{ccccc}\sin\left(x\right)&=&\pm\frac{\sqrt3}2&\;&\;\end{array}%%

Löse mit Hilfe von %%arsin%% nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{ccccc}x_1&=&\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{kπ},&k\in\mathbb{Z}\;&\;\\x_2&=&-\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{kπ},\;&k\in\mathbb{Z}\;&\;\end{array}%%

%%{\textstyle\left(\tan(\mathrm x)\right)}^2=1%%

Nach x auflösen

 

%%\begin{array}{ccc}\left(\tan(x)\right)^2&=&1\end{array}%%

%%\begin{array}{cc}\vert\;&\sqrt{}\end{array}%%

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.

%%\begin{array}{ccccc}\tan\left(x\right)&=&\pm\sqrt1&&\end{array}%%

Löse mit Hilfe von %%arctan%% nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{ccccc}\tan\left(x\right)&=&\pm1&&\end{array}%%

%%\begin{array}{ccccc}x_1&=&\frac{\mathrm\pi}4+2\mathrm{kπ},&k\in\mathbb{Z}\;&\;\\x_2&=&-\frac{\mathrm\pi}4+2\mathrm{kπ},\;&k\in\mathbb{Z}\;&\;\end{array}%%

%%\sin(\mathrm x)=1-\left(\cos(\mathrm x)\right)^2%%

Nach x auflösen

 

%%\begin{array}{ccc}\sin\left(x\right)&=&1-\left(\cos\left(x\right)\right)^2\end{array}%%

%%\begin{array}{ccc}\sin\left(x\right)&=&\sin\left(x\right)^2\end{array}%%

%%\begin{array}{ccccc}\sin\left(x\right)&-&\sin\left(x\right)^{2\;}=0&\;&\;\end{array}%%

%%\begin{array}{ccc}\sin\left(x\right)&\cdot&\begin{array}{cc}\left(1-\sin\left(x\right)\right)&=0\end{array}\end{array}%%

%%\begin{array}{ccccc}\sin\left(x\right)&=0&\vee&1-\sin\left(x\right)&=0\end{array}%%

Nach x auflösen (mit arcsin).

%%\begin{array}{l}\;x_1=k\mathrm\pi\\\;{\mathrm x}_2=\frac{\mathrm\pi}2+2\mathrm{kπ}\;,\;\;\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\end{array}%%

Löse folgende Gleichung:

%%\sin(\mathrm x)=\cos(\mathrm x)-1%%

Lösung mit Funktionstabellen

%%\sin(\mathrm x)=\cos(\mathrm x)-1%%

Tabelle mit wichtigen Funktionswerten aufstellen.

$$x$$

$$0$$

$$\frac\pi2$$

$$\pi$$

$$\frac{3\pi}2$$

$$sin(x)$$

$$0$$

$$1$$

$$0$$

$$-1$$

$$cos(x)$$

$$1$$

$$0$$

$$-1$$

$$0$$

$$cos(x)-1$$

$$0$$

$$-1$$

$$-2$$

$$-1$$

Gleiche Funktionswerte suchen.

%%\begin{array}{l}\sin\left(0\right)=\cos\left(0\right)-1=0\\\sin\left(\frac{3\pi}2\right)=\cos\left(\frac{3\pi}2\right)-1=-1\end{array}%%

%%x=0%% und %%x=\frac{3\pi}2%% sind Lösungen. Periodizität beachten.

Lösungen:
%%x_1=0\;+\;2\mathrm k\mathrm\pi,\;x_2=\frac{3\mathrm\pi}2+2\mathrm k\mathrm\pi,\;k\in\mathbb{Z}%%

Anhand von Funktionsgraphen kann man erkennen, dass es keine weiteren Lösungen gibt.

Berechne %%\cos (300^\circ)%%.

Gegeben ist: %%\cos(300^\circ)%%

Wie kann man den Winkel am besten darstellen?

%%= \cos(270^\circ + 30^\circ)%%

Benutze das Additionstheorem für Cosinus

%%= \cos(270^\circ) \cos(30^\circ) - \sin(270^\circ)\sin(30^\circ)%%

Die Winkel kann man auch in Abhängigkeit von %%\pi%% darstellen oder direkt in der Winkeltabelle nachschauen.

%%= 0 - (-1) \cdot \sin(30^\circ)%%

Beachte die Vorzeichen

%%= \sin(30^\circ)%%

Auch hier können wir wieder auf die Winkeltabelle schauen.

%%= 0.5%%

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